专题11 圆
一、选择题
1．（2017四川省南充市）如图，在Rt△ABC中，AC=5cm，BC=12cm，∠ACB=90°，把Rt△ABC所在的直线旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的侧面积为（ ）
A．60πcm2 B．65πcm2 C．120πcm2 D．130πcm2
【答案】B．
考点：1．圆锥的计算；2．点、线、面、体．
2．（2017四川省广安市）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知cos∠CDB=，BD=5，则OH的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D．
【解析】
试题分析：连接OD，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，∴AB⊥CD，∴∠OHD=∠BHD=90°，∵cos∠CDB==，BD=5，∴DH=4，∴BH==3，设OH=x，则OD=OB=x+3，在Rt△ODH中，由勾股定理得：x2+42
=（x+3）2，解得：x=，∴OH=；故选D．
考点：1．圆周角定理；2．解直角三角形．
3．（2017四川省眉山市）如图，在△ABC中，∠A=66°，点I是内心，则∠BIC的大小为（ ）
A．114° B．122° C．123° D．132°
【答案】C．
【解析】
试题分析：∵∠A=66°，∴∠ABC+∠ACB=114°，∵点I是内心，∴∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，∴∠IBC+∠ICB=57°，∴∠BIC=180°﹣57°=123°，故选C．
考点：三角形的内切圆与内心．
4．（2017四川省绵阳市）“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图，已知底面圆的直径AB=8cm，圆柱体部分的高BC=6cm，圆锥体部分的高CD=3cm，则这个陀螺的表面积是（ ）
A．68πcm2 B．74πcm2 C．84πcm2 D．100πcm2
【答案】C．
【解析】
试题分析：∵底面圆的直径为8cm，高为3cm，∴母线长为5cm，∴其表面积=π×4×5+42π+8π×6=84πcm2，故选C．
考点：1．圆锥的计算；2．几何体的表面积．
5．（2017四川省达州市）以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A．
考点：正多边形和圆．
6．（2017山东省枣庄市）如图，在网格（每个小正方形的边长均为1）中选取9个格点（格线的交点称为格点），如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B．
【解析】
试题分析：给各点标上字母，如图所示．
AB==，AC=AD==，AE==，AF==，AG=AM=AN==5，∴时，以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内．故选B．
考点：1．点与圆的位置关系；2．勾股定理；3．推理填空题．
7．（2017山东省济宁市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A．
【解析】
试题分析：∵∠ACB=90°，AC=BC=1，∴AB=，∴S扇形ABD= =．
又∵Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，∴Rt△ADE≌Rt△ACB，∴S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC=S扇形ABD=．故选A．
考点：1．扇形面积的计算；2．等腰直角三角形；3．旋转的性质．
8．（2017广东省）如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA=DC，∠CBE=50°，则∠DAC的大小为（ ）
A．130° B．100° C．65° D．50°
【答案】C．
考点：圆内接四边形的性质．
9．（2017广西四市）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC=2，∠BAC=30°，则劣弧的长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A．
【解析】
