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第二部分 专题五 类型二
1．(2018·临沂)将矩形ABCD 绕点 A 顺时针旋转 α(0°＜α＜360°)，得到矩形 AEFG.
(1)如图，当点 E 在 BD 上时．求证：FD＝CD；
(2)当 α 为何值时，GC＝GB？画出图形，并说明理由．
解：(1)由旋转可得，AE＝AB，∠AEF＝∠ABC＝∠DAB＝90°，EF＝BC＝AD，∴∠AEB＝∠
ABE.
∵∠ABE＋∠EDA＝90°＝∠AEB＋∠DEF，
∴∠EDA＝∠DEF.
∵DE＝ED，∴△AED≌△FDE(SAS)，
∴DF＝AE，
∵AE＝AB＝CD，∴CD＝DF.
(2)当 GB＝GC 时，点 G 在 BC 的垂直平分线上，分两种情况讨论：
①当点 G 在 AD 右侧时，如答图 1，取 BC 的中点 H，连接 GH 交 AD 于 M，
∵GC＝GB，∴GH⊥BC，∴四边形 ABHM 是矩形，
∴AM＝BH＝
1
2AD＝
1
2AG，
∴GM 垂直平分 AD，∴GD＝GA＝DA，
∴△ADG 是等边三角形，∴∠DAG＝60°，
∴旋转角 α＝60°；
②当点 G 在 AD 左侧时，如答图 2，同理可得△ADG 是等边三角形，∴∠DAG＝60°，
∴旋转角 α＝360°－60°＝300°.
综上，α 为 60°或 300°时，GC＝GB.
2．(2014·江西)如图 1，边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 E 在 AB 边上(不与点 A，B 重
合)，点 F 在 BC 边上(不与点 B，C 重合)．2
第一次操作：将线段 EF 绕点 F 顺时针旋转，当点 E 落在正方形上时，记为点 G；
第二次操作：将线段 FG 绕点 G 顺时针旋转，当点 F 落在正方形上时，记为点 H；
依此操作下去…
(1)图 2 中的△EFD 是经过两次操作后得到的，其形状为等边三角形，求此时线段 EF 的
长；
(2)若经过三次操作可得到四边形 EFGH.
①请判断四边形 EFGH 的形状为正方形，此时 AE 与 BF 的数量关系是 AE＝BF；
②以①中的结论为前提，设 AE 的长为 x，四边形 EFGH 的面积为 y，求 y 与 x 的函数关
系式及面积 y 的取值范围．
解：(1)如题图 2，由旋转性质可知 EF＝DF＝DE，则△DEF 为等边三角形．
在 Rt△ADE 和 Rt△CDF 中，Error!
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)．∴AE＝CF.
设 AE＝CF＝x，则 BE＝BF＝4－x
∴△BEF 为等腰直角三角形．
∴EF＝ 2BF＝ 2(4－x)．
∴DE＝DF＝EF＝ 2(4－x)．
在 Rt△ADE 中，由勾股定理得 AE2＋AD2＝DE2，即 x2＋42＝[ 2(4－x)]2，
解得 x1＝8－4 3，x2＝8＋4 3(舍去)．
∴EF＝ 2(4－x)＝4 6－4 2.
△DEF 的形状为等边三角形，EF 的长为 4 6－4 2.
第 2 题答图
(2)①四边形 EFGH 的形状为正方形，此时 AE＝BF.理由如下：
依题意画出图形，如答图所示，连接 EG，FH，作 HN⊥BC 于 N，GM⊥AB 于 M.
由旋转性质可知，EF＝FG＝GH＝HE，
∴四边形 EFGH 是菱形，
由△EGM≌△FHN，可知 EG＝FH，3
∴四边形 EFGH 的形状为正方形，∴∠HEF＝90°.
∵∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3.
∵∠3＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠2＝∠4.
在△AEH 和△BFE 中，Error!
∴△AEH≌△BFE(ASA)，∴AE＝BF.
②利用①中结论，易证△AEH，△BFE，△CGF，△DHG 均为全等三角形，
∴BF＝CG＝DH＝AE＝x，AH＝BE＝CF＝DG＝4－x.
∴y＝S 正方形 ABCD－4S△AEH＝4×4－4×
1
2·x·(4－x)＝2x2－8x＋16，∴y＝2x2－8x＋
16(0＜x＜4)．
∵y＝2x2－8x＋16＝2(x－2)2＋8，
∴当 x＝2 时，y 取得最小值 8；当 x＝0 或 4 时，y＝16.
∴y 的取值范围为 8≤y＜16.
