河南省名校联盟2018届高三第一次段考数学（理）试卷Word版含答案.doc

河南名校联盟2017—2018学年高三适应性考试（一）‎ 理科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合或，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．复数，则（ ）‎ A． B．‎2 C． D．‎ ‎3．如图所示为一个的国际象棋棋盘，其中每个格子的大小都一样，向棋盘内随机抛撒100枚豆子，则落在黑格内的豆子总数最接近（ ）‎ A．40 B．‎50 C．60 D．64‎ ‎4．在等比数列中，，则（ ）‎ A．6 B． C． D．8‎ ‎5．空间中有不重合的平面，，和直线，，，则下列四个命题中正确的有（ ）‎ ‎：若且，则；‎ ‎：若且，则；‎ ‎：若且，则；‎ ‎：若，且，则.‎ A．， B．， C．， D．，‎ ‎6．《九章算术》中介绍了一种“更相减损术”，用于求两个正整数的最大公约数，将该方法用算法流程图表示如下，若输入，，则输出的结果为（ ）‎ A．， B．， C．， D．，‎ ‎7．已知，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知某几何体的外接球的半径为，其三视图如图所示，图中均为正方形，则该几何体的体积为（ ）‎ A．16 B． C． D．8‎ ‎9．变量，满足，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．在的展开式中，项的系数为（ ）‎ A．32 B． C． D．‎ ‎11．过抛物线（）的焦点作一条斜率为1的直线交抛物线于，两点向轴引垂线交轴于，，若梯形的面积为，则（ ）‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ ‎12．若对于任意的，都有，则的最大值为（ ）‎ A． B． C．1 D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知非零向量，满足，，则 ．‎ ‎14．已知圆：，点，，记射线与轴正半轴所夹的锐角为，将点绕圆心逆时针旋转角度得到点，则点的坐标为 ．‎ ‎15．以双曲线的两焦点为直径作圆，且该圆在轴上方交双曲线于，两点；再以线段为直径作圆，且该圆恰好经过双曲线的两个顶点，则双曲线的离心率为 ．‎ ‎16．数列的前项和为，已知，，若数列为等差数列，则 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17．锐角的内角，，的对边分别为，，，已知的外接圆半径为，且满足.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求周长的最大值.‎ ‎18．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，和均为等边三角形，且平面平面，点为中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.‎ ‎19．某建材公司在，两地各有一家工厂，它们生产的建材由公司直接运往地.由于土路交通运输不便，为了减少运费，该公司预备投资修建一条从地或地直达地的公路；若选择从某地修建公路，则另外一地生产的建材可先运输至该地再运至以节约费用.已知，之间为土路，土路运费为每吨千米20元，公路的运费减半，，，三地距离如图所示.为了制定修路计划，公司统计了最近10天两个工厂每天的建材产量，得到下面的柱形图，以两个工厂在最近10天日产量的频率代替日产量的概率.‎ ‎（1）求“，两地工厂某天的总日产量为20吨”的概率；‎ ‎（2）以修路后每天总的运费的期望为依据，判断从，哪一地修路更加划算.‎ ‎20．椭圆（）的上下左右四个顶点分别为，，，，轴正半轴上的某点满足，.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程以及点的坐标；‎ ‎（2）过点作直线交椭圆于点，过点作直线交椭圆于点，，且，是否存在这样的直线，使得，，的面积相等？若存在，请求出直线的斜率；若不存在，请说明理由.