专题14 阅读理解问题
1．（2017河北省）对于实数，，我们用符号表示，两数中较小的数，如，因此 ；若，则 ．
【答案】；2或-1．
考点：1．新定义；2．实数大小比较；3．解一元二次方程-直接开平方法．
三、解答题
2．（2017四川省达州市）设A=．
（1）化简A；
（2）当a=3时，记此时A的值为f（3）；当a=4时，记此时A的值为f（4）；…
解关于x的不等式：，并将解集在数轴上表示出来．
【答案】（1） ；（2）x≤4．
【解析】
试题分析：（1）根据分式的除法和减法可以解答本题；
（2）根据（1）中的结果可以解答题目中的不等式并在数轴上表示出不等式的解集．
试题解析：（1）A= ====；
（2）∵a=3时，f（3）=，a=4时，f（4）=，a=5时，f（5）=，…
∴，即
∴，∴，∴，解得，x≤4，∴原不等式的解集是x≤4，在数轴上表示如下所示：
．
考点：1．分式的混合运算；2．在数轴上表示不等式的解集；3．解一元一次不等式；4．阅读型；5．新定义．
3．（2017四川省达州市）探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），可通过构造直角三角形利用图1得到结论：他还利用图2证明了线段P1P2的中点P（x，y）P的坐标公式：，．
（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；
运用：（2）①已知点M（2，﹣1），N（﹣3，5），则线段MN长度为 ；
②直接写出以点A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），D为顶点的平行四边形顶点D的坐标： ；
拓展：（3）如图3，点P（2，n）在函数（x≥0）的图象OL与x轴正半轴夹角的平分线上，请在OL、x轴上分别找出点E、F，使△PEF的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值．
【答案】（1）答案见解析；（2）①；②（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3）；（3）．
【解析】
试题分析：（1）用P1、P2的坐标分别表示出OQ和PQ的长即可证得结论；
（2）①直接利用两点间距离公式可求得MN的长；②分AB、AC、BC为对角线，可求得其中心的坐标，再利用中点坐标公式可求得D点坐标；
试题解析：
（1）∵P1（x1，y1），P2（x2，y2），∴Q1Q2=OQ2﹣OQ1=x2﹣x1，∴Q1Q=，∴OQ=OQ1+Q1Q=x1+= ，∵PQ为梯形P1Q1Q2P2的中位线，∴PQ= =，即线段P1P2的中点P（x，y）P的坐标公式为x=，y=；
（2）①∵M（2，﹣1），N（﹣3，5），∴MN==，故答案为：；
②∵A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），∴当AB为平行四边形的对角线时，其对称中心坐标为（0，1），设D（x，y），则x+3=0，y+（﹣1）=2，解得x=﹣3，y=3，∴此时D点坐标为（﹣3，3），当AC为对角线时，同理可求得D点坐标为（7，1），当BC为对角线时，同理可求得D点坐标为（﹣1，﹣3），综上可知D点坐标为（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3），故答案为：（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3）；
（3）如图，设P关于直线OL的对称点为M，关于x轴的对称点为N，连接PM交直线OL于点R，连接PN交x轴于点S，连接MN交直线OL于点E，交x轴于点F，又对称性可知EP=EM，FP=FN，∴PE+PF+EF=ME+EF+NF=MN，∴此时△PEF的周长即为MN的长，为最小，设R（x，），由题意可知OR=OS=2，PR=PS=n，∴=2，解得x=﹣（舍去）或x=，∴R（，），∴
，解得n=1，∴P（2，1），∴N（2，﹣1），设M（x，y），则=， =，解得x=，y=，∴M（，），∴MN= =，即△PEF的周长的最小值为．
考点：1．一次函数综合题；2．阅读型；3．分类讨论；4．最值问题；5．探究型；6．压轴题．
4．（2017山东省枣庄市）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．
例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．
（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．
求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；
（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；
（3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．
【答案】（1）证明见解析；（2）15，26，37，48，59；（3）．
【解析】
试题分析：（1）对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），找出m的最佳分解，确定出F（m）的值即可；
（3）利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出F（t）的最大值即可．
试题解析：（1）对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），∵|n﹣n|=0，∴n×n是m的最佳分解，∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）==1；
