贵阳专用2019中考数学总复习第二部分热点专题解读专题四实际应用题针对训练.doc

1 第二部分　专题六　 1．如图，直线 y＝－x＋2 与反比例函数 y＝ k x(k≠0)的图象交于 A(a,3)，B(3，b)两点， 过点 A 作 AC⊥x 轴于点 C，过点 B 作 BD⊥x 轴于点 D． (1)求 a，b 的值及反比例函数的解析式； (2)若点 P 在直线 y＝－x＋2 上，且 S△ACP＝S△BDP，请求出此时点 P 的坐标； (3)在 x 轴正半轴上是否存在点 M，使得△MAB 为等腰三角形？若存在，请直接写出 M 点 的坐标；若不存在，说明理由． 解：(1)∵直线y＝－x＋2 与反比例函数 y＝ k x(k≠0)的图象交于 A(a,3)，B(3，b)两点， ∴－a＋2＝3，－3＋2＝b，解得 a＝－1，b＝－1， ∴A(－1,3)，B(3，－1)． ∵点 A(－1,3)在反比例函数 y＝ k x图象上， ∴k＝－1×3＝－3， ∴反比例函数的解析式为 y＝－ 3 x. (2)设点 P(n，－n＋2)． ∵A(－1,3)，∴C(－1,0)． ∵B(3，－1)，∴D(3,0)． ∴S△ACP＝ 1 2AC·|xP－xA|＝ 1 2×3·|n＋1|， S△BDP＝ 1 2BD·|xB－xP|＝ 1 2×1·|3－n|. ∵S△ACP＝S△BDP，∴ 1 2×3·|n＋1|＝ 1 2×1·|3－n|， 解得 n＝0 或 n＝－3，∴P(0,2)或(－3,5)． (3)存在．设 M(m,0)(m＞0)， ∵A(－1,3)，B(3，－1)，∴MA2＝(m＋1)2＋9，MB2＝(m－3)2＋1，AB2＝32， ∵△MAB 是等腰三角形，∴①当 MA＝MB 时， ∴(m＋1)2＋9＝(m－3)2＋1，∴m＝0(舍)；2 ②当 MA＝AB 时，∴(m＋1)2＋9＝32， ∴m＝－1＋ 23或 m＝－1－ 23(舍)， ∴M(－1＋ 23，0)； ③当 MB＝AB 时，(m－3)2＋1＝32， ∴m＝3＋ 31或 m＝3－ 31(舍)， ∴M(3＋ 31，0)． 则满足条件的 M(－1＋ 23，0)或(3＋ 31，0)． 2．如图，在平面直角坐标系中，等腰 Rt△AOB 的斜边 OB 在 x 轴上，直线 y＝3x－4 经 过等腰 Rt△AOB 的直角顶点 A，交 y 轴于 C 点，双曲线 y＝ k x也经过 A 点，连接 BC． (1)求 k 的值； (2)判断△ABC 的形状，并求出它的面积； (3)若点 P 为 x 正半轴上一动点，在点 A 的右侧的双曲线上是否存在一点 M，使得△PAM 是以点 A 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理 由． 解：(1)如答图 1，过点 A 分别作 AQ⊥y 轴于 Q 点，AN⊥x 轴于 N 点． 答图 1 ∵△AOB 是等腰直角三角形， ∴AQ＝AN. 设点 A 的坐标为(a，a)， ∵点 A 在直线 y＝3x－4 上， ∴a＝3a－4，解得 a＝2， 则点 A 的坐标为(2,2)． ∵双曲线 y＝ k x也经过 A 点，∴k＝4.3 (2)由(1)知，A(2,2)，∴B(4,0)． ∵直线 y＝3x－4 与 y 轴的交点为 C，∴C(0，－4)， ∴AB2＋BC2＝(4－2)2＋22＋42＋(－4)2＝40， AC2＝22＋(2＋4)2＝40，∴AB2＋BC2＝AC2，△ABC 是直角三角形，且∠ABC＝90°，∴S△ ABC＝ 1 2AB·BC＝ 1 2×2 2×4 2＝8. (3)存在．如答图 2，假设双曲线上存在一点 M，使得△PAM 是等腰直角三角形． 