安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2018届高三上学期
第一次联考数学(理)试题
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数,其中为虚数单位,则的虚部是( )
A. B. C. D.
2.集合,则( )
A. B. C. D.
3.如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位:台)的茎叶图,则数据落在区间内的频率为( )
A.0.2 B.0.4 C.0.5 D.0.6
4.已知等比数列满足,则的值为( )
A.1 B.2 C. D.
5.已知变量满足约束条件,则目标函数的最小值为( )
A.1 B. C.3 D.7
6.下列函数中,既是偶函数,又在上单调递增的是( )
A. B. C. D.
7.的展开式中,的系数为( )
A.154 B.42 C. D.126
8.如图,给出的是计算的值的一个程序框图,则图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处应填的语句是( )
A. B. C. D.
9.关于函数,下列叙述有误的是( )
A.其图象关于对称直线对称
B.其图象可由图象上所有点的横坐标变为原来的得到
C. 其值域是
D.其图象关于点对称
10.某学校有5位教师参加某师范大学组织的暑期骨干教师培训,现有5个培训项目,每位教师可任意选择其中一个项目进行培训,则恰有两个培训项目没有被这5位教师中的任何一位教师选择的情况数为( )
A.5400种 B.3000种 C.150种 D.1500种
11.如图,等边的边长为2,顶点分别在轴的非负半轴,轴的非负半轴上滑动,为中点,则的最大值为( )
A. B. C. D.
12.已知函数,则函数 (为自然对数的底数)的零点个数是( )
A.3 B.4 C.6 D.8
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知命题,都有,则为 .
14.如图所示,在平面直角坐标系内,四边形为正方形且点坐标为.抛物线的顶点在原点,关于轴对称,且过点.在正方形内随机取一点,则点在阴影区域内的概率为 .
15.已知三棱锥,为边三角形,为直角三角形,,平面平面.若,则三棱锥外接球的表面积为 .
16.已知为双曲线的左、右焦点,过的直线与双曲线的一条渐近线垂直,与双曲线的左右两支分别交两点,且,双曲线的渐近线方程为 .
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.的内角的对边分别为.
(1)若,求面积的最大值;
(2)若,求的值.
18.已知正项数列的前项和为,满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列,求数列前项和的值.
19. 如图,在四棱锥中,四边形为梯形,,,为等边三角形,.
(1)求证:平面平面;
(2)求二面角大小的余弦值.
20.为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的身体素质,学校对他们的体重进行了测量,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图),已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3,其中第2小组的频数为12.
(1)求该校报考飞行员的总人数;
(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考飞行员的学生中(人数很多)任选2人,设表示体重超过60公斤的学生人数,求的分布列和数学期望.
21.已知点是圆心为的圆上的动点,点,线段的垂直平分线交于点.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)矩形的边所在直线与曲线均相切,设矩形的面积为,求的取值范围.
22.已知函数.
(1)研究函数的单调性;
(2)若不等式在上恒成立,求实数的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5: BACAA 6-10: DBCDD 11、12:BC
二、填空题
13.,使得 14. 15. 16.
三、解答题
17.解:(1)由余弦定理得,即,所以,
因为,所以,即(当且仅当时,等号成立),
所以,故面积的最大值为.
(2)由正弦定理得,,所以,
所以,又因为,所以,所以,故为锐角,
所以,
所以
.
18.解:(1)当时,即,解得,
①
②
①-②:,所以,即,
因为是正项数列,所以,即,其中,
所以是以为首相,1为公差的等差数列,所以.
(2)因为,所以,
所以,
所以
.
19. 解:(1)如图取的中点,连接,依题,
所以四边形是平行四边形,
所以.因为是中点,
所以,故,
所以为等边三角形,所以,
因为,所以
所以平行四边形为菱形,
所以,所以,即,又已知,所以平面,
平面,所以平面平面.
(2)由(1)知,平面,平面平面,所以如图,以为轴, 为轴,过点与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标.设,则,,所以,
所以.设平面的法向量,则
,令,则,所以.
同理可得平面的法向量,所以,
所以二面角大小的余弦值为.
20.解:(1)设报考飞行员的人数为,前3个小组的频率分别为,则由条件可得:
解得,
又因为,所以.
(2)由(1)可得,一个报考学生体重超过60公斤的概率为,
由题意知服从二项分布,
,
所以随机变量的分布列为
.
21.解:(1)依题,
所以 (为定值),
所以点的轨迹是以为焦点的椭圆,其中,
所以点轨迹的方程是
(2)①当矩形的边与坐标轴垂直或平行时,易得;
②当矩形的边均不与坐标轴垂直或平行时,其四边所在直线的斜率存在且不为0,
设的方程为,的方程为,则的方程为,的方程为,其中,
直线与间的距离为,
同理直线与间的距离为,
所以
,
因为直线与椭圆相切,所以,所以,同理,
所以
,
(当且仅当时,不等式取等号),
所以,即,
由①②可知,.
22. 解:(1)易知函数的定义域为,
,设,则,
当时,,当时,,所以,
故,所以在上单调递增
(2)依题在上恒成立,
设,则在上恒成立,
,
欲使在上恒成立,则,得,
反之,当时,,
设,则
设,则,
所以在上单调递增,所以,
所以,所以在上单调递增,所以,
故,所以在上单调递增,
又,所以在上恒成立,
综上所述,在上恒成立,
所以的取值范围是.