2018届南昌市高三摸底调研考试
理 科 数 学
本试卷共4页，23小题，满分150分. 考试时间120分钟.
一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数满足，则复数的虚部为
A． B． C． D．
2．设集合，，则
A． B． C． D．
3．已知，，则
A． B．
C． D．
4．执行如图所示的程序框图，输出的为
A．1 B．2
C．3 D．4
5．设变量满足约束条件， 则的最大值为
A． B． C． D．
6．已知,为两个非零向量，则“与共线”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的
是某多面体的三视图，则该多面体的体积为
A. B. C. D.
8．函数的图像可以由函数的图像经过
A．向右平移个单位长度得到 B．向右平移个单位长度得到
C．向左平移个单位长度得到 D．向左平移个单位长度得到
9．某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在
前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
10．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，满足，为球的直径且，则点到底面的距离为
A． B． C． D．
11. 已知动直线与圆相交于两点，且满足，点为直线上一点，
且满足，若是线段的中点，则的值为
A． B． C. D．
12．已知双曲线 的左右焦点分别为，为双曲线上第二象
限内一点，若直线恰为线段的垂直平分线，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
二．填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分.
13．高三（2）班现有64名学生，随机编号为0，1，2，，63，依编号顺序平均分成8组，组
号依次为1，2，3，，8. 现用系统抽样方法抽取一个容量为8的样本，若在第一组中随机
抽取的号码为5，则在第6组中抽取的号码为 .
14．二项式的展开式中的系数为 .
15．已知的面积为，角所对的边长分别为，，则的最小值
为 .
16．已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范
围为 ．
三．解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17．(12分)
已知数列的前项和，记.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18．(12分)
微信已成为人们常用的社交软件，“微信运动”是微信里由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号.手机用户可以通过关注“微信运动”公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的或点赞.现从小明的微信朋友圈内随机选取了40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下表：
步数
性别
02000
20015000
50018000
800110000
＞10000
男
1
2
4
7
6
女
0
3
9
6
2
（1）若某人一天的走路步数超过8000步被系统评定为“积极型”，否则评定为“懈怠型”，根据题意完成下面的列联表，并据此判断能否有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关？
积极型
懈怠型
总计
男
女
总计
（2）如果从小明这40位好友内该天走路步数超过10000步的人中随机抽取3人，设抽取的女性有人，求的分布列及数学期望．
附：
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
19．(12分)
如图，在四棱锥中，，，平面，.设分别为的中点.
（1）求证：平面∥平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
20．(12分)
已知椭圆的离心率为，短轴长为2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若，求原点到直线的距离的取值范围.
21．(12分)
设函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有最大值，求的最小值.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22．[选修4—4：坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，以为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线和直线的极坐标方程；
（2）若直线与曲线交于两点，求的值.
23．[选修4—5：不等式选讲](10分)
设函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若的最小值为，求实数的值.
2018届高三摸底调研考试
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
C
C
C
D
A
B
A
B
A
C
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分．
13． 14. 15. 16.
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17.【解析】（1）∵， ∴当时，；
当时，，
又∵， ∴. ………………6分
（2）由（1）知，，
∴
. ………………12分
18.【解析】（1）根据题意完成下面的列联表如下：
积极型
懈怠型
总计
男
13
7
20
女
8
12
20
总计
21
19
40
∴，
∴没有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关. ………………6分
（2）由（1）知，从小明这40位好友内该天走路步数超过10000步的人中男性6人，女性2人，
现从中抽取3人，抽取的女性人数服从超几何分布，
的所有可能取值为0，1，2，
， ， ， …………9分
∴的分布列如下：
0
1
2
∴
19.【解析】（1）证明：∵分别为的中点， ………………12分
则∥.又∵平面，平面，
∴∥平面.
在中，，
∴.
又∵， ∴∥.
∵平面，平面，∴∥平面. ………………4分
又∵， ∴平面∥平面. ………………6分
（2）∵平面，∴平面平面，
又∵，平面平面，∴平面，
如图，以点为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
∴，
，∴，
设是平面的法向量，则，
即，可取，
又平面的法向量为，
∴，
由图可知，二面角的平面角为锐角，
∴二面角的平面角的余弦值为. …………12分
20.【解析】（1）设焦距为，由已知，，∴，，
∴椭圆的标准方程为. ………………4分
（2）设，联立得，
依题意，，化简得，①
， ………………6分
，
若，则， 即，
∴，∴，
即，化简得，②………………9分
由①②得， ………………10分
∵原点到直线的距离，
∴，
又∵，
∴， ∴原点到直线的距离的取值范围是. ………………12分
21.【解析】（1）函数的定义域为，，
当时，， ∴在上单调递增；
当时，解得，
∴在上单调递增，在上单调递减. ………………6分
（2）由（1）知，当时，在上单调递增，在上单调递减.
∴，
∴， ∴，
令，则，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴， ∴的最小值为. ……………………12分
22.【解析】（1）曲线的普通方程为，
即，
则的极坐标方程为， …………………3分
∵直线的方程为，
∴直线的极坐标方程. …………………5分
（2）设，
将代入得，，
∴， ∴ …………………10分
23.【解析】（1）∵可化为，
∴当时，原不等式化为，解得，∴；
当时，原不等式化为，解得，∴；
当时，原不等式化为，解得，∴.
综上，不等式的解集为. …………………5分
（2）∵，
∴
，
∴依题设有，解得. …………………10分
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