答图 2 ∴∠PAM＝90°＝∠OAB， AP＝AM，连接 BM.∵k＝4， ∴反比例函数的解析式为 y＝ 4 x. ∵∠OAB＝∠PAM＝90°，∴∠OAP＝∠BAM. 在△AOP 和△ABM 中，Error! ∴△AOP≌△ABM(ASA)， ∴∠AOP＝∠ABM， ∴∠OBM＝∠OBA＋∠ABM＝90°， ∴点 M 的横坐标为 4，∴M(4,1)． 则在双曲线上存在一点 M(4,1)，使得△PAM 是以点 A 为直角顶点的等腰三角形． 3．如图，一次函数 y＝kx＋b 的图象与反比例函数 y＝ m x(x＞0)的图象交于点 P(n，2)， 与 x 轴交于点 A(－4,0)，与 y 轴交于点 C，PB⊥x 轴于点 B，点 A 与点 B 关于 y 轴对称． (1)求一次函数，反比例函数的解析式； (2)求证：点 C 为线段 AP 的中点； (3)反比例函数图象上是否存在点 D，使四边形 BCPD 为菱形？如果存在，说明理由并求 出点 D 的坐标；如果不存在，说明理由． 解：(1)∵点 A 与点 B 关于 y 轴对称，∴AO＝BO. ∵A(－4,0)，∴B(4,0)． ∵PB⊥x 轴于点 B，∴P(4,2)．4 把 P(4,2)代入反比例函数解析式可得 m＝8， ∴反比例函数的解析式为 y＝ 8 x. 把 A，P 两点坐标分别代入一次函数解析式可得Error!解得Error! ∴一次函数的解析式为 y＝ 1 4x＋1. (2)证明：∵点 A 与点 B 关于 y 轴对称，∴OA＝OB． ∵PB⊥x 轴于点 B，∴∠PBA＝∠COA＝90°， ∴PB∥CO，∴点 C 为线段 AP 的中点． (3)存在点 D，使四边形 BCPD 为菱形． 理由如下： ∵点 C 为线段 AP 的中点，∴BC＝ 1 2AP＝PC， ∴BC 和 PC 是菱形的两条边． 由 y＝ 1 4x＋1 可得 C(0,1)． 如答图，过点 C 作 CD∥x 轴，交 PB 于点 E，交反比例函数图象于点 D，分别连接 PD， BD， 答图 ∴D(8,1)，且 PB⊥CD， ∴PE＝BE＝1，CE＝DE＝4， ∴PB 与 CD 互相垂直平分，即四边形 BCPD 为菱形， ∴存在满足条件的点 D，其坐标为(8,1)． 4．(2018·金华)如图，四边形ABCD 的四个顶点分别在反比例函数 y＝ m x与 y＝ n x(x＞0,0 ＜m＜n)的图象上，对角线 BD∥y 轴，且 BD⊥AC 于点 P.已知点 B 的横坐标为 4. (1)当 m＝4，n＝20 时． ①若点 P 的纵坐标为 2，求直线 AB 的函数表达式． ②若点 P 是 BD 的中点，试判断四边形 ABCD 的形状，并说明理由． (2)四边形 ABCD 能否成为正方形？若能，求此时 m，n 之间的数量关系；若不能，试说5 明理由． 解：(1)①如答图 1.∵m＝4， ∴反比例函数 y＝ m x的解析式为 y＝ 4 x. ∵当 x＝4 时，y＝1，∴B(4,1)， ∴当 y＝2 时，2＝ 4 x，解得 x＝2，∴A(2,2)． 设直线 AB 的解析式为 y＝kx＋b， 将 A(2,2)，B(4,1)两点分别代入， 得Error!解得Error! ∴直线 AB 的函数表达式为 y＝－ 1 2x＋3. ②四边形 ABCD 是菱形． 理由如下：如答图 2，由①知，B(4,1)， ∵BD∥y 轴，∴D(4,5)． ∵点 P 是线段 BD 的中点，∴P(4,3)． ∵当 y＝3 时，由 y＝ 4 x得 x＝ 4 3， 由 y＝ 20 x 得 x＝ 20 3 ， ∴PA＝4－ 4 3＝ 8 3，PC＝ 20 3 －4＝ 8 3，∴PA＝PC． ∵PB＝PD，∴四边形 ABCD 为平行四边形， ∵BD⊥AC，∴四边形 ABCD 是菱形． 　　　　 