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江西省2019届七校联考文科数学试题
命题、审题人：遂川中学 刘存仁 分宜中学 陈福星
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,则 ( )
A. B. C. D.
2.已知复数,则复数的虚部是( )
A. B. C.1 D.-1
3.设数列为等差数列，其前n项和为，已知，若对任意都有成立，则的值为( )
A.22 B.21 C.20 D.19
4.已知,函数与函数的图象可能是( )
A B C D
5.将函数的图像沿x轴向左平移个单位后，得到一个函数的图像，则“ 是偶函数”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
6.按照下图的程序框图计算,若开始输入的值为3，则最后输出的结果是( )
A.6 B.21 C.231 D.5050
7.,,,,设,则下列判断中正确的是( )
A. B. C. D.
8.已知满足,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
9. 定长为4的线段的两端点在抛物线上移动，设点为线段的中点，
则点到轴距离的最小值为( )
A. B.1 C. D.
10.在边长为1的正三角形中, ,且,则的最大值为( )
A. B. C. D.
11.定义在上的偶函数的导函数为,若对任意的正实数,都有恒成立,则使成立的实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
12.在棱长为6的正方体中,是的中点,点是面所在的平面内的动点,且满足,则三棱锥的体积最大值是( )
A.36 B. C.24 D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分,把答案填写在答题卡相应的位置)
13.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为 __________.
14.面积为S的三角形ABC中，在边AB上有一点P ,使三角形PBC的面积大于的概率为__________.
15.正项数列满足,又是以为公比的等比数列,则使得不等式成立的最小整数为__________.
16.已知函数,对函数,定义关于的“对称函数”为,满足:对任意,两个点关于点对称,若是关于的“对称函数”,且在上是减函数,则实数的取值范围是__________.
三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。请把答案写在答题卷的相应位置。
17.(本小题满分12分)
已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，
(1)求C；
(2)若，且△ABC面积为，求的值.
18. (本小题满分12分)
某品牌经销商在一广场随机采访男性和女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如下：
微信控
非微信控
合计
男性
26
24
50
女性
30
20
50
合计
56
44
100
(1)根据以上数据，能否有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关？
(2)现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；
(3)从(2)中抽取的5位女性中，再随机抽取3人赠送礼品，试求抽取3人中恰有2人为“微信控”的概率.
参考数据：
0.10
0.050
0.025
0.010
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
参考公式：，
其中.
19.(本小题满分12分)
如图,四棱锥中,是正三角形,四边形是矩形,且平面平面.
(1)若点是的中点,求证:平面;
(2)若点在线段上,且,当三棱锥的体积为时,求实数的值.
20. (本小题满分12分)
已知两定点,满足条件的点的轨迹是曲线,直线与曲线交于两点,
(1)求的取值范围;
(2)如果,且曲线上存在点,使,求的值和的面积。
21.(本小题满分12分)
已知函数,其中是的导数, 为自然对数的底数), (,).
(1)求的解析式及极值；
(2)若,求的最大值.
请考生在第(22)、(23)二题中任选一题做答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.(本小题满分10分)
在极坐标系中,曲线的方程为,直线的方程为.以极点为坐标原点,极轴方向为轴正方向建立平面直角坐标系.
(1)求,的直角坐标方程；
(2)设,分别是,上的动点,求的最小值.
23.(本小题满分10分)
设函数.
(1)当时，解不等式；
(2)当时，若，使得不等式成立，求实数的取值范围.
红色七校文科数学试卷参考答案
一、选择题
1.D 2.C 3.C 4.C 5.B 6.C 7.C 8.A 9.D 10.B 11.A 12.B
二、填空题
13. 12 14. 15. 6 16.
三、解答题
17.解：1）∵2sinsin（+C）+cosC=﹣，
∴﹣sin（+C）+cosC=﹣，
∴﹣cosC﹣sinC+cosC=﹣，
∴sinC﹣cosC=，
∴sin（C﹣）=，∴C=；………………………6分
（2）∵c=，且△ABC面积为3，
∴13=a2+b2﹣ab， =3，
∴a=3，b=4或a=4，b=3，………………………..9分
∵2R==，
∴sinA+sinB=7×=．..................................12分
18 解（1）由列联表可得：
，····3分
所以没有的把握认为“微信控”与“性别”有关．···········4分
（2）根据题意所抽取的位女性中，“微信控”有人，“非微信控”有人····6分．
（3）抽取的位女性中，“微信控”人分别记为，，；“非微信控”人分别记为，．
则再从中随机抽取人构成的所有基本事件为：，，，，，，，，，，共有种；···········9分
抽取人中恰有人为“微信控”所含基本事件为：，，，，，，共有种，···········11分
所求为．···········12分
19.解：(1)如图,连接,设,又点是的中点,
则在中,中位线,
又平面平面.
所以平面…………………………………………..4分
(2)依据题意可得:,取中点,所以,且
又平面平面,则平面;……………………3分
作于上一点,则平面,
因为四边形是矩形,所以平面,……………………..6分
则为直角三角形
所以,则直角三角形的面积为
………………………9分
由得:……………………………12分
20.解:(Ⅰ)由双曲线的定义可知,曲线E是以为焦点的双曲线的左支,
故曲线E的方程为,…………………………………….3分
由题意建立方程组,
得,
又已知直线与双曲线左支交于两点A,B,
有,解得,…………………………6分
(Ⅱ)∵,解得或，
又,∴,
故直线的方程为,……………………………8分
由，得
设,由已知,得,
即点代入曲线中,得，………………………10分
但当时,所得的点在双曲线的右支上,不合题意；∴,点C的坐标为,
又到的距离为,∴的面积。…………………………….12分
21.解：(1).由已知得,
令,得,即,
又,∴,
从而,∴,…………………………….3分
又在上递增,且,
∴当时, ;时, ,
故为极小值点,且，即极小值为1，无极大值…………………………….5分
(2).得,
① 时, 在上单调递增, 时, 与相矛盾;………………………………………………7分
②当时, ,得:
当时, ,即,
∴,,
令,则,
∴,,
当时, ,………………………………………………10分
即当,时, 的最大值为,
∴的最大值为……………………………………………………12分
22.解：(1).曲线的极坐标方程可化为,
两边同时乘以,得,
则曲线的直角坐标方程为,
即,…………………………………2分
直线的极坐标方程可化为,
则直线的直角坐标方程为,
即.…………………………………4分
(2).将曲线的直角坐标方程化为,
它表示以为圆心,以为半径的圆. …………………………………6分
该圆圆心到直线的距离
,…………………………………8分
所以的最小值为.…………………………………10分
23 解（I）当时，原不等式等价于，
即，所以解集为.…………………………4分
（II）当时，.
令
由图象，易知时，取得最小值.由题意，知，
所以实数的取值范围为…………………………………10分
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