第3课时 平方根
关键问答
①正数的平方根之间有什么关系？
②请用符号表示正数a的平方根及算术平方根．
1．①25的平方根是( )
A．5 B．－5
C．± D．±5
2．②“的平方根是±”用数学式表示为( )
A.＝±
B．±＝±
C.＝
D．－＝－
命题点 1 平方根的意义 [热度：90%]
3．若x－3是4的平方根，则x的值为( )
A．2
B．±2
C．1或5
D．16
4．若＝2，则2x＋5的平方根是( )
A．2 B．±2
C．3 D．±3
5.③(－6)2的平方根是________．
易错警示
③先计算(－6)2的值，再求这个数的平方根.
6.的平方根是________．
命题点 2 平方根的性质 [热度：92%]
7.④如果一个正数的两个平方根为x＋1和x－3，那么x的值是( )
A．4 B．2
C．1 D．±2
解题突破
④一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根.
8．⑤若m，n是一个正数的两个平方根，则3m＋3n－5＝__________．
方法点拨
⑤一个正数的两个平方根互为相反数．
9．已知2a＋3的平方根是±3，5a＋2b－1的平方根是±4.求3a＋2b的平方根．
10.⑥王老师给同学们布置了这样一道习题：一个数的算术平方根为2m－6，它的平方根为±(m－2)．求这个数．
小张的解法如下：
依题意可知2m－6是m－2或者－(m－2)两数中的一个．(1)
当2m－6＝m－2时，解得m＝4.(2)
2m－6＝2×4－6＝2.(3)
这个数为4.
当2m－6＝－(m－2)时，解得m＝.(4)
2m－6＝2×－6＝－.(5)
这个数为.
综上可得，这个数为4或.(6)
王老师看了小张的解法后，说他的解法是错误的．你知道小张错在哪里吗？请改正．
易错警示
⑥算术平方根具有非负性，因此m的取值需保证算术平方根大于或等于0.
命题点 3 开平方 [热度：94%]
11．下列结论中，正确的个数是( )
①＝0.2；②＝±；③－20192的平方根是－2019；
④的算术平方根是－5；⑤±是1的平方根．
A．1 B．2 C．3 D．4
12.⑦若x能使(x－1)2＝4成立，则x的值是( )
A．3 B．－1 C．3或－1 D．±2
易错警示
⑦容易丢掉4的其中一个平方根－2，从而误选A.
13．图6－1－4是一台数值转换机的运算程序，若输出的结果为－32，则输入的x的值为________．
图6－1－4
14.⑧已知4，9和a三个数，使这三个数中的一个数是另外两个数乘积的一个平方根，写出所有符合条件的a的值．
解题突破
⑧本题需分情况进行讨论，使其中任意一个数是另外两个数乘积的平方根.
15．求下列各式的值：
(1)； (2)－； (3)±；
(4)－； (5)－； (6).
16.求下列式子中x的值：
⑨(1)49(5－3x)2＝121; (2)2(x－1)2－8＝0.
解题突破
⑨若把5－3x看作一个整体，你能利用平方根的定义求出5－3x的值吗？进而能求出x的值吗？
命题点 4 新定义问题 [热度：96%]
17.⑩用“★”规定新运算：对于任意数a，b，都有a★b＝a2－b，如果x★13＝2，那么x等于( )
A．15
B.
C．－
D．±
方法点拨
⑩根据新定义，转化成平方根的意义来求解.
18．定义一种叫做“@ ”的运算，对于任意两个数m，n，有m@n＝m2－n2.请你解方程：x@(－1)＝4@2.
19.⑪一天，蚊子落在狮子的身上对它说：“狮子，别看你高大威猛，而实际上我们俩的体重相同！”狮子不屑一顾地对蚊子说：“别瞎说了，那怎么可能！”蚊子不慌不忙地说：“不信，我给你证明一下．”说着，蚊子便在地上写出了证明过程：
证明：设蚊子重m克，狮子重n克．
又设m＋n＝2a，则有m－a＝a－n.
两边平方，即(m－a)2＝(a－n)2.
∵(a－n)2＝(n－a)2，∴(m－a)2＝(n－a)2，
两边开平方，即＝，∴m－a＝n－a，∴m＝n，
即蚊子与狮子一样重．
蚊子的证法对吗？为什么？
模型建立
⑪＝
典题讲评与答案详析
1．D 2.B
3．C [解析] 因为4的平方根是±2，
所以x－3＝2或x－3＝－2，解得x＝5或x＝1.
4．D [解析] 因为＝2，所以x＝2，所以2x＋5＝9，所以2x＋5的平方根是±3.
5．±6 6.±3
7．C [解析] 由一个正数的平方根是互为相反数的两个数，得x＋1＋x－3＝0，解得
x＝1.
8．－5
9．解：由2a＋3的平方根是±3，
得2a＋3＝9，所以a＝3.
由5a＋2b－1的平方根是±4，得5a＋2b－1＝16，
所以b＝1，所以3a＋2b＝11，
所以3a＋2b的平方根是±.
10．解：小张错在没有确定m的取值范围．
∵2m－6是某数的算术平方根，
∴2m－6≥0，即m≥3.当m＝时，2m－6＜0，∴应舍去．故这个数为4.
11．A [解析] 因为0.22＝0.04，所以①错；因为表示1，即的算术平方根，结果为，所以②错；因为负数没有平方根，所以③错；因为的算术平方根是，所以④错；因为1＝，它的平方根是±，所以⑤正确．所以正确的有1个．
12．C [解析] 由(x－1)2＝4，得x－1＝2或x－1＝－2，
解得x＝3或x＝－1.
13．±4 [解析] 由题意，得－2x2＝－32，所以x＝±4.
14．解：若a是36的平方根，则a＝±6；若9是4a的平方根，则a＝；若4是9a的平方根，则a＝.
综上，a的值可以是±6，，.
15．(1)15 (2)－0.02 (3)± (4)－0.1 (5)0.7 (6)9
16．解：(1)整理得(5－3x)2＝，则5－3x＝±，所以5－3x＝或5－3x＝－，
解得x＝或x＝.
(2)整理得(x－1)2＝4，
开方得x－1＝2或x－1＝－2，
解得x＝3或x＝－1.
17．D [解析] 因为x★13＝2，所以x2＝15，所以x＝±.故选D.
18．解：x@(－1)＝4@ 2可以转化成x2－12＝42－22，即x2＝13，所以x＝±.
19．解：不对．理由如下：由题设，应有关系式：m＜a＜n，则m－a＜0，n－a＞0，
∴＝a－m，＝n－a，
∴蚊子的证法不对．
【关键问答】
①它们是互为相反数的两个数．
②正数a的平方根是±，正数a的算术平方根是.
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