试题分析：如图，连接OB、OC，∵∠BAC=30°，∴∠BOC=2∠BAC=60°，又OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴BC=OB=OC=2，∴劣弧的长为： =．故选A．
考点：1．弧长的计算；2．圆周角定理．
二、填空题
10．（2017四川省眉山市）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8cm，DC=2cm，则OC= cm．
【答案】5．
【解析】
试题分析：连接OA，∵OC⊥AB，∴AD=AB=4cm，设⊙O的半径为R，由勾股定理得，OA2=AD2+OD2，∴R2=42+（R﹣2）2，解得R=5，∴OC=5cm．故答案为：5．
考点：1．垂径定理；2．勾股定理．
11．（2017四川省达州市）如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作⊙O与AD相切于点P．若AB=6，BC=，则下列结论：①F是CD的中点；②⊙O的半径是2；③AE=CE；④．其中正确结论的序号是 ．
【答案】．
【解析】
试题分析：①∵AF是AB翻折而来，∴AF=AB=6，∵AD=BC=，∴DF==3，∴F是CD中点；∴①
正确；
②连接OP，∵⊙O与AD相切于点P，∴OP⊥AD，∵AD⊥DC，∴OP∥CD，∴，设OP=OF=x，则，解得：x=2，∴②正确；
③∵RT△ADF中，AF=6，DF=3，∴∠DAF=30°，∠AFD=60°，∴∠EAF=∠EAB=30°，∴AE=2EF；
∵∠AFE=90°，∴∠EFC=90°﹣∠AFD=30°，∴EF=2EC，∴AE=4CE，∴③错误；
④连接OG，作OH⊥FG，∵∠AFD=60°，OF=OG，∴△OFG为等边△；同理△OPG为等边△；
∴∠POG=∠FOG=60°，OH=OG=，S扇形OPG=S扇形OGF，∴S阴影=（S矩形OPDH﹣S扇形OPG﹣S△OGH）+（S扇形OGF﹣S△OFG）=S矩形OPDH﹣S△OFG==．∴④正确；
故答案为：①②④．
考点：1．切线的性质；2．矩形的性质；3．扇形面积的计算；4．翻折变换（折叠问题）；5．综合题．
12．（2017山东省枣庄市）如图，在▱ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB=12，∠C=60°，则的长为 ．
【答案】π．
考点：1．切线的性质；2．平行四边形的性质；3．弧长的计算．
13．（2017山东省济宁市）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的六条对角线又围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，则正六边形A4B4C4D4E4F4的面积是 ．
【答案】．
考点：1．正多边形和圆；2．规律型；3．综合题．
14．（2017四川省南充市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CF=2，DF=4，求⊙O直径的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）6．
【解析】
试题分析：（1）连接OD、CD，由AC为⊙O的直径知△BCD是直角三角形，结合E为BC的中点知∠CDE=∠DCE，由∠ODC=∠OCD且∠OCD+∠DCE=90°可得答案；
（2）设⊙O的半径为r，由OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2可得r=3，即可得出答案．
试题解析：（1）如图，连接OD、CD．∵AC为⊙O的直径，∴△BCD是直角三角形，∵E为BC的中点，∴BE=CE=DE，∴∠CDE=∠DCE，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∵∠ACB=90°，∴∠OCD+∠DCE=90°，∴∠ODC+∠CDE=90°，即OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，∵∠ODF=90°，∴OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2，解得：r=3，∴⊙O的直径为6．
考点：切线的判定与性质．
15．（2017四川省广安市）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与直径AB相交于点F．点E在⊙O外，做直线AE，且∠EAC=∠D．
