1
-1-2-3-4-5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
54321O
y
x
第 3 讲、函数图象的分析与作图（讲义）
1. 已知在平面直角坐标系 xOy 中（如图），抛物线 y=-x2+bx+c 经过点 A(2，2)，对称轴
是直线 x=1，顶点为 B．
（1）求这条抛物线的表达式和点 B 的坐标；
（2）点 M 在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为 m，连接 AM，用含 m 的代数
式表示∠AMB 的正切值；
（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点 C
在 x 轴上．原抛物线上一点 P 平移后的对应点为点 Q，如
果 OP=OQ，求点 Q 的坐标．
2. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为(0，1)，取一点B(b，0)，连接AB，作线段 AB
的垂直平分线 l1，过点 B 作 x 轴的垂线 l2，记 l1，l2 的交点为 P．
（1）当 b=3 时，在图 1 中补全图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
（2）小慧多次取不同数值 b，得出相应的点 P，并把这些点用平滑的曲线连接起来发现：
这些点 P 竟然在一条曲线 L 上．
①设点 P 的坐标为(x，y)，试求 y 与 x 之间的关系式，并指出曲线 L 是哪种曲线；
②设点 P 到 x 轴、y 轴的距离分别是 d1，d2，求 d1+d2 的范围，当 d1+d2=8 时，求点 P 的
坐标；2
③将曲线 L 在直线 y=2 下方的部分沿直线 y=2 向上翻折，得到一条“W”形状的新曲线，
若直线 y=kx+3 与这条“W”形状的新曲线有 4 个交点，直接写出 k 的取值范围．
图 1
3. 已知二次函数 y=ax2-2ax+c（a＜0）的最大值为 4，且抛物线过点 ，点 P(t，0)
是 x 轴上的动点，抛物线与 y 轴交点为 C，顶点为 D．
（1）求该二次函数的解析式及顶点 D 的坐标；
（2）求|PC-PD|的最大值及对应的点 P 的坐标；
（3）设 Q(0，2t)是 y 轴上的动点，若线段 PQ 与函数 y=a|x|2-2a|x|+c 的图象只有一个
公共点，请直接写出 t 的取值．
y
xO-1
-4-3
2
1
3
4
-1-2
6
5
431 2
y
xO-1
-4-3
2
1
3
4
-1-2
6
5
431 2
7 9( )2 4
−，
-2
y
xO-1
-4-3
2
1
3
4
-1-2
6
5
431 23
4. 如图，抛物线 L： （常数 t＞0）与 x 轴从左到右的交点为 B，A，
过线段 OA 的中点 M 作 MP ⊥x 轴，交双曲线 （k ＞0 ， x ＞0 ）于点 P ，且
．
（1）求 k 的值；
（2）当 t=1 时，求 AB 的长，并求直线 MP 与 L 对称轴之间的距离；
（3）把 L 在直线 MP 左侧部分的图象（含与直线 MP 的交点）记为 G，用 t 表示图象 G
最高点的坐标；
（4）设 L 与双曲线有个交点的横坐标为 x0，且满足 4≤x0≤6，通过 L 位置随 t 变化的
过程，直接写出 t 的取值范围．
1 ( )( 4)2y x t x t= − − − +
ky x
=
12OA MP⋅ =
1 64
1
y
x
L
O M
P
B A4
【参考答案】
1. （1）抛物线的表达式为 y=-x2+2x+2；点 B(1，3)；
（2）tan∠AMB= ；
（3）点 Q 的坐标为 ， ．
2. （1）作图略；
（2）① ，曲线 L 是抛物线；
②d1+d2≥ ；P1(3，5)，P2(-3，5)；
③k 的取值范围为 ．
3. （1）二次函数的解析式为 y=-x2+2x+3；顶点 D(1，4)；
（2）|PC-PD|的最大值为 ，对应的点 P 坐标为(-3，0)；
（3） ≤t＜3， 或 t≤-3．
4. （1）k 的值为 6；
（2）直线 MP 与 L 对称轴之间的距离为 ；
（3）图象 G 最高点的坐标为 ；
（4）t 的取值范围为 5≤t≤ ，7≤t≤ ．
1
2m −
2 6 3( )2 2
+ −， 2 6 3( )2 2
− −，
21 1
2 2y x= +
1
2
3 3
3 3k− < <
2
3
2
7
2t =
3
2
2
( )2 8
t t t− +，
8 2− 8 2+
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