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高二数学（理科）试题
本试卷分选择题、填空题和解答题共22题，共150分，共2页，考试时间120分钟，考试结束后，只交答题卡。
第Ⅰ卷 （选择题，满分60分）
一、 选择题：本大题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1、已知命题：，则是 （ ）
A．， B．，
C．， D．，
2、若直线过点，，则此直线的倾斜角是 （ ）
A． B． C． D．
3、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ）
A．
B．
C．
D．
4、已知命题：，使得，命题：，使得，
则下列命题是真命题的是 （ ）
A． B． C． D．
5、“”是“方程表示椭圆”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6、方程所表示的曲线是 （ ）
A．一个圆 B．两个圆 C．半个圆 D．两个半圆
7、以为圆心，为半径的圆的标准方程为 （ ）
A． B．
C． D．
8、已知是空间中三条不同的直线，是平面，给出下列命题：①若，，则；
②若，，则；③若，，则；④若，，则。其中
真命题的序号是 （ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．②④
9、已知在三棱锥中，，，，，，
且平面平面，那么三棱锥外接球的体积为 （ ）
A． B．
C． D．
10、在平面内两个定点的距离为，点到这两个定点的距离的平方和为，则点的轨迹
是 （ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．线段
11、已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与的左右两支分别交于
两点，且，则 （ ）
A． B． C． D．
12、如图，是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段与圆
相切于点，且点为线段的中点，则椭圆的离心率为 （ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷 （非选择题，满分90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在答题卡相应的位置上）
13、一个圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则该圆锥的体积为__________。
14、抛物线的焦点到准线的距离是__________。
15、如图，在长方形中，，，是的中点，沿将向上折起，使
为，且平面平面。
则直线与平面所成角的正弦值为__________。
16、椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上任一点，且
的最大值的取值范围是，其中，则椭圆的离心率
的取值范围是__________。
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17、（本小题10分）
已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为，求顶点的坐标。
18、（本小题12分）
如图，在长方体中，，，点是线段的中点。
（1）求证：；
（2）求点到平面的距离。
19、（本小题12分）
已知圆过点，，且圆心在直线上。
（1）求圆的方程；
（2）设直线与圆交于两点，是否存在实数，使得过点的
直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由。
20、(本小题12分)
如图，四棱锥的底面四边形为菱形，平面，，，为的中点。
（1）求证：平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值。
21、（本小题12分）
已知抛物线与圆的两个交点之间的距离为。
（1）求的值；
（2）设过抛物线的焦点且斜率为的直线与抛物线交于两点，求。
22、（本小题12分）
已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点，且长轴长为。
（1）求椭圆的方程；
（2）若是椭圆的左顶点，经过左焦点的直线与椭圆交于两点，求
与（为坐标原点）的面积之差绝对值的最大值。
（3）已知椭圆上点处的切线方程为，为切点。若是直线上
任意一点，从向椭圆作切线，切点分别为，求证：直线恒过定点，并求出
该定点的坐标。
高二数学（理科）试题答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
B
D
A
C
C
D
D
A
C
A
二、 填空题
13. 14. 15. 16.
三、 解答题
17、【解】
由及边上的高所在直线的方程为得：
边所在直线的方程为。……………………………………………
又边上的中线所在直线的方程为。
由，得。……………………………………………………
18、【解】
（1）证明：因为平面，平面，所以。……
中，，，，
同理。有，，，………
，所以平面。
又平面，所以。…………………………………
（2）因为，，，
所以。…………………………………………………………
又因为，，，
所以，…………………………………………………
设点到平面的距离为，
则，…………………………………
解得，………………………………………………………………………
即点到平面的距离为。……………………………………………
19、【解】
（1）设圆的方程为，……………………………………
依题意得，解得。………………………………
所以圆的方程为。…………………………………
（2）假设符合条件的实数存在。
因为垂直平分弦，故圆心必在上，
所以的斜率，，所以。………………………
由圆的半径，
圆心到直线的距离，………
所以不存在这样的实数，使得过点的直线垂直平分弦。………
20、【解】
（1）连结，由已知得与都是正三角形。
又因为点为边的中点，所以。……………………………………
又因为，所以。
又平面，平面，所以。………………
又因为，平面，所以平面。……
（2）方法一：以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空
间直角坐标系。
由（1）知平面的一个法向量为。……………………………
，，。所以，。
设平面一个法向量为，
由，得，。
取，则，故。
设与的夹角为，则。………………
所以平面与平面所成角的二面角的平面角的余弦值为。……
方法二：取中点，连。是正三角形，所以。
连，则平面，从而。………………………………
为二面角的平面角。…………………………………………
在中，。已知，所以。……………………
在中，。……………………………………
21、【解】
（1）设交点为。易知，。
代入得，。…………………………………………………
（2）由（1）知，抛物线。
，设。………………………………………
联立得。所以，。……………
所以。……………………
22、【解】
（1）由题意得。又，，所以，。
所以椭圆的方程为。………………………………………………
（2）设的面积为，的面积为。
当直线斜率不存在时，直线方程为。
据椭圆对称性，得面积相等，所以。………………
当直线斜率存在时，设直线方程为，设，。
得，则。
所以
。……………………
又因为，当且仅当或时取“”。
所以的最大值为。……………………………………………………
（3）证明：设，，。
由已知得切线。① 切线。②…
把代入①②得，。
从而直线方程为，即。…………………
对，当，时恒成立，恒过定点。……………………
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