河南名校联盟2017—2018学年高三适应性考试（一）
文科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知是虚数单位，则复数（ ）
A． B． C． D．
2．已知是实数集，集合或，集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．为检验某校高一年级学生的身高情况，现采用先分层抽样后简单随机抽样的方法，抽取一个容量为300的样本，已知每个学生被抽取的概率为0.25，且男女生的比例是，则该校高一年级男生的人数是（ ）
A．600 B．1200 C．720 D．900
4．在等比数列中，，则（ ）
A．6 B． C． D．8
5．如图所示为一个的国际象棋棋盘，其中每个格子的大小都一样，向棋盘内随机抛撒100枚豆子，则落在黑格内的豆子总数最接近（ ）
A．40 B．50 C．60 D．64
6．空间中有不重合的平面，，和直线，，，则下列四个命题中正确的有（ ）
：若且，则；
：若且，则；
：若且，则；
：若，且，则.
A．， B．， C．， D．，
7．《九章算术》中介绍了一种“更相减损术”，用于求两个正整数的最大公约数，将该方法用算法流程图表示如下，若输入，，则输出的结果为（ ）
A．， B．， C．， D．，
8．已知某几何体的外接球的半径为，其三视图如图所示，图中均为正方形，则该几何体的体积为（ ）
A．16 B． C． D．8
9．变量，满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数的图象在和处的切线相互垂直，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
11．过抛物线（）的焦点作一条斜率为1的直线交抛物线于，两点向轴引垂线交轴于，，若梯形的面积为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．若对于任意的，都有，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知非零向量，满足，，则 ．
14．已知圆：，点，，记射线与轴正半轴所夹的锐角为，将点绕圆心逆时针旋转角度得到点，则点的坐标为 ．
15．等差数列的前项和为，已知，，则当时， ．
16．以双曲线的两焦点为直径作圆，且该圆在轴上方交双曲线于，两点；再以线段为直径作圆，且该圆恰好经过双曲线的两个顶点，则双曲线的离心率为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．锐角的内角，，的对边分别为，，，已知的外接圆半径为，且满足.
（1）求角的大小；
（2）若，求周长的最大值.
18．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，和均为等边三角形，且平面平面，点为中点.
（1）求证：平面；
（2）若的面积为，求四棱锥的体积.
19．某学校对甲、乙两个班级进行了物理测验，成绩统计如下（每班50人）：
（1）估计甲班的平均成绩；
（2）成绩不低于80分记为“优秀”.请完成下面的列联表，并判断是否有85%的把握认为：“成绩优秀”与所在教学班级有关？
（3）从两个班级，成绩在的学生中任选2人，记事件为“选出的2人中恰有1人来自甲班”.求事件的概率.
附：
20．椭圆（）的上下左右四个顶点分别为，，，，轴正半轴上的某点满足，.
（1）求椭圆的标准方程以及点的坐标；
（2）过点作倾斜角为锐角的直线交椭圆于点，过点作直线交椭圆于点，，且，是否存在这样的直线，使得，，的面积相等？若存在，请求出直线的斜率；若不存在，请说明理由.
21．已知函数.
（1）若同时存在极大值和极小值，求的取值范围；
（2）设，若函数的极大值和极小值分别为，，求的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为（），曲线与直线相交于，两点.
（1）当时，求；
（2）设中点为，当变化时，求点轨迹的参数方程.
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）当时，求的最小值；
（2）若在上的最大值为，求的值.
河南名校联盟2017-2018学年高三适应性考试（一）
文科数学参考答案与评分标准
一、选择题
1-5:CBCDB 6-10:DACDA 11、12：AC
二、填空题
13．2 14． 15．15 16．
三、解答题
17．解：（1）由正弦定理，得，
再结合，得，
解得，由为锐角三角形，得.
（2）由、及余弦定理，得，
即，
结合，得，
解得（当且仅当时取等号），
所以（当且仅当时取等号），
故当为正三角形时，周长的最大值为6.
18．解：（1）取的中点，连接，；
取的中点，连接，
因为是正三角形，所以.
因为，所以四边形为矩形，
从而，.
因为为的中位线,
所以，，即，，
所以四边形是平行四边形，
从而，
又面，
所以面.
（2）取的中点，连接，则.
过点作交于.
因为，面面，面面
所以面.
又因为面，
所以.
又因为，，、面，
所以面，
又因为面，
所以.
由于为中点，易知.
设，则的面积为，
解得，从而，.
因此，四棱锥的体积为
.
19．解：（1）估计，甲班的平均成绩为：
.
（2）列联表如下：
成绩优秀
成绩不优秀
总计
甲班
28
22
50
乙班
20
30
50
总计
48
52
100
.
有85%的把握认为“成绩优秀”与所在教学班级有关.
（3）成绩在内，甲班的2人分别记为，；乙班的4人分别记为，，，.
总的基本事件有：
，，，，，，，，，，，，，，，共15个.
其中事件包含的基本事件有：，，，，，，，，共8个.
所以.
20．解：（1）设点的坐标为（），易知，，
，.
因此椭圆标准方程为，点坐标为.
（2）设直线的斜率为，，，，则：，：
、的面积相等，则点，到直线的距离相等.
所以，解之得或（舍）.
当时，直线的方程可化为：，代入椭圆方程并整理得：
，所以
所以；
所以的面积为.
当时，直线的方程可化为：，代入椭圆方程并整理得：
，解之得或（舍）
所以的面积为.
所以，满足题意.
21．解：（1）由（），得.
依题意，得方程有两个不等的正根，设为，，
那么，解得，
故的取值范围是.
（2）由（1）知，令，由，得.
.
令，，则，
从而在上单调递减，而，，
因此，.
22．解：（1）将曲线化为直角坐标方程得，易知曲线是一个圆，且过原点.又直线经过原点，因此与圆的交点之一即为坐标原点，
所以.
（2）设点，，，则，，
由点在圆上，得，
化简，得，即.
化成参数方程为（为参数）.
23．解：（1）当时，.
当时，；
当时，；
当时，.
由单调性知，的最小值为.
（2）令，得；令，得.
①当，即时，，，
最大值为，解得.
②当，即时，
其最大值在区间两个端点处取得.
若，解得，此时，舍去；
若，解得，舍去；
③当，即时，，，
最大值为，解得，舍去.
综上所述，.
微信/支付宝扫码支付