图 1　　　　　　　　　图 2 答图 (2)四边形 ABCD 能成为正方形． 理由：当四边形 ABCD 是正方形时， 则 PA＝PB＝PC＝PD(设为 t，t≠0)， ∵当 x＝4 时，y＝ m x＝ m 4， ∴B(4， m 4)，6 ∴A(4－t， m 4＋t)，C(4＋t， m 4＋t)， ∴(4－t)( m 4＋t)＝m，∴t＝4－ m 4， ∴C(8－ m 4，4)，∴(8－ m 4)×4＝n，∴m＋n＝32. ∵点 D 的纵坐标为 m 4＋2t＝ m 4＋2(4－ m 4)＝8－ m 4， ∴D(4,8－ m 4)，∴4(8－ m 4)＝n，∴m＋n＝32. 5．如图，已知一次函数 y1＝k1x＋b 的图象与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，与反比例 函数 y2＝ k2 x 的图象分别交于 C，D 两点，点 D(2，－3)，OA＝2. (1)求一次函数 y1＝k1x＋b 与反比例函数 y2＝ k2 x 的解析式； (2)直接写出 k1x＋b－ k2 x ≥0 时自变量 x 的取值范围； (3)动点 P(0，m)在 y 轴上运动，当|PC－PD|的值最大时，直接写出 P 点的坐标． 解：(1)∵点 D(2，－3)在反比例函数 y2＝ k2 x 的图象上， ∴k2＝2×(－3)＝－6，∴y2＝－ 6 x. 如答图，过点 D 作 DE⊥x 轴于 E. 答图 ∵OA＝2，∴A(－2,0)， ∵A(－2,0)，D(2，－3)在 y1＝k1x＋b 的图象上， ∴Error!解得Error! ∴y1＝－ 3 4x－ 3 2. (2)由图可得，当 k1x＋b－ k2 x ≥0 时，x≤－4 或 0＜x≤2. (3)P 点坐标为(0，－ 15 2 )．理由如下：7 由Error!解得Error!或Error! ∴C(－4， 3 2)， 如答图，作 C(－4， 3 2)关于 y 轴对称点 C′(4， 3 2)，延长 C′D 交 y 轴于点 P， ∴由 C′和 D 的坐标可得，直线 C′D 解析式为 y＝ 9 4x－ 15 2 ， 令 x＝0，则 y＝－ 15 2 ， ∴当|PC－PD|的值最大时，点 P 的坐标为(0，－ 15 2 )． 6．如图 1，直线 y＝kx＋b 与双曲线 y＝ 4 x(x＞0)相交于点 A(1，m)，B(4，n)，与 x 轴 相交于 C 点． (1)求点 A，B 的坐标及直线 y＝kx＋b 的解析式； (2)求△ABO 的面积； (3)如图 2，在 x 轴上是否存在点 P，使得 PA＋PB 的和最小？若存在，请说明理由并求 出 P 点坐标． 解：(1)∵点 A(1，m)，B(4，n)在双曲线 y＝ 4 x(x＞0)上， ∴m＝4，n＝1， ∴A(1,4)，B(4,1)， ∴Error!解得Error! ∴直线 y＝kx＋b 的解析式为 y＝－x＋5. (2)如答图 1，设直线 AB 与 y 轴交于 D 点，由(1)知，直线 AB 的解析式为 y＝－x＋5， ∴C(5,0)，D(0,5)， ∴OC＝5，OD＝5. ∴S△AOB＝S△COD－S△AOD－S△BOC＝ 1 2×5×5－ 1 2×5×1－ 1 2×5×1＝ 15 2 .8 (3)存在，理由：如答图 2， 作点 B(4,1)关于 x 轴的对称点 B′(4，－1)，连接 AB′交 x 轴于点 P，连接 BP，在 x 轴上取一点 Q，连接 AQ，BQ. ∵点 B 与点 B′关于 x 轴对称， ∴点 P，Q 是 BB′中垂线上的点，∴PB′＝PB，QB′＝QB，在△AQB′中，AQ＋B′Q＞ AB′， ∴AP＋BP 的最小值为 AB′. ∵A(1,4)，B′(4，－1)， ∴直线 AB′的解析式为 y＝－ 5 3x＋ 17 3 ， 令 y＝0，则 0＝－ 5 3x＋ 17 3 ， 解得 x＝ 17 5 ， ∴P( 17 5 ，0)． 