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若恒成立，求的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为（），曲线与直线相交于，两点.‎ ‎（1）当时，求；‎ ‎（2）设中点为，当变化时，求点轨迹的参数方程.‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）当时，求的最小值；‎ ‎（2）若在上的最大值为，求的值.‎ 河南名校联盟2017-2018学年高三适应性考试（一）‎ 理科数学参考答案与评分标准 一、选择题 ‎1-5:BCBDD 6-10:ABCDB 11、12：AC 二、填空题 ‎13．2 14． 15． 16．‎ 三、解答题 ‎17．解：（1）由正弦定理，得，‎ 再结合，得，‎ 解得，由为锐角三角形，得.‎ ‎（2）由、及余弦定理，得，‎ 即，‎ 结合，得，‎ 解得（当且仅当时取等号），‎ 所以（当且仅当时取等号），‎ 故当为正三角形时，周长的最大值为6.‎ ‎18．解：（1）过点作交于点，连接；‎ 取的中点，连接 ‎∵是等边底边的中线，‎ ‎∴.‎ ‎∵，‎ ‎∴四边形为矩形，‎ ‎∴，.‎ ‎∵为底边的中位线 ‎∴，，‎ ‎∴，，‎ 四边形是平行四边形，‎ ‎∴，‎ ‎∵面，‎ ‎∴面.‎ ‎（2）以点为坐标原点，为轴正方向，为单位长度建立空间直角坐标系 如图所示，各个点的坐标为，，，‎ 因此向量，，.‎ 设面、面的法向量分别为，，‎ 则，不妨令，解得，同理得 设平面与平面所成的锐二面角为，‎ 则 ‎19．解：（1）设“、两地公司总日产量为20吨”为事件，‎ 则.‎ ‎（2）同样可求、两地工厂某天的总日产量为19吨，21吨的概率分别为、.‎ 若从地修路，从地到地每天的运费的期望为：（元）.‎ 从地到地每天的运费的期望为：‎ ‎（元）.‎ 所以从地修路，每天的总运费的期望为：（元）.‎ 若从地修路，从地到地每天的运费的期望为：.‎ 从地到地每天的运费的期望为：‎ ‎（元）.‎ 所以从地修路，每天的总运费的期望为：（元）.‎ 所以从地修路更划算.‎ ‎20．解：（1）设点的坐标为（），易知，，‎ ‎，.‎ 因此椭圆标准方程为，点坐标为.‎ ‎（2）设直线的斜率为，，，，则：，：‎ ‎、的面积相等，则点，到直线的距离相等.‎ 所以，解之得或.‎ 当时，直线的方程可化为：，代入椭圆方程并整理得：‎ ‎，所以 所以；‎ 所以的面积为.‎ 当时，直线的方程可化为：，代入椭圆方程并整理得：‎ ‎，解之得或（舍）‎ 所以的面积为.‎ 所以，满足题意，‎ ‎②当时，直线的方程为：，代入椭圆方程并整理得：‎ ‎，所以 所以；‎ 又点到直线的距离为 所以的面积为.‎ 当时，直线的方程可化为：，代入椭圆方程并整理得：‎ ‎，解之得或（舍）‎ 所以的面积为.‎ 所以，不满足题意.‎ 综上知，存在这样的直线，，且直线的斜率为.‎ ‎21．解：（1）1）当时，，在上单调递减；‎ ‎2）当时，.‎ ‎①当时，在定义域上，，，，单调递减；‎ ‎②当时，的解为，（负值舍去），‎ 在上大于0，在上单调递增，‎ 在上小于0，在上单调递减；‎ 综上所述，当时，在单调递减；‎ 当时，在上单调递增，在上单调递减；‎ ‎（2）①当时，，满足题意；‎ ‎②当时，，不满足题意；‎ ‎③当时，，‎ 由于且，‎ 所以为两负数的乘积大于0，即，不满足题意；‎ ‎④当时，由（1）可知 令，则将上式写为，令，解得，此时，‎ 而当时，，，满足题意；‎ 当时，，，不满足题意；‎ 综上可得，当时，.‎ ‎22．解：（1）将曲线化为直角坐标方程得，易知曲线是一个圆，且过原点.又直线经过原点，因此与圆的交点之一即为坐标原点，‎ 所以.‎ ‎（2）设点，，，则，，‎ 由点在圆上，得，‎ 化简，得，即.‎ 化成参数方程为（为参数）.‎ ‎23．解：（1）当时，.‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，.‎ 由单调性知，的最小值为.‎ ‎（2）令，得；令，得.‎ ‎①当，即时，，，‎ 最大值为，解得.‎ ‎②当，即时，‎ 其最大值在区间两个端点处取得.‎ 若，解得，此时，舍去；‎ 若，解得，舍去；‎ ‎③当，即时，，，‎ 最大值为，解得，舍去.‎ 综上所述，.‎