（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，∵t是“吉祥数”，∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=36，∴y=x+4，∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，∴
满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59；
（3）F（15）=，F（26）=，F（37）=，F（48）==，F（59）=，∵＞＞＞＞，∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值为．
考点：1．因式分解的应用；2．新定义；3．因式分解；4．阅读型．
5．（2017山东省济宁市）定义：点P是△ABC内部或边上的点（顶点除外），在△PAB，△PBC，△PCA中，若至少有一个三角形与△ABC相似，则称点P是△ABC的自相似点．
例如：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，则△BCP∽△ABC，故点P是△ABC的自相似点．
请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：
在平面直角坐标系中，点M是曲线（x＞0）上的任意一点，点N是x轴正半轴上的任意一点．
（1）如图2，点P是OM上一点，∠ONP=∠M，试说明点P是△MON的自相似点；当点M的坐标是（，3），点N的坐标是（，0）时，求点P的坐标；
（2）如图3，当点M的坐标是（3，），点N的坐标是（2，0）时，求△MON的自相似点的坐标；
（3）是否存在点M和点N，使△MON无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）P（，）；（2）（1，）或（2，）；（3）存在, M（，3），N（，0）．
【解析】
试题分析：（1）由∠ONP=∠M，∠NOP=∠MON，得出△NOP∽△MON，证出点P是△MON的自相似点；过P作PD⊥x轴于D，则tan∠POD= =，求出∠AON=60°，由点M和N的坐标得出∠MNO
=90°，由相似三角形的性质得出∠NPO=∠MNO=90°，在Rt△OPN中，由三角函数求出OP=，OD=，PD=，即可得出答案；
（2）作ME⊥x轴于H，由勾股定理求出OM=，直线OM的解析式为y=x，ON=2，∠MOH=30°，分两种情况：①作PQ⊥x轴于Q，由相似点的性质得出PO=PN，OQ=ON=1，求出P的纵坐标即可；
②求出MN==2，由相似三角形的性质得出，求出PN=，在求出P的横坐标即可；
（2）作ME⊥x轴于H，如图3所示：
∵点M的坐标是（3，），点N的坐标是（2，0），∴OM= =，直线OM的解析式为y=x，ON=2，∠MOH=30°，分两种情况：
①如图3所示：∵P是△MON的相似点，∴△PON∽△NOM，作PQ⊥x轴于Q，∴PO=PN，OQ=ON=1，∵P的横坐标为1，∴y=×1=，∴P（1，）；
②如图4所示：
由勾股定理得：MN==2，∵P是△MON的相似点，∴△PNM∽△NOM，∴，即
，解得：PN=，即P的纵坐标为，代入y=x得： =x ，解得：x=2，∴P（2，）；
综上所述：△MON的自相似点的坐标为（1，）或（2，）；
（3）存在点M和点N，使△MON无自相似点，M（，3），N（，0）；理由如下：
∵M（，3），N（，0），∴OM==ON，∠MON=60°，∴△MON是等边三角形，∵点P在△ABC的内部，∴∠PBC≠∠A，∠PCB≠∠ABC，∴存在点M和点N，使△MON无自相似点．
考点：1．反比例函数综合题；2．阅读型；3．新定义；4．存在型；5．分类讨论；6．压轴题．
6．（2017江苏省盐城市）（探索发现】
如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=60°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为 ．
【拓展应用】
如图②，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为 ．（用含a，h的代数式表示）
【灵活应用】
如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．
【实际应用】
如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且tanB=tanC=，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积．
【答案】【探索发现】；【拓展应用】；【灵活应用】720；【实际应用】1944．
【拓展应用】：由△APN∽△ABC知，可得PN=a﹣PQ，设PQ=x，由S矩形PQMN=PQ•PN═，据此可得；
【灵活应用】：添加如图1辅助线，取BF中点I，FG的中点K，由矩形性质知AE=EH20、CD=DH=16，分别证△AEF≌△HED、△CDG≌△HDE得AF=DH=16、CG=HE=20，从而判断出中位线IK的两端点在线段AB和DE上，利用【探索发现】结论解答即可；
【实际应用】：延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，由tanB=tanC知EB=EC、BH=CH=54，EH=BH=72，继而求得BE=CE=90，可判断中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，利用【拓展应用】结论解答可得．
试题解析：【探索发现】