7．如图，抛物线与 x 轴交于 A，B 两点，点 A 在点 B 的左边，与 y 轴交于点 C，点 D 是 抛物线的顶点，且 A(－6,0)，D(－2，－8)． (1)求抛物线的解析式； (2)点 P 是直线 AC 下方的抛物线上一动点，不与点 A，C 重合，过点 P 作 x 轴的垂线交 于 AC 于点 E，求线段 PE 的最大值及 P 点坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点 M，使得△ACM 为直角三角形？若存在，求出点 M 的 坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)设抛物线的解析式为 y＝a(x＋2)2－8，把 A(－6,0)代入得 a(－6＋2)2－8＝0， 解得 a＝ 1 2. ∴抛物线的解析式为 y＝ 1 2(x＋2)2－8，9 即 y＝ 1 2x2＋2x－6. (2)如答图，当 x＝0 时，y＝ 1 2x2＋2x－6＝－6，则 C(0，－6)． 设直线 AC 的解析式为 y＝kx＋b， 把 A(－6,0)，C(0，－6)分别代入得Error! 解得Error!∴直线 AC 的解析式为 y＝－x－6. 设 P(x， 1 2x2＋2x－6)(－6＜x＜0)，则 E(x，－x－6)． ∴PE＝－x－6－( 1 2x2＋2x－6)＝－ 1 2x2－3x＝－ 1 2(x＋3)2＋ 9 2， ∴当 x＝－3 时，PE 的长度有最大值，最大值为 9 2，此时点 P 的坐标为(－3，－ 15 2 )． (3)存在． 如答图，抛物线的对称轴为直线 x＝－2，设 M(－2，t)． ∵A(－6,0)，C(0，－6)，∴AC2＝62＋62＝72， AM2＝(－2＋6)2＋t2，CM2＝(－2)2＋(t＋6)2. 当 AC2＋AM2＝CM2，△ACM 为直角三角形， 即 72＋(－2＋6)2＋t2＝(－2)2＋(t＋6)2， 解得 t＝4，此时点 M 坐标为(－2,4)； 当 AC2＋CM2＝AM2 时，△ACM 为直角三角形， 即 72＋(－2)2＋(t＋6)2＝(－2＋6)2＋t2， 解得 t＝－8，此时点 M 的坐标为(－2，－8)； 当 CM2＋AM2＝AC2 时，△ACM 为直角三角形， 即(－2)2＋(t＋6)2＋(－2＋6)2＋t2＝72， 解得 t1＝－3＋ 17，t2＝－3－ 17，此时点 M 的坐标为(－2，－3＋ 17)或(－2，－ 3－ 17)． 综上所述，点 M 的坐标为(－2,4)或(－2，－8)或(－2，－3＋ 17)或(－2，－3－ 17)． 8．(2018·泰安)如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象交 x 轴 于点 A(－4,0)，B(2,0)，交 y 轴于点 C(0,6)，在 y 轴上有一点 E(0，－2)，连接 AE.10 (1)求二次函数的表达式； (2)若点 D 为抛物线在 x 轴负半轴上方的一个动点，求△ADE 面积的最大值； (3)抛物线对称轴上是否存在点 P，使△AEP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有 P 点的坐标，若不存在，请说明理由． 解：(1)∵二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象经过点 A(－4,0)，B(2,0)，C(0,6)， ∴Error!