江苏省南京市程桥高级中学2018届高三第一次月考数学试卷Word版含答案.doc

程桥高级中学2018届高三数学试卷 时间：120分钟 分值：160分 命题人：李素文 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）‎ ‎1．已知集合，，则 ▲ ．‎ ‎2．复数（是实数，是虚数单位），则的值为 ▲ ．‎ 第5题 开始 是 输出S 否 n←1，S←0‎ n≤3‎ S←2S+1‎ n←n+1‎ 结束 ‎3．函数的定义域为 ▲ ．‎ ‎4．为了解某地区的中小学生视力情况，从该地区的中小学生中用分层抽样的方法抽取位学生进行调查，该地区小学，初中，高中三个学段学生人数分别为，，，则从初中抽取的学生人数为 ▲ ．‎ ‎5．已知一个算法的流程图如右图，则输出的结果的值是 ▲ ．‎ ‎6．将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数．则点数相同的概率是 ▲ ．‎ ‎7．如图，在正三棱柱中，为棱的中点．若 ‎ ‎，，则四棱锥的体积为 ▲ ．‎ 8. 设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5 = 5，S9 = 27，则 S7 = ▲ ．‎ 9. 设为锐角，若，则 ▲ .‎ 10. 已知两个单位向量，的夹角为60°，= t+（1 - t）．若·= 0，则实数t的值为 ▲ ．‎ 11. 已知，则不等式的解集是 ▲ ．‎ 12. 在直角坐标系xOy中，已知A（-1，0），B（0，1），则满足且在圆 上的点P的个数为 ▲ ． ‎ 8. 已知正实数x，y满足，则x + y 的最小值为 ▲ ． ‎ 9. 若（m ¹ 0）对一切x≥4恒成立，则实数m的取值范围是 ▲ ．‎ 二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15.（本小题满分14分）‎ 在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．‎ ‎ （1）求角A的大小；‎ ‎ （2）若，，求边c的大小．‎ ‎16.（本小题满分14分）‎ 如图，在四棱锥P - ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：‎ ‎（1）PA∥平面MDB；‎ ‎（2）PD⊥BC．‎ ‎17.（本题满分14分）‎ 在平面直角坐标系中，椭圆的右准线方程为，右顶点为，上顶点为，右焦点为，斜率为的直线经过点，且点到直线的距离为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）将直线绕点旋转，它与椭圆相交于另一点，当三点共线时，试确定直线的斜率.‎ ‎18.（本题满分16分）‎ 如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN.‎ ‎（1）若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；‎ ‎（2）设，求A在上何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 设t＞0，已知函数f (x)＝x2(x－t)的图象与x轴交于A、B两点．‎ ‎（1）求函数f (x)的单调区间；‎ ‎（2）设函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率为k，当x0∈(0，1]时，‎ k≥－恒成立，求t的最大值；‎ ‎（3）有一条平行于x轴的直线l恰好与函数y＝f(x)的图象有两个不同的交点C，D，若四边形ABCD为菱形，求t的值．‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 已知数列{an}的首项a1＝a，Sn是数列{an}的前n项和，且满足：‎ ‎（1）若数列{an}是等差数列，求a的值；‎ ‎（2）确定a的取值集合M，使aM时，数列{an}是递增数列．‎ 程桥高级中学2018届高三数学试卷参考答案 ‎1.{1}2.23.4.1005.76.7.‎ ‎8.149.10.211.