（1）求证：直线AE是⊙O的切线．
（2）若∠BAC=30°，BC=4，cos∠BAD=，CF=，求BF的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
试题分析：（1）由直径所对的圆周角是直角得：∠ADB=90°，则∠ADC+∠CDB=90°，所以∠EAC+∠BAC=90°，则直线AE是⊙O的切线；
（2）分别计算AC和BD的长，证明△DFB∽△AFC，列比例式得：，得出结论．
试题解析：（1）连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠ADC+∠CDB=90°，∵∠EAC=∠ADC，∠CDB=∠BAC，∴∠EAC+∠BAC=90°，即∠BAE=90°，∴直线AE是⊙O的切线；
（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，Rt△ACB中，∠BAC=30°，∴AB=2BC=2×4=8，由勾股定理得：AC==，Rt△ADB中，cos∠BAD==，∴=，∴AD=6，∴BD= =，∵∠BDC=
∠BAC，∠DFB=∠AFC，∴△DFB∽△AFC，∴，∴，∴BF=．
考点：1．切线的判定与性质；2．解直角三角形．
16．（2017四川省绵阳市）如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，与AC平行的圆O的一条切线交CD的延长线于点M，交AB的延长线于点E，切点为F，连接AF交CD于点N．
（1）求证：CA=CN；
（2）连接DF，若cos∠DFA=，AN=，求圆O的直径的长度．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
试题分析：（1）连接OF，根据切线的性质结合四边形内角和为360°，即可得出∠M+∠FOH=180°，由三角形外角结合平行线的性质即可得出∠M=∠C=2∠OAF，再通过互余利用角的计算即可得出∠CAN=90°﹣∠OAF=∠ANC，由此即可证出CA=CN；
（2）连接OC，如图2所示．
∵cos∠DFA=，∠DFA=∠ACH，∴=．设CH=4a，则AC=5a，AH=3a，∵CA=CN，∴NH=a，∴AN= = = a=，∴a=2，AH=3a=6，CH=4a=8．
设圆的半径为r，则OH=r﹣6，在Rt△OCH中，OC=r，CH=8，OH=r﹣6，∴OC2=CH2+OH2，r2=82+（r﹣6）2，解得：r=，∴圆O的直径的长度为2r=．
考点：1．切线的性质；2．勾股定理；3．圆周角定理；4．解直角三角形．
17．（2017四川省达州市）如图，△ABC内接于⊙O，CD平分∠ACB交⊙O于D，过点D作PQ∥AB分别交CA、CB延长线于P、Q，连接BD．
（1）求证：PQ是⊙O的切线；
（2）求证：BD2=AC•BQ；
（3）若AC、BQ的长是关于x的方程的两实根，且tan∠PCD=，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【解析】
试题分析：（1）根据平行线的性质和圆周角定理得到∠ABD=∠BDQ=∠ACD，连接OB，OD，交AB于E，根据圆周角定理得到∠OBD=∠ODB，∠O=2∠DCB=2∠BDQ，根据三角形的内角和得到2∠ODB+2∠O=180°，于是得到∠ODB+∠O=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）证明：连接AD，根据等腰三角形的判定得到AD=BD，根据相似三角形的性质即可得到结论；
试题解析：（1）证明：∵PQ∥AB，∴∠ABD=∠BDQ=∠ACD，∵∠ACD=∠BCD，∴∠BDQ=∠ACD，如图1，连接OB，OD，交AB于E，则∠OBD=∠ODB，∠O=2∠DCB=2∠BDQ，在△OBD中，∠OBD+∠ODB+∠O=180°，∴2∠ODB+2∠O=180°，∴∠ODB+∠O=90°，∴PQ是⊙O的切线；
（2）证明：如图2，连接AD，由（1）知PQ是⊙O的切线，∴∠BDQ=∠DCB=∠ACD=∠BCD=∠BAD，∴AD=BD，∵∠DBQ=∠ACD，∴△BDQ∽△ACD，∴，∴BD2=AC•BQ；
（3）解：方程可化为x2﹣mx+4=0，∵AC、BQ的长是关于x的方程的两实根，∴AC•BQ=4，由（2）得BD2=AC•BQ，∴BD2=4，∴BD=2，由（1）知PQ是⊙O的切线，∴OD⊥PQ，∵PQ∥AB，∴OD⊥AB，由（1）得∠PCD=∠ABD，∵tan∠PCD=，∴tan∠ABD=，∴BE=3DE，∴DE2+（3DE）2=BD2=4，∴DE=，∴BE=，设OB=OD=R，∴OE=R﹣，∵OB2=OE2+BE2，∴R2=（R﹣）2+（）2，解得：R=，∴⊙O的半径为．