解得Error! ∴二次函数的表达式为 y＝－ 3 4x2－ 3 2x＋6. (2)由 A(－4,0)，E(0，－2)可得 AE 所在的直线解析式为 y＝－ 1 2x－2， 过点 D 作 DF⊥x 轴，交 AE 于点 F，交 x 轴于点 G，过点 E 作 EH⊥DF，垂足为 H，如答图， 设 D(m，－ 3 4m2－ 3 2m＋6)， 则点 F(m，－ 1 2m－2)， ∴DF＝－ 3 4m2－ 3 2m＋6－(－ 1 2m－2)＝－ 3 4m2－m＋8， ∴S △ ADE ＝S △ ADF ＋S △ EDF ＝ 1 2·DF·AG＋ 1 2·DF·EH＝ 1 2×DF·(AG＋HE)＝ 1 2×DF×4＝ 2×(－ 3 4m2－m＋8)＝－ 3 2(m＋ 2 3)2＋ 50 3 ， ∴当 m＝－ 2 3时，S△ADE 最大，最大值为 50 3 . (3)存在，P 点的坐标为(－1,1)或(－1，± 11)或(－1，－2± 19)． 【解法提示】y＝－ 3 4x2－ 3 2x＋6 的对称轴为直线 x＝－1， 设 P(－1，n)，又 E(0，－2)，A(－4,0)， 可得 PA＝ 9＋n2，PE＝ 1＋n＋22， AE＝ 16＋4＝2 5， 当 PA＝PE 时， 9＋n2＝ 1＋n＋22，11 解得 n＝1，此时 P(－1,1)； 当 PA＝AE 时， 9＋n2＝2 5， 解得 n＝± 11，此时 P 点的坐标为(－1，± 11)； 当 PE＝AE 时， 1＋n＋22＝2 5， 解得 n＝－2± 19， 此时 P 点的坐标为(－1，－2± 19)， 综上所述，P 点的坐标为(－1,1)或(－1，± 11)或(－1，－2± 19)． 9．如图，已知抛物线 y＝x2＋bx＋c 经过点 A(1,0)，B(－3,0)，与 y 轴交于点 C，抛物 线的顶点为 D，对称轴与 x 轴相交于点 E，连接 BD． (1)求抛物线的解析式． (2)若点 P 在直线 BD 上，当 PE＝PC 时，求点 P 的坐标． (3)在(2)的条件下，作 PF⊥x 轴于 F，点 M 为 x 轴上一动点，N 为直线 PF 上一动点，G 为抛物线上一动点，当以点 F，N，G，M 四点为顶点的四边形为正方形时，求点 M 的坐标． 解：(1)∵抛物线 y＝x2＋bx＋c 经过点 A(1,0)，B(－3,0)， ∴Error!　解得Error! 即抛物线的解析式为 y＝x2＋2x－3. (2)由(1)知，抛物线的解析式为 y＝x2＋2x－3， ∴C(0，－3)，抛物线的顶点坐标为 D(－1，－4)， ∴E(－1,0)．设直线 BD 的解析式为 y＝mx＋n， ∴Error!　解得Error! ∴直线 BD 的解析式为 y＝－2x－6. 设点 P(a，－2a－6)．∵C(0，－3)，E(－1,0)， 根据勾股定理得，PE2＝(a＋1)2＋(－2a－6)2，PC2＝a2＋(－2a－6＋3)2. ∵PC＝PE， ∴(a＋1)2＋(－2a－6)2＝a2＋(－2a－6＋3)2， 解得 a＝－2，∴y＝－2×(－2)－6＝－2， ∴P(－2，－2)． (3)如答图，作 PF⊥x 轴于 F，∴F(－2,0)．12 设 M(d,0)，∴G(d，d2＋2d－3)，N(－2，d2＋2d－3)． ∵以点 F，N，G，M 四点为顶点的四边形为正方形，∴必有 FM＝MG， ∴|d＋2|＝|d2＋2d－3|， 解得 d＝ －1 ± 21 2 或 －3 ± 13 2 ， ∴点 M 的坐标为( －1＋ 21 2 ，0)，( －1－ 21 2 ，0)，( －3＋ 13 2 ，0)或( －3－ 13 2 ， 0)． 10．