3．(2016·江西)【图形定义】如图，将正 n 边形绕点 A 顺时针旋转 60°后，发现旋转
前后两图形有另一交点 O，连接 AO，我们称 AO 为“叠弦”；再将“叠弦”AO 所在的直线绕
点 A 逆时针旋转 60°后，交旋转前的图形于点 P，连接 PO，我们称∠OAB 为“叠弦角”，△AOP
为“叠弦三角形”；
【探究证明】
(1)请在图 1 和图 2 中选择其中一个证明：“叠弦三角形”(△AOP)是等边三角形．
(2)如图 2，求证：∠OAB＝∠OAE′；
【归纳猜想】
(3)图 1、图 2 中的“叠弦角”的度数分别为 15°，24°；
(4)图 n 中，“叠弦三角形”是等边三角形(填“是”或“不是”)；
(5)图 n 中，“叠弦角”的度数为 60°－
180°
n .(用含 n 的式子表示)4
解：(1)∵四边形 ABCD 是正方形，
由旋转知，AD＝AD′，∠D＝∠D′＝90°，∠DAD′＝∠OAP＝60°，
∴∠DAP＝∠D′AO，∴△APD≌△AOD′(ASA)，
∴AP＝AO.
∵∠OAP＝60°，∴△AOP 是等边三角形；
第 2 题答图
(2)如答图，作 AM⊥DE 于 M，作 AN⊥CB 于 N.
∵五边形 ABCDE 是正五边形，
由旋转知，AE＝AE′，∠E＝∠E′＝108°，∠EAE′＝∠OAP＝60°，
∴∠EAP＝∠E′AO.
在 Rt△AEM 和 Rt△ABN 中，∠AEM＝∠ABN＝72°，AE＝AB，
∴Rt△AEM≌Rt△ABN (AAS)，
∴∠EAM＝∠BAN，AM＝AN.
在 Rt△APM 和 Rt△AON 中，AP＝AO，AM＝AN，
∴Rt△APM≌Rt△AON (HL)，
∴∠PAM＝∠OAN，∴∠PAE＝∠OAB,
∴∠OAE′＝∠OAB.
(3)由(1)知，△APD≌△AOD′，
∴∠DAP＝∠D′AO.
在 Rt△AD′O 和 Rt△ABO 中，Error!
∴Rt△AD′O≌Rt△ABO(HL)，
∴∠D′AO＝∠BAO.
由旋转得，∠DAD′＝60°.∵∠DAB＝90°，
∴∠D′AB＝∠DAB－∠DAD′＝30°，
∴∠D′AO＝
1
2∠D′AB＝15°，
∵题图 2 的多边形是正五边形，
∴∠EAB＝
5－2 × 180°
5 ＝108°，
∴∠E′AB＝∠EAB－∠EAE′＝108°－60°＝48°，5
∴同理可得，∠E′AO＝
1
2∠E′AB＝24°.
(4)是
(5)同(3)的方法得，∠OAB＝[(n－2)×180°÷n－60°]÷2＝60°－
180°
n .
4．(2018·赤峰)将一副三角尺按图 1 摆放，等腰直角三角尺的直角边DF 恰好垂直平分
AB，与 AC 相交于点 G，BC＝2 3 cm.
(1)求 GC 的长；
(2)如图 2，将△DEF 绕点 D 顺时针旋转，使直角边 DF 经过点 C，另一直角边 DE 与 AC
相交于点 H，分别过 H，C 作 AB 的垂线，垂足分别为 M，N，通过观察，猜想 MD 与 ND 的数量
关系，并验证你的猜想．
(3)在(2)的条件下，将△DEF 沿 DB 方向平移得到△D′E′F′，当 D′E′恰好经过(1)
中的点 G 时，请直接写出 DD′的长度．
解：(1)在 Rt△ABC 中，∵BC＝2 3，∠B＝60°，
∴AC＝BC·tan60°＝6，AB＝2BC＝4 3，
在 Rt△ADG 中，AG＝
AD
cos30°＝4，
∴CG＝AC－AG＝6－4＝2.
(2)结论：DM＋DN＝2 3.
理由：∵HM⊥AB，CN⊥AB，
∴∠AMH＝∠DMH＝∠CNB＝∠CND＝90°.
∵∠A＋∠B＝90°，∠B＋∠BCN＝90°，
∴∠A＝∠BCN，∴△AHM∽△CBN，∴
AM
CN＝
HM
BN①，
同理可证：△DHM∽△CDN，∴
DN
MH＝
CN
DM②
由①②可得 AM·BN＝DN·DM，∴
DM
AM＝
BN
DN，6
∴
DM＋AM
AM ＝
BN＋DN
DN ，∴
AD
AM＝
BD
DN.
∵AD＝BD，∴AM＝DN，
∴DM＋DN＝AM＋DM＝AD＝2 3.
第 4 题答图
(3)如答图，作 GK∥DE 交 AB 于 K.
在△AGK 中，AG＝GK＝4，∠A＝∠GKD＝30°，作 GH⊥AB 于 H.
则 AH＝AG·cos30°＝2 3，
可得 AK＝2AH＝4 3，此时 K 与 B 重合．
∴DD′＝DB＝2 3.
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