考点：1．相似三角形的判定与性质；2．分式方程的解；3．圆周角定理；4．切线的判定与性质；5．解直角三角形；6．压轴题．
18．（2017山东省枣庄市）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD=，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
【答案】（1）BC与⊙O相切；（2） ．
【解析】
试题分析：（1）连接OD，证明OD∥AC，即可证得∠ODB=90°，从而证得BC是圆的切线；
（2）设OF=OD=x，则OB=OF+BF=x+2，由勾股定理得：OB2=OD2+BD2，即（x+2）2=x2+12，解得：x=2，即OD=OF=2，∴OB=2+2=4，∵Rt△ODB中，OD=OB，∴∠B=30°，∴∠DOB=60°，∴S扇形AOB= =，则阴影部分的面积为S△ODB﹣S扇形DOF=×2×﹣=．故阴影部分的面积为．
考点：1．直线与圆的位置关系；2．扇形面积的计算；3．探究型．
19．（2017山东省济宁市）如图，已知⊙O的直径AB=12，弦AC=10，D是的中点，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求AE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）11．
【解析】
试题分析：（1）连接OD，由D为弧BC的中点，得到两条弧相等，进而得到两个同位角相等，确定出OD与AE平行，利用两直线平行同旁内角互补得到OD与DE垂直，即可得证；
（2）解：过点O作OF⊥AC，∵AC=10，∴AF=CF=AC=5，∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90°，∴四边形OFED为矩形，∴FE=OD=AB，∵AB=12，∴FE=6，则AE=AF+FE=5+6=11．
考点：1．切线的判定与性质；2．勾股定理；3．垂径定理．
20．（2017广东省）如图，AB是⊙O的直径，AB=，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，AF⊥PC于点F，连接CB．
（1）求证：CB是∠ECP的平分线；
（2）求证：CF=CE；
（3）当时，求劣弧的长度（结果保留π）
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【解析】
试题分析：（1）根据等角的余角相等证明即可；
（2）欲证明CF=CE，只要证明△ACF≌△ACE即可；
（3）作BM⊥PF于M．则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=4a，PC=4a，PM=a，利用相似三角形的性质求出BM，求出tan∠BCM的值即可解决问题；
试题解析：（1）证明：∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，∴∠OCP=∠CEB=90°，∴∠PCB+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90°，∴∠BCE=∠BCP，∴BC平分∠PCE．
（2）证明：连接AC．
∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠BCP+∠ACF=90°，∠ACE+∠BCE=90°，∵∠BCP=∠BCE，∴∠ACF=∠ACE，∵∠F=∠AEC=90°，AC=AC，∴△ACF≌△ACE，∴CF=CE．
（3）解：作BM⊥PF于M．则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=4a，PC=4a，PM=a，∵△BMC∽△PMB，∴，∴BM2=CM•PM=3a2，∴BM=a，∴tan∠BCM=，∴∠BCM=30°，∴∠OCB=∠OBC=∠
BOC=60°，∴的长= =．
考点：1．相似三角形的判定与性质；2．垂径定理；3．切线的性质；4．弧长的计算．
21．（2017江苏省盐城市）如图，△ABC是一块直角三角板，且∠C=90°，∠A=30°，现将圆心为点O的圆形纸片放置在三角板内部．
（1）如图①，当圆形纸片与两直角边AC、BC都相切时，试用直尺与圆规作出射线CO；（不写作法与证明，保留作图痕迹）