(2018·岳阳)已知抛物线 F：y＝x2＋bx＋c 经过坐标原点 O，且与 x 轴另一交点为 (－ 3 3 ，0)． 　　　　　　　　　　　　图 1　　　　　　　图 2 (1)求抛物线 F 的解析式； (2)如图 1，直线 l：y＝ 3 3 x＋m(m＞0)与抛物线 F 相交于点 A(x1，y1)和点 B(x2，y2)(点 A 在第二象限)，求 y2－y1 的值(用含 m 的式子表示)； (3)在(2)中，若 m＝ 4 3，设点 A′是点 A 关于原点 O 的对称点，如图 2. ①判断△AA′B 的形状，并说明理由； ②平面内是否存在点 P，使得以点 A，B，A′，P 为顶点的四边形是菱形？若存在，求 出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)∵抛物线 y＝x2＋bx＋c 经过点(0,0)和(－ 3 3 ，0)，∴Error!解得Error! ∴抛物线 F 的解析式为 y＝x2＋ 3 3 x. (2)将 y＝ 3 3 x＋m 代入 y＝x2＋ 3 3 x，得 x2＝m， 解得 x1＝－ m，x2＝ m，∴y1＝－ 1 3 3m＋m，13 y2＝ 1 3 3m＋m，∴y2－y1＝( 1 3 3m＋m)－ (－ 1 3 3m＋m)＝ 2 3 3m(m＞0)． (3)如答图，∵m＝ 4 3，∴点 A 的坐标为(－ 2 3 3 ， 2 3)，点 B 的坐标为( 2 3 3 ，2)．∵点A′ 是点 A 关于原点 O 的对称点，∴点 A′的坐标为( 2 3 3 ，－ 2 3)． ①△AA′B 为等边三角形． 理由如下： ∵A(－ 2 3 3 ， 2 3)，B( 2 3 3 ，2)，A′( 2 3 3 ，－ 2 3)， ∴AA′＝ 8 3，AB＝ 8 3，A′B＝ 8 3，∴AA′＝AB＝A′B， ∴△AA′B 为等边三角形． ②存在．∵△AA′B 为等边三角形， ∴以点 A，B，A′，P 为顶点的菱形分三种情况，设点 P 的坐标为(x，y)如答图． a．当 A′B 为对角线时，有Error! 解得Error!∴点 P 的坐标为(2 3， 2 3)． b．当 AB 为对角线时，有Error! 解得Error!∴点 P 的坐标为(－ 2 3 3 ， 10 3 )． c．当 AA′为对角线时，有Error! 解得Error!∴点 P 的坐标为(－ 2 3 3 ，－2)． 综上所述，平面内存在点 P，使得以点 A，B，A′，P 为顶点的四边形是菱形，点 P 的 坐标为(2 3， 2 3)，(－ 2 3 3 ， 10 3 )或(－ 2 3 3 ，－2)． 11．(2018·永州)如图 1，抛物线的顶点 A 的坐标为(1,4)，抛物线与 x 轴相交于 B，C 两点，与 y 轴交于点 E(0,3)．14 图 1　 　　　　　图 2 (1)求抛物线的表达式； (2)已知点 F(0，－3)，在抛物线的对称轴上是否存在一点 G，使得 EG＋FG 最小？如果 存在，求出点 G 的坐标；如果不存在，请说明理由． (3)如图 2，连接 AB，若点 P 是线段 OE 上的一动点，过点 P 作线段 AB 的垂线，分别与 线段 AB，抛物线相交于点 M，N(点 M，N 都在抛物线对称轴的右侧)，当 MN 最大时，求△PON 的面积． 解：(1)设抛物线的表达式为 y＝a(x－1)2＋4. 把(0,3)代入得 3＝a(0－1)2＋4，解得 a＝－1， 故抛物线的表达式为 y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3. (2)存在． 