∵EF、ED为△ABC中位线，∴ED∥AB，EF∥BC，EF=BC，ED=AB，又∠B=90°，∴四边形FEDB是矩形，则 ===，故答案为：；
【拓展应用】
∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴，即，∴PN=a﹣PQ，设PQ=x，则S矩形PQMN=PQ•PN=x（a﹣x）= =，∴当PQ=时，S矩形PQMN最大值为，故答案为：；
【灵活应用】
如图1，延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K，由题意知四边形ABCH是矩形，∵AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，∴EH=20、DH=16，∴AE=EH、CD=DH，在△AEF和△HED中，∵∠FAE=∠DHE，AE=AH，∠AEF=∠HED，∴△AEF≌△HED（ASA），∴AF=DH=16，同理△CDG
≌△HDE，∴CG=HE=20，∴BI=（AB+AF）=24，∵BI=24＜32，∴中位线IK的两端点在线段AB和DE上，过点K作KL⊥BC于点L，由【探索发现】知矩形的最大面积为×BG•BF=×（40+20）×（32+16）=720，答：该矩形的面积为720；
【实际应用】
如图2，延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，∵tanB=tanC=，∴∠B=∠C，∴EB=EC，∵BC=108cm，且EH⊥BC，∴BH=CH=BC=54cm，∵tanB==，∴EH=BH=×54=72cm，在Rt△BHE中，BE==90cm，∵AB=50cm，∴AE=40cm，∴BE的中点Q在线段AB上，∵CD=60cm，∴ED=30cm，∴CE的中点P在线段CD上，∴中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，由【拓展应用】知，矩形PQMN的最大面积为BC•EH=1944cm2．
答：该矩形的面积为1944cm2．
考点：1．四边形综合题；2．阅读型；3．探究型；4．最值问题；5．压轴题．
7．（2017江苏省连云港市）问题呈现：
如图1，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，AE=DG，求证：．（S表示面积）
实验探究：某数学实验小组发现：若图1中AH≠BF，点G在CD上移动时，上述结论会发生变化，分别过点
E、G作BC边的平行线，再分别过点F、H作AB边的平行线，四条平行线分别相交于点A1、B1、C1、D1，得到矩形A1B1C1D1．
如图2，当AH＞BF时，若将点G向点C靠近（DG＞AE），经过探索，发现：2S四边形EFGH=S矩形ABCD+S．
如图3，当AH＞BF时，若将点G向点D靠近（DG＜AE），请探索S四边形EFGH、S矩形ABCD与S之间的数量关系，并说明理由．
迁移应用：
请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：
（1）如图4，点E、F、G、H分别是面积为25的正方形ABCD各边上的点，已知AH＞BF，AE＞DG，S四边形EFGH=11，HF=，求EG的长．
（2）如图5，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E、H分别在边AB、AD上，BE=1，DH=2，点F、G分别是边BC、CD上的动点，且FG=，连接EF、HG，请直接写出四边形EFGH面积的最大值．
【答案】问题呈现：；实验探究：；迁移应用：（1）EG=；（2）．
【解析】
试题分析：问题呈现：只要证明S△HGE=S矩形AEGD，同理S△EGF=S矩形BEGC，由此可得S四边形EFGH=S△HGE+S△EFG=S矩形BEGC；
实验探究：结论：2S四边形EFGH=S矩形ABCD﹣．根据=， =， =， =，即可证明；
迁移应用：（1）利用探究的结论即可解决问题．
（2）分两种情形探究即可解决问题．
试题解析：问题呈现：证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠A=90°，∵AE=DG，∴四边形AEGD是矩形，∴S△HGE=S矩形AEGD，同理S△EGF=S矩形BEGC，∴S四边形EFGH=S△HGE+S△EFG=S矩形BEGC．
实验探究：结论：2S四边形EFGH=S矩形ABCD﹣．
理由：∵ =， =， =， =，∴S四边形EFGH=+++﹣，∴2S四边形EFGH=2+2+2+2﹣2，∴2S四边形EFGH=S矩形ABCD﹣．
迁移应用：解：（1）如图4中，∵2S四边形EFGH=S矩形ABCD﹣，∴ =25﹣2×11=3=A1B1A1D1，∵正方形的面积为25，∴边长为5，∵A1D12=HF2﹣52=29﹣25=4，∴A1D1=2，A1B1=，∴EG2=A1B12+52=，∴EG=．
（2）∵2S四边形EFGH=S矩形ABCD+，∴四边形A1B1C1D1面积最大时，矩形EFGH的面积最大．
①如图5﹣1中，当G与C重合时，四边形A1B1C1D1面积最大时，矩形EFGH的面积最大．
此时矩形A1B1C1D1面积=1×（﹣2）=
②如图5﹣2中，当G与D重合时，四边形A1B1C1D1面积最大时，矩形EFGH的面积最大．
此时矩形A1B1C1D1面积=21=2，∵2＞，∴矩形EFGH的面积最大值=．
考点：1．四边形综合题；2．最值问题；3．阅读型；4．探究型；5．压轴题．
8．（2017浙江省台州市）在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根．比如对于方程，操作步骤是：
第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点A（0，1），B（5，2）；