（2）如图②，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周，回到起点位置时停止，若BC=9，圆形纸片的半径为2，求圆心O运动的路径长．
【答案】（1）作图见解析；（2）．
【解析】
试题分析：（1）作∠ACB的平分线得出圆的一条弦，再作此弦的中垂线可得圆心O，作射线CO即可；
（2）添加如图所示辅助线，圆心O的运动路径长为，先求出△ABC的三边长度，得出其周长，证四边形OEDO1、四边形O1O2HG、四边形OO2IF均为矩形、四边形OECF为正方形，得出∠OO1O2=60°=∠ABC、∠O1OO2=90°，从而知△OO1O2∽△CBA，利用相似三角形的性质即可得出答案．
试题解析：（1）如图①所示，射线OC即为所求；
（2）如图2，圆心O的运动路径长为，过点O1作O1D⊥BC、O1F⊥AC、O1G⊥AB，垂足分别为点D、F、G，过点O作OE⊥BC，垂足为点E，连接O2B，过点O2作O2H⊥AB，O2I⊥AC，垂足分别为点H、I，在Rt△ABC中，∠ACB=90°、∠A=30°，∴AC===，AB=2BC=18，∠ABC=60°，∴C△ABC=9++18=27+，∵O1D⊥BC、O1G⊥AB，∴D、G为切点，∴BD=BG，在Rt△O1BD和Rt△O1BG中，∵BD=BG，O1B=O1B，∴△O1BD≌△O1BG（HL），∴∠O1BG=∠O1BD=30°，在Rt△O1BD中，∠O1DB=90°，∠O1BD=30°，∴BD= ==，∴OO1=9﹣2﹣=7﹣，∵O1D=OE=2，O1D⊥BC，OE⊥BC，∴O1D∥OE，且O1D=OE，∴四边形OEDO1为平行四边形，∵∠OED=90°，∴四边形OEDO1为矩形，同理四边形O1O2HG、四边形OO2IF、四边形OECF为矩形，又OE=OF，∴四边形OECF为正方形，∵∠O1GH=∠CDO1=90°，∠ABC=60°，∴∠GO1D=120°，又∵∠FO1D=∠O2O1G=90°，∴∠OO1O2=360°﹣90°﹣90°=60°=∠ABC，同理，∠O1OO2=90°，∴△OO1O2∽△CBA，∴，即，∴ =，即圆心O运动的路径长为．
考点：1．轨迹；2．切线的性质；3．作图—复杂作图；4．综合题．
22．（2017江苏省连云港市）如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A（﹣2，0）的直线交y轴正半轴于点B，将直线AB绕着点顺时针旋转90°后，分别与x轴、y轴交于点D．C．
（1）若OB=4，求直线AB的函数关系式；
（2）连接BD，若△ABD的面积是5，求点B的运动路径长．
【答案】（1）y=2x+4；（2）．
【解析】
试题分析：（1）依题意求出点B坐标，然后用待定系数法求解析式；
（2）设OB=m，则AD=m+2，根据三角形面积公式得到关于m的方程，解方程求得m的值，然后根据弧长公式即可求得．
试题解析：（1）∵OB=4，∴B（0，4）．∵A（﹣2，0），设直线AB的解析式为y=kx+b，则，解得，∴直线AB的解析式为y=2x+4；
（2）设OB=m，则AD=m+2，∵△ABD的面积是5，∴AD•OB=5，∴（m+2）•m=5，即 ，解得或（舍去），∵∠BOD=90°，∴点B的运动路径长为：．
考点：1．一次函数图象与几何变换；2．轨迹；3．弧长的计算．
23．（2017河北省）如图，AB=16，O为AB中点，点C在线段OB上（不与点O，B重合），将OC绕点O逆时针旋转270°后得到扇形COD，AP，BQ分别切优弧于点P，Q，且点P，Q在AB异侧，连接OP．
（1）求证：AP=BQ；
（2）当BQ=时，求的长（结果保留π）；
（3）若△APO的外心在扇形COD的内部，求OC的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）4＜OC＜8．
（2）∵Rt△APO≌Rt△BQO，∴∠AOP=∠BOQ，∴P、O、Q三点共线，∵在Rt△BOQ
中，cosB=，∴∠B=30°，∠BOQ=60°，∴OQ=OB=4，∵∠COD=90°，∴∠QOD=90°+60°=150°，∴优弧的长==；
（3）∵△APO的外心是OA的中点，OA=8，∴△APO的外心在扇形COD的内部时，OC的取值范围为4＜OC＜8．
考点：1．切线的性质；2．弧长的计算；3．旋转的性质．
24．（2017河北省）平面内，如图，在ABCD中，AB=10，AD=15，tanA=．点P为AD边上任意一点，连接PB，将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．
（1）当∠DPQ=10°时，求∠APB的大小；