如答图 1，作 E 关于对称轴的对称点 E′，连接 E′F 交对称轴于 G，此时 EG＋FG 的值 最小． ∵E(0,3)，∴E′(2,3)， 易得直线 E′F 的解析式为 y＝3x－3， 当 x＝1 时，y＝3×1－3＝0，∴G(1,0)． 图 1　　　　　 图 2 (3)如答图 2，过 N 作 NH⊥x 轴于 H，交 AB 于 Q，设对称轴交 x 轴于 D， ∵A(1,4)，B(3,0)， ∴直线 AB 的解析式为 y＝－2x＋6， 设 N(m，－m2＋2m＋3)， 则 Q(m，－2m＋6)(1＜m＜3)， ∴NQ＝(－m2＋2m＋3)－(－2m＋6)＝－m2＋4m－3. ∵AD∥NH，∴∠DAB＝∠NQM. ∵∠ADB＝∠QMN＝90°， ∴△QMN∽△ADB，15 ∴ QN MN＝ AB BD，即 －m2＋4m－3 MN ＝ 2 5 2 ， ∴MN＝－ 5 5 (m－2)2＋ 5 5 .∵－ 5 5 ＜0， ∴当 m＝2 时，MN 有最大值． 过 N 作 NI⊥y 轴于 I，∵∠IPN＝∠ABD， ∠NIP＝∠ADB＝90°，∴△NIP∽△ADB， ∴ PI NI＝ BD AD＝ 2 4＝ 1 2，∴PI＝ 1 2NI＝ 1 2m， ∴OP＝OI－PI＝－m2＋2m＋3－ 1 2m＝－m2＋ 3 2m＋3，∴S△PON＝ 1 2OP·IN＝ 1 2(－m2＋ 3 2m＋ 3)·m，当 m＝2 时，S△PON＝ 1 2×(－4＋3＋3)×2＝2. 12．(2018·东营)如图，抛物线 y＝a(x－1)(x－3)(a>0)与 x 轴交于 A，B 两点，抛物 线上另有一点 C 在 x 轴下方，且使△OCA∽△OBC． (1)求线段 OC 的长度； (2)设直线 BC 与 y 轴交于点 M，点 C 是 BM 的中点时，求直线 BM 和抛物线的解析式； (3)在(2)的条件下，直线 BC 下方抛物线上是否存在一点 P，使得四边形 ABPC 面积最大？ 若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)当 y＝0 时，a(x－1)(x－3)＝0， 解得 x1＝1，x2＝3，即 A(1,0)，B(3,0)， ∴OA＝1，OB＝3.∵△OCA∽△OBC， ∴OC∶OB＝OA∶OC，∴OC2＝OA·OB＝3，则 OC＝ 3. (2)∵C 是 BM 的中点，即 OC 为 Rt△OBM 斜边 BM 的中线，∴OC＝BC，∴点 C 的横坐标为 3 2. 又∵OC＝ 3，点 C 在 x 轴下方，∴C( 3 2，－ 3 2 )． 设直线 BM 的解析式为 y＝kx＋b， 把点 B(3,0)，C( 3 2，－ 3 2 )代入， 得Error!解得Error!16 ∴直线 BM 的解析式为 y＝ 3 3 x－ 3. 又∵点 C( 3 2，－ 3 2 )在抛物线上， ∴将 C( 3 2，－ 3 2 )代入抛物线的解析式， 解得 a＝ 2 3 3 ， ∴抛物线的解析式为 y＝ 2 3 3 x2－ 8 3 3 x＋2 3. (3)存在． 如答图，过点 P 作 PQ⊥x 轴交直线 BM 于点 Q，设点 P 的坐标为(x， 2 3 3 x2－ 8 3 3 x＋2 3)， 则 Q(x， 3 3 x－ 3)， ∴PQ＝ 3 3 x－ 3－( 2 3 3 x2－ 8 3 3 x＋2 3)＝－ 2 3 3 x2＋3 3x－3 3， ∴当△BCP 面积最大时，四边形 ABPC 的面积最大， ∴S△BCP＝ 1 2PQ(3－x)＋ 1 2PQ(x－ 3 2)＝ 3 4PQ＝－ 3 2 x2＋ 9 3 4 x－ 9 3 4 ， 当 x＝－ b 2a＝ 9 4时，S△BCP 有最大值，则四边形 ABPC 的面积最大，此时点 P 的坐标为( 9 4，－ 5 3 8 )．