延边州2019年高考复习质量检测
理科数学
本试卷共6页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准
确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的
签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域
书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱。不准使用涂改液、修
正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.己知全集，集合，，则
A． B． C． D．
2.复数满足(为虚数单位），则
A. B. C. D.
3.已知，，，则向量、的夹角为
A. B. C. D.
4.在一次庆教师节联欢会上,到会的女教师比男教师多12人,从这些教师中随机挑选一
人表演节目,若选中男教师的概率为,则参加联欢会的教师共有
A. B. C. D.
5.已知，，则
理科数学试卷 第14页 （共6页）
A. B. C. D.
6.若函数是幂函数，且其图像过点，则函数的单调增区间为
A． B．
C． D．
7.已知等差数列中，，则的值为
A. B. C. D.
8.已知，图中程序框图的输出结果为，则判断框里可填
A.
B.
C.
D.
9.如图,正方体的棱长为1,线段上有两个动点,且
,则三棱锥的体积为
A. B.
C. D.
理科数学试卷 第14页 （共6页）
10.下列函数中，即是奇函数，又是上的单调函数的是
A. B.
C. D.
11.已知是双曲线的两个焦点，点是双曲线的右顶
点，是双曲线的渐近线上一点，满足，
如果以点为焦点的抛物线经过点，则此双曲线的离心率为
A. B. C. D.
12.已知定义在上的函数和满足，
且，则下列不等式成立的是
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数，若满足，则______.
理科数学试卷 第14页 （共6页）
14.若变量满足，且的最大值为-1，则.
15.已知等比数列的第项是二项式展开式中的常数项，则的值.
16．对于函数，若为某三角形的三边，则称
为“可构造三角形函数”.已知是可构造三角形函数，则实数
的取值范围是.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第
17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，
考生根据要求作答。
（一）必考题：60分。
17.（12分）
如图，在中，，垂足为，且.
（1）求的大小；
（2）设为的中点，已知的面积为15，
求的长.
18．（12分）
某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过的包裹收费元；重量超过包裹，除收费元之外，超过的部分，每超出（不足，按计算）需再收元.
该公司对近天，每天揽件数量统计如下:
包裹件数范围
理科数学试卷 第14页 （共6页）
包裹件数（近似处理）
天数
（1）某人打算将，，三件礼物随机分装成两个包裹寄出，求他需支付的快递费不超过元的概率；
（2）该公司从收取的每件快递的费用中抽取元作为前台人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用.前台工作人员每人每天揽件不超过件，工资元；目前前台有工作人员人，那么，公司将前台工作人员裁员人对提高公司利润是否更有利？
19.（12分）
如图，在四棱锥中，平面，底面为梯形，， ，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值.
20．（12分）
已知点，过点作抛物线的切线，切点在第二象限.
（1）求切点的纵坐标；
（2）有一离心率为的
椭圆恰好
理科数学试卷 第14页 （共6页）
经过切点，设切线与椭圆的另一交点为点，记切线的斜率分别为，若，求椭圆的方程.
21．（12分）
已知函数，在点处的切线与直线垂直.
（1）求的值；
（2）若，当时，恒成立，求实数的取值范围.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做
的第一题计分。
22．【选修：坐标系与参数方程】（10分）
若直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为.
（1）若曲线上存在两点关于直线对称，求实数的值；
（2）若直线与曲线相交于两点，且，求实数的取值范围.
23.【选修：不等式选讲】（10分）
设函数.
（1）解不等式；
（2），使得成立，求实数的取值范围.
理科数学参考答案及评分标准
理科数学试卷 第14页 （共6页）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
C
A
B
D
C
C
A
B
D
D
13. 2； 14. -1； 15. 36； 16.
### 填空题的结果必须与参考答案一致，否则不得分
17.解（1）根据题意设，则..............1分
在中.....................................................2分
在中...........................................................3分
又，所以
...........5分
所以............................................................................6分
（2）因为即，解得...........7分
所以，由此可解的........................9分
又因为是AB的中点，所以....................................10分
由余弦定理
理科数学试卷 第14页 （共6页）
即...........................11分
所以............................................................12分
18.解析：（1）由题意，寄出方式有以下三种可能：
情况
第一个包裹
第二个包裹
甲支付的总快递费
礼物
重量（）
快递费（元）
礼物
重量（）
快递费（元）
，
，
，
所有种可能中，有种可能快递费未超过元，根据古典概型概率计算公式，所求概率为........5分
（2）将题目中的数据转化为频率，得
包裹件数范围
包裹件数
（近似处理）
理科数学试卷 第14页 （共6页）
天数
频率
若不裁员，则每天可揽件的上限为件，公司每日揽件数情况如下：
包裹件数
（近似处理）
实际揽件数
频率
平均揽件数
故公司平均每日利润为（元）；.........8分
若裁员人，则每天可揽件的上限为件，公司每日揽件数情况如下：
包裹件数
（近似处理）
实际揽件数
频率
平均揽件数
故公司平均每日利润为（元）. ...........11分
故公司将前台工作人员裁员人对提高公司利润不利. ................12分
理科数学试卷 第14页 （共6页）
19
（1）证明：设为的中点，连接，．
因为为的中位线，所以，
且．
又，，所以，且
故四边形为平行四边形，所以．
又平面，平面，所以平面 ……4分
（2）解：取中点，连接
∵，，
∴为等边三角形
从而，中线，且 ，
又，故
如图所示，
以、、所在直线为
轴、轴、轴建立空间直角坐标系，...5分
∵，
∴，，...............6分
于是 ，................7分
设平面的一个法向量为
则 ，，从而 ，
∴，解得
令，得 ，且 ..........9分
易知，平面的一个法向量为 ，且 ......10分
设 二面角的平面角为，
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则...............12分
### 方法不唯一,请阅卷老师按步骤灵活给分
20解：（（1）设切点则有................................1分
由切线的斜率为
得的方程为...............................2分
又点在上所以即
所以点的纵坐标......................................4分
（2）由（1）得，切线斜率
设，切线方程为
由得又
所以.......................................6分
所以椭圆方程为且过
所以.............................7分
由得
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所以.............................................9分
又因为
即......10分
解得，所以............................................................................11分
所以椭圆方程为..............................................................12分
21.解（1）.......................1分
则...................................................2分
又切线与直线垂直，所以即............3分
解得........................................................4分
（2）由（1）得
所以...................5分
所以.................................................6分
令解得..................................................7分
又因为所以函数在上单调递增，在
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上单调递减，在上单调递增..........................................8分
又因为
但....................9分
即所以..........................10分
因为当时，恒成立等价于
所以................................11分
即故的取值范围是..............................12分
22.解：化直线的极坐标方程为直角坐标方程得
.......................................................1分
化曲线的参数方程为普通方程得
从而得到圆心为（1,2），半径为3.......................3分
（1）根据题意知圆心（1,2）在直线上
则即..................................................................5分
（2）设圆心到直线的距离为d,则............6分
所以解得由点到直线距离公式得
解得...............................................................8分
又直线与圆必须相交，则即
解得.............................................9分
综上，满足条件的实数的取值范围是................10分
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23.解:
（Ⅰ）不等式，即，即
整理得，解得或
所以不等式的解集为或.........................5分
（Ⅱ）
故的最大值为.........................7分
因为，，即，
所以，即，
解得，所以实数的取值范围为.........................10分
理科数学试卷 第14页 （共6页）
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