（2）当tan∠AtanA=3：2时，求点Q与点B间的距离（结果保留根号）；
（3）若点Q恰好落在ABCD的边所在的直线上，直接写出PB旋转到PQ所扫过的面积（结果保留）．
【答案】（1）100°或80°；（2）；（3）16π或20π或32π．
【解析】
试题分析：（1）根据点Q与点B和PD的位置关系分类讨论；
（2）因为△PBQ是等腰直角三角形，所以求BQ的长，只需求PB，过点P作PH⊥AB于点H，确定BH，求得AH和BH，解直角△APH求PH，由勾股定理求PB；
（2）如图2，过点P作PH⊥AB于点H，连接BQ．
∵tan∠AtanA=，∴HB=3：2．
而AB=10，∴AH=6，HB=4．
在Rt△PHA中，PH=AH·tanA=8，∴PQ=PB=，∴在Rt△PQB中，QB=PB=．
（3）①点Q在AD上时，如图3，由tanA=得，PB=AB·sinA=8，∴扇形面积为16π．
②点A在CD上时，如图4，过点P作PH⊥AB于点H，交CD延长线于点K，由题意∠K=90°，∠KDP=∠A．
设AH=x，则PH=AH·tanA=．
∵∠BPH=∠KQP=90°-∠KPQ，PB=QP，∴Rt△HPB≌Rt△KQP．∴KP=HB=10-x，∴AP=，PD=，AD=15=，解得x=6．
∵，∴扇形的面积为20π．
③点Q在BC延长线上时，如图5，过点B作BM⊥AD于点M，由①得BM=8．
又∠MPB=∠PBQ=45°，∴PB=，∴扇形面积为32π．
所以扇形的面积为16π或20π或32π．
考点：1．解直角三角形；2．勾股定理；3．扇形面积的计算；4．分类讨论；5．压轴题．
25．（2017浙江省丽水市）如图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．
（1）求证：∠A=∠ADE；
（2）若AD=16，DE=10，求BC的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）15．
【解析】
试题分析：（1）只要证明∠A+∠B=90°，∠ADE+∠B=90°即可解决问题；
（2）连接CD．
∵∠ADE=∠A，∴AE=DE，∵BC是⊙O的直径，∠ACB=90°，∴EC是⊙O的切线，∴ED=EC，∴AE=EC，∵DE=10，∴AC=2DE=20，在Rt△ADC中，DC==12，设BD=x，在Rt△BDC中，BC2=x2+122，在Rt△ABC中，BC2=（x+16）2﹣202，∴x2+122=（x+16）2﹣202，解得x=9，∴BC= =15．
考点：1．切线的性质；2．勾股定理．
26．（2017浙江省台州市）如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．
（1）求证：△APE是等腰直角三角形；
（2）若⊙O的直径为2，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）4．
【解析】
试题分析：（1）只要证明∠AEP=∠ABP=45°，∠PAB=90°即可解决问题；
（2）作PM⊥AC于M，PN⊥AB于N，则四边形PMAN是矩形，∴PM=AN，∵△PCM，△PNB都是等腰直角三角形，∴PC=PM，PB=PN，∴= == = = =4．
考点：1．三角形的外接圆与外心；2．等腰直角三角形．
27．（2017湖北省襄阳市）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两点，∠BAC=∠DAC，过点C做直线EF⊥AD，交AD的延长线于点E，连接BC．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若DE=1，BC=2，求劣弧的长l．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
试题分析：（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠DAC，求得∠DAC=∠OCA，推出AD∥OC，得到∠OCF=∠AEC=90°，于是得到结论；
（2）连接OD，DC，∵∠DAC=∠DOC，∠OAC=∠BOC，∴∠DAC=∠OAC，∵ED=1，DC=2，∴sin∠ECD=，∴∠ECD=30°，∴∠OCD=60°，∵OC=OD，∴△DOC是等边三角形，∴∠BOC=∠COD=60°，OC=2，∴l= =．
考点：1．切线的判定与性质；2．弧长的计算．
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