第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B；
第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时，点C的横坐标m即为该方程的一个实数根（如图1）；
第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x轴上另一点D处时，点D的横坐标n即为该方程的另一个实数根．
（1）在图2中，按照“第四步”的操作方法作出点D（请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹）；
（2）结合图1，请证明“第三步”操作得到的m就是方程的一个实数根；
（3）上述操作的关键是确定两个固定点的位置，若要以此方法找到一元二次方程 （a≠0，≥0）的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；
（4）实际上，（3）中的固定点有无数对，一般地，当m1，n1，m2，n2与a，b，c之间满足怎样的关系时，点P（m1，n1），Q（m2，n2）就是符合要求的一对固定点？
【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析；（3）A（0，1），B（﹣，）或A（0，），B（﹣，c）等；（4），=．
【解析】
试题分析：（1）根据“第四步”的操作方法作出点D即可；
（3）方程（a≠0）可化为，模仿研究小组作法可得一对固定点的坐标；
（4）先设方程的根为x，根据三角形相似可得，进而得到
，再根据，可得，最后比较系数可得
m1，n1，m2，n2与a，b，c之间的关系．
试题解析：（1）如图所示，点D即为所求；
（2）如图所示，过点B作BD⊥x轴于点D，根据∠AOC=∠CDB=90°，∠ACO=∠CBD，可得△AOC∽△CDB，∴，∴，∴m（5﹣m）=2，∴，∴m是方程的实数根；
（4）如图，P（m1，n1），Q（m2，n2），设方程的根为x，根据三角形相似可得，上式可化为，又∵，即，∴比较系数可得，=．
考点：1．三角形综合题；2．一元二次方程的解；3．相似三角形的判定与性质；4．阅读型；5．操作型；6．压轴题．
9．（2017浙江省绍兴市）定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．
（1）如图1，等腰直角四边形ABCD，AB=BC，∠ABC=90°．
①若AB=CD=1，AB∥CD，求对角线BD的长．
②若AC⊥BD，求证：AD=CD；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，点P是对角线BD上一点，且BP=2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形，求AE的长．
【答案】（1）①；②证明见解析；（2）5或6.5．
【解析】
试题分析：（1）①只要证明四边形ABCD是正方形即可解决问题；
②只要证明△ABD≌△CBD，即可解决问题；
试题解析：（1）①∵AB=AC=1，AB∥CD，∴S四边形ABCD是平行四边形，∵AB=BC，∴四边形ABCD是菱形，∵∠ABC=90°，∴四边形ABCD是正方形，∴BD=AC==．
（2）如图1中，连接AC、BD．
∵AB=BC，AC⊥BD，∴∠ABD=∠CBD，∵BD=BD，∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．
（2）若EF⊥BC，则AE≠EF，BF≠EF，∴四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件．
若EF与BC不垂直，①当AE=AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴AE=AB=5．
②当BF=AB时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴BF=AB=5，∵DE∥BF，∴BF=PB=1：2，∴DE=2.5，∴AE=9﹣2.5=6.5，综上所述，满足条件的AE的长为5或6.5．
考点：1．四边形综合题；2．分类讨论；3．新定义；4．压轴题．
10．（2017重庆市B卷）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．
（1）计算：F（243），F（617）；
（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k=，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值．
【答案】（1）F（243）=9，F（617）=14；（2）．
【解析】
试题分析：（1）根据F（n）的定义式，分别将n=243和n=617代入F（n）中，即可求出结论；
（2）∵s，t都是“相异数”，s=100x+32，t=150+y，∴F（s）=（302+10x+230+x+100x+23）÷111=x+5，F（t）=（510+y+100y+51+105+10y）÷111=y+6．
∵F（t）+F（s）=18，∴x+5+y+6=x+y+11=18，∴x+y=7．
∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y都是正整数，∴或或或或或．
∵s是“相异数”，∴x≠2，x≠3．
∵t是“相异数”，∴y≠1，y≠5，∴或或，∴或或，∴k==或k==1或k==，∴k的最大值为．
考点：1．因式分解的应用；2．二元一次方程的应用；3．新定义；4．阅读型；5．最值问题；6．压轴题．
微信/支付宝扫码支付