（-1，2） 12.213.‎ ‎14.‎ ‎17.解：（1）由题意知，直线的方程为，即， ‎ 右焦点到直线的距离为，， ……………………2分 又椭圆的右准线为，即，所以，将此代入上式解得，，‎ 椭圆的方程为； ……………………6分 ‎（2）由（1）知，，……………………8分 直线的方程为， ……………………10分 联立方程组，解得或（舍），即， …………12分 直线的斜率. ……………………14分 方法二: 由（1）知，，直线的方程为，由题，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程组，解得，代入椭圆解得：或，又由题意知，得或，所以.‎ 方法三：由题，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程组，得，，‎ 所以 ‎,，当三点共线时有，，‎ 即，解得或，又由题意知，得或，所以.‎ ‎18.解：（1）如图，作于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，‎ ‎， …………2分 ‎，‎ ‎ …………4分 ‎ …………6分 ‎（2）设 …………7分 ‎ 则，‎ ‎ …………9分 ‎ …………12分 ‎，即时，‎ ‎，此时A在弧MN的四等分点处…………15分 答：当A在弧MN的四等分点处时， …………16分 ‎19．（本小题满分16分）‎ 解：（1）f ′(x)＝3x2－2tx＝x(3x－2t)＞0，因为t＞0，所以当x＞或x＜0时，f ′(x)＞0，‎ 所以(－∞，0)和(，＋∞)为函数f (x)的单调增区间；‎ 当0＜x＜时，f ′(x)＜0，所以(0，)为函数f (x)的单调减区间．………………4分 ‎（2）因为k＝3x02－2tx0≥－恒成立，所以2t≤3x0＋恒成立，…………………6分 因为x0∈（0，1]，所以3x0＋≥2＝，‎ 即3x0＋≥，当且仅当x0＝时取等号．‎ 所以2t≤，即t的最大值为．…………………8分 ‎（3）由（1）可得，函数f (x)在x＝0处取得极大值0，在x＝处取得极小值－．‎ 因为平行于x轴的直线l恰好与函数y＝f (x)的图象有两个不同的交点，‎ 所以直线l的方程为y＝－．…………………10分 令f (x)＝－，所以x2(x－t)＝－，解得x＝或x＝－．‎ 所以C（，－），D（－，－）．…………………12分 因为A（0，0），B（t，0）．易知四边形ABCD为平行四边形．‎ AD＝，且AD＝AB＝t，‎ 所以＝t，解得：t＝．…………………16分 ‎20．（本小题满分16分）‎ 解：（1）在S＝3n2an＋S中分别令n＝2，n＝3，及a1＝a得 ‎(a＋a2)2＝‎12a2＋a2，(a＋a2＋a3)2＝‎27a3＋(a＋a2)2，‎ 因为an≠0，所以a2＝12－‎2a，a3＝3＋‎2a．…………………2分 因为数列{an}是等差数列，所以a1＋a3＝‎2a2，即2(12－‎2a)＝a＋3＋‎2a，解得a＝3．……4分 经检验a＝3时，an＝3n，Sn＝，Sn－1＝满足S＝3n2an＋S．‎ ‎（2）由S＝3n2an＋S，得S－S＝3n2an，即(Sn＋Sn－1)(Sn－Sn－1)＝3n2an，‎ 即(Sn＋Sn－1)an＝3n2an，因为an≠0，所以Sn＋Sn－1＝3n2，(n≥2)，①……………6分 所以Sn＋1＋Sn＝3(n＋1)2，②‎ ‎②－①，得an＋1＋an＝6n＋3，(n≥2)．③………………8分 所以an＋2＋an＋1＝6n＋9，④‎ ‎④－③，得an＋2－an＝6，(n≥2)‎ 即数列a2，a4，a6，…，及数列a3，a5，a7，…都是公差为6的等差数列，………10分 因为a2＝12－‎2a，a3＝3＋‎2a．‎ 所以an＝ …………………12分 要使数列{an}是递增数列，须有 a1＜a2，且当n为大于或等于3的奇数时，an＜an＋1，且当n为偶数时，an＜an＋1，‎ 即a＜12－‎2a，‎ ‎3n＋‎2a－6＜3(n＋1)－‎2a＋6(n为大于或等于3的奇数)，‎ ‎3n－‎2a＋6＜3(n＋1)＋‎2a－6(n为偶数)，‎ 解得＜a＜．‎ 所以M＝(，)，当aM时，数列{an}是递增数列．………………16分