大庆实验中学高三上学期期初考试
数学（理科）试卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知，则（ ）
A. B. C. D.
2．已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
3．命题“”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种重量单位），这个问题中，甲所得为
A. 钱 B. 钱 C. 钱 D. 钱
5.某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（ ）
A. B. C. 16 D. 32
(5题图) (7题图)
6．4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（ ）
A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 60种
7.阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为58，则判断框中应填入的条件为（ ）
A． B． C． D．
8.已知函数的最小正周期为，则函数的图象（ ）
A. 可由函数的图象向左平移个单位而得
B. 可由函数的图象向右平移个单位而得
C. 可由函数的图象向左平移个单位而得
D. 可由函数的图象向右平移个单位而得
9.已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上， 平面，且，则球的表面积为 （ ）
A. B. C. D.
10．若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆的弦长为2，则 的
最小值为（ ）
A. 4 B. 6 C. 12 D. 16
11.设双曲线（）的半焦距为，为直线上两点，已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．或2 C．2或 D．2
12.设函数在上存在导数， ，有，在上，若，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.已知向量， ，若与平行，则等于__________．
14.若，则的值为___________．
15. 变量， 满足约束条件，则目标函数的最小值__________．
16.已知抛物线焦点为，直线过焦点且与抛物线交于两点， 为抛物线准线上一点且，连接交轴于点，过作于点，若，则__________．
三、解答题（本大题共70分 ）（一）必考题共60分
17．（12分）已知数列的前项和为，且，数列满足.
（1）求； （2）求数列的前项和.
18．（12分）近年来空气质量逐步恶化，雾霾天气现象增多，大气污染危害加重.大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病.为了解心肺疾病是否与性别有关，在市第一人民医院随机对入院50人进行了问卷调查，得到如下的列联表：
患心肺疾病
不患心肺疾病
合计
男
20
5
25
女
10
15
25
合计
30
20
50
（1）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；
（2）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3位进行其他方面的排查，其中患胃病的人数为，求的分布列、数学期望.
参考公式： ，其中.
下面的临界值仅供参考：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
19. （12分） 如图，四棱锥的底面是矩形， ⊥平面， ， .
(1)求证： ⊥平面；
(2)求二面角余弦值的大小；
20. （12分）已知椭圆的右焦点，且经过点，点是轴上的一点，过点的直线与椭圆交于两点（点在轴的上方）
（1）求椭圆的方程；
（2）若，且直线与圆相切于点，求的长.
21. （12分）已知函数（, 是自然对数的底数）.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分.
22．（10分）已知圆，直线l:
（1）求圆C的普通方程，若以原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，写出圆C的极坐标方程.
（2）判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由；若相交，请求出弦长
23．（10分）设函数
（1）若时，解不等式；
（2）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
大庆实验中学高三上学期期初考试
数学（理科）答案
一、选择题 CDCCA DBDCB AB
二、填空题 13. - 14. -1 15．4 16.
三、解答题
17．（1）由可得，当时，,
当时，，
而，适合上式，
故，
又∵，
∴ ………………6分
（2）由（1）知，
，
，
∴
. ………………12分
18． (1)∵，即，∴，又，∴我们有99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的.
………………6分
(2)现在从患心肺疾病的10位女性中选出3位，其中患胃病的人数，
∴，
，
，
，
所以的分布列为
0
1
2
3
则. ………………12分
19. 证：（1）建立如图所示的直角坐标系，
则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）.
在Rt△BAD中，AD=2，BD=，
∴AB=2.∴B（2，0，0）、C（2，2，0），
∴
∵，即BD⊥AP，BD⊥AC，又AP∩AC=A，∴BD⊥平面PAC. …………4分
（2）由（1）得.
设平面PCD的法向量为，则，
即，∴故平面PCD的法向量可取为
∵PA⊥平面ABCD，∴为平面ABCD的法向量. ……………………………8分
设二面角P—CD—B的大小为q，依题意可得. ……………………………12分
20.（1）由题意知，即，
又，故，椭圆的方程为.. ……………………………4分
（2）设，直线，
由，有，
由，由韦达定理得，
由，则，
，化简得，原点到直线的距离，
又直线与圆相切，所以，即，
，即，
解得，此时，满足，此时，
在中， ，所以的长为.. ……………………………12分
21.（Ⅰ）当时，有，
则．
又因为，
∴曲线在点处的切线方程为，即．.. ……………………………4分
（Ⅱ）因为，令
有（）且函数在上单调递增
当时，有，此时函数在上单调递增，则
（ⅰ）若即时，有函数在上单调递增，
则恒成立；
（ⅱ）若即时，则在存在，
此时函数在 上单调递减， 上单调递增且，
所以不等式不可能恒成立，故不符合题意；
当时，有，则在存在，此时上单调递减， 上单调递增所以函数在上先减后增．
又，则函数在上先减后增且．
所以不等式不可能恒成立，故不符合题意；
综上所述，实数的取值范围为．.. ……………………………12分
22． （1） ………………5分
（2）， 圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，由于直线l过圆心，所以弦长为4 ………………10分
（1）当时， ，即或
或 或
或
所以原不等式的解集为…………………..5分
（2）对一切恒成立，∵
∴恒成立，即恒成立，
当时， ∴，
∴，又，∴………….10分
微信/支付宝扫码支付