江苏省南通中学数学练习
班级__________ 姓名_________
I卷
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答
卷相应位置上．）
1. 已知集合A＝{－2，－1，3，4}，B＝{－1，2，3}，则A∩B＝_ ▲ ．
【答案】{－1，3}
2.命题“∃x∈(0，＋∞)，ln x＝x－1”的否定是_ ▲ ．
【答案】∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1
3.若复数z满足(z－1)i＝－1＋i，其中i是虚数单位，则复数z的模是_ ▲ ．
【答案】
4.执行如图所示的流程图，则输出的k的值为_ ▲ ．
【答案】4
5. 一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：
轿车A
轿车B
轿车C
舒适型
100
150
z
标准型
300
450
600
按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．则z的值为_ ▲ ．
【答案】400
6.已知α∈，且cos α＝－，则tan(－α)＝_ ▲ ．
【答案】
7.已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋m(m为常数)，则f(－1)
的值为_ ▲ ．
【答案】－3
8.在棱长为2的正方体内随机取一点，取到的点到正方体中心的距离大于1的概率为_ ▲ ．
【答案】1－ 解析：半径为1的球的体积是π，正方体的体积是8，故所求的概率是1－＝1－
9. 已知函数f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有＜0成立，则a的取值范围是_ ▲
【答案】00)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是_ ▲ ．
【答案】(1，2) 解析：由题意易得点F的坐标为(－c，0)，A，B，E(a，0)．∵ △ABE是锐角三角形，∴ ·>0，即·＝·＞0.整理，得3e2＋2e>e4.∴ e(e3－3e－3＋1)1)，则≥＝·＝·＝(t－1＋＋6)≥3(当且仅当t＝4，即b＝4a时，等号成立)．
13. 已知函数 ，若函数 有 个不同的零点，则实数 的取值范围是_ ▲ ．
【答案】
【解析】当 时，，此时 ，
当 时，，此时 ，
当 时，，此时 ，
函数 ，
函数 的图象如下：
结合图象可得若函数 有 个不同的零点，则实数 的取值范围是 ．
14. 已知 ， 是非零不共线的向量，设 ，定义点集 ．(K不在是直线AB上)当 时，若对于任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的最小值为_ ▲ ．
【答案】 ,解析由 知 三点共线，且 ．由 知 ，即 ．由角平分线性质知 ，设 ，，，则 ，化简得 ，即 ，所以 的轨迹是以 为圆心，以 为半径的圆．由已知，， 在圆上，所以 ，又 ，所以 ，因为 ， 在 上单调递增，所以 ，所以 ，故实数 的最小值为 ．
二、解答题：（本大题共6小题，15—17每题14分，18—20每题16分，共计90分．请在答卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. (本小题满分14分)
如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB∥CD，AB1⊥BC，且AA1＝AB.求证：
(1) AB∥平面D1DCC1；
(2) AB1⊥平面A1BC.
【答案】证明：(1) 在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB∥CD，AB⊄平面D1DCC1，CD⊂平面D1DCC1，所以AB∥平面D1DCC1.
(2) 在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，四边形A1ABB1为平行四边形，又AA1＝AB，故四边形A1ABB1为菱形．从而AB1⊥A1B.又AB1⊥BC，而A1B∩BC＝B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC.
16. 已知向量m＝(cos α，－1)，n＝(2，sin α)，其中α∈，且m⊥n.
(1) 求cos 2α的值；
(2) 若sin(α－β)＝，且β∈，求角β.
【答案】解：(1) (解法1)由m⊥n得，2cos α－sin α＝0，sin α＝2cos α，(2分)
代入cos2α＋sin2α＝1，5cos2α＝1，且α∈，β∈，
则cos α＝，sin α＝，(4分)
则cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝－.(6分)
(解法2)由m⊥n得，2cos α－sin α＝0，tan α＝2，(2分)
故cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝＝－.(6分)
(2) 由α∈，β∈得，α－β∈.
因sin(α－β)＝，则cos(α－β)＝.(9分)
则sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝.(12分)
因β∈，得β＝.(14分)
17.如图所示，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为.设S的眼睛到地面的距离为米．
(1) 求摄影爱好者到立柱的水平距离和立柱的高度；
(2) 立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕其中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影爱好者有一视角范围为的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者是否都可以将彩杆全部摄入画面？请说明理由．
【答案】解：(1) 如图，作SC垂直OB于C，则∠CSB＝，∠ASB＝.又SA＝，故在Rt△SAB中，可求得BA＝3，
即摄影爱好者到立柱的水平距离为3米．
由SC＝3，∠CSO＝，在Rt△SCO中，可求得OC＝.
因为BC＝SA＝，故OB＝2，即立柱高为2米．
(2) 如图，连结SM，SN.设SN＝a，SM＝b.由(1)知SO＝2，在△SOM和△SON中，cos∠SOM＝－cos∠SON，
即＝－，可得a2＋b2＝26.
在△MSN中，cos∠MSN＝＝≥＝>，当且仅当a＝b时，等号成立．
又∠MSN∈(0，π)，则00)的右焦点为F2(1，0)，点H在椭圆上．
(1) 求椭圆的方程；
(2) 点M在圆x2＋y2＝b2上，且点M在第一象限，过点M作圆x2＋y2＝b2的切线交椭圆于P，Q两点，求证：△PF2Q的周长是定值．
【答案】解：(1) 设椭圆的左焦点为F1.根据已知，椭圆的左右焦点分别是F1(－1，0)，F2(1，0)，c＝1，
∵ H在椭圆上，
∴ 2a＝|HF1|＋|HF2|＝＋＝6.
∴ a＝3，b＝2.故椭圆的方程是＋＝1.
(2) 证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则＋＝1，
|PF2|＝＝＝.
∵ 0
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