汕头市金山中学
2017-2018学年度第一学期第1次测试
高三理科数学 试题卷 命题人：蔡振奕
本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟.
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知复数，则的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
2.已知集合,若,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.已知，则下列结论正确的是( )
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是偶函数
4.若平面截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面平行的棱有（ ）
A．条 B．条 C.条 D．条或条
5.已知方程表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为8,则的值是( )
A. B. C. 6 D. 8
6.函数的部分图象如图所示，则的
解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
7.设为平面上四点，，则（ ）
A．点在线段上 B．点在线段上
C．点在线段上 D．四点共线
8.五个人围坐在一张圆桌旁,每个人面前放着完全相同的硬币,所有人同时翻转自己的
硬币,若硬币正面朝上,则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么,
没有相邻的两个人站起来的概率为( )
A. B. C. D.
9.已知函数,其中是常数,若对都有,
则( )
A. B. C. D.
10.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高一丈.问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，现将该楔体的三视图给出如下图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为（ ）
A．5000立方尺 B．5500立方尺 C．6000立方尺 D．6500立方尺
11.已知函数在处取得极大值,在处取得极小值,满足
，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
12. 在数列及中，．
设，则数列的前项和为（ ）．
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.二项式的展开式中所有项的系数和为_____________．
14.在直角坐标系中,抛物线的顶点在原点,以轴为对称轴,且经过点.设点在抛物线上,直线分别与轴交于点,则直线的斜率大小是 .
15.不等式组的解集是 .
16.已知,若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有
恒成立，则的取值范围是 .
三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题满分12分）设的内角所对的边分别为,
若,
1)求的值；
2)求的值为.
18.(本小题满分12分)在数列中,首项,前项和为,且
(1)求数列的通项
(2)如果,求数列的前n项和.
19. (本小题满分12分)如图,三棱锥中,是正三角形,
是直角三角形，,.
⑴证明:平面⊥平面；
⑵若为棱与不重合的点,且,
求与平面所成的角的正弦值.
20.(本小题满分12分) 设,函数.
（1）证明在上仅有一个零点；
（2）若曲线在点处的切线与轴平行,且在点处的切线与直线平行,(O是坐标原点),证明:
21.(本小题满分12分)已知椭圆E:的焦点在轴上,是的左顶点,斜率为的直线交于两点,点在上,
（Ⅰ）当t=4，时,求的面积；
（Ⅱ）当时,求的取值范围.
选做题：请在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy中,曲线的参数方程是(为参数).直线交曲线于两点.以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程是,点在曲线上.
1)求曲线的普通方程及点的直角坐标;
2)若直线的倾斜角为且经过点,求的值.
23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
若，且.
（I） 求的最小值；
（Ⅱ）是否存在，使得？并说明理由.
汕头市金山中学2017-2018学年度第一学期第1次测试
高三理科数学 答案
一．选择 BDAC DBAC DABB
12．
二．填空 -512, ， ，
16.【解析】对任意两个不等的正实数x1，x2，都有>2恒成立，
则当x>0时，f′(x)≥2恒成立，f′(x)=+x≥2在(0，+∞)上恒成立，则a≥(2x-x2)max=1.
三．解答题
17.解:1）在中, ,
由正弦定理,得 --------2分
由余弦定理 =-------6分
2）
-------8分
-------10分
-------12分
18.解:1）-------①，
---------------2分
当时, ----------②
①-②等于（）= -------4分
又 ------5分
数列是以，为公比的等数列，------7分
2）= ------8分
=
又= ------9分
=
------12分
19. (本小题满分12分)解：
（1）由题设可得,≌,
又是直角三角形,所以
取AC的中点O，连接,则,
又由于
所以为二面角的平面角-------3分
在中,
又
平面⊥平面； -------5分
（2）由题设及（1）知,两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，
为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，则
,连接, ----------------------7分
是等腰直角三形,
在直角三角形中,点是,得. ------------------9分
--------------10分
平面的一个法向量是.设与平面所成的角为.
则为锐角，. -------------12分
20.解：（1）f'（x）=ex（x2+2x+1）=ex（x+1）2 ∴f′（x）≥0，-------2分
∴f（x）=（1+x2）ex﹣a在（﹣∞，+∞）上为增函数．----------------3分
∵a＞1．∴1﹣a＜0 又f（0）=1﹣a，∴f（0）＜0．
，
使得
∴f（x）在（﹣∞，+∞）上有且只有一个零点 ---------------------5分
（2）证明：f'（x）=ex（x+1）2，
设点P（x0，y0）则）f'（x）=ex0（x0+1）2，
∵y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，∴f'（x0）=0，即：ex0（x0+1）2=0，
∴x0=﹣1 ---------------6分
将x0=﹣1代入y=f（x）得y0=．∴，
∴ -------8分
令；g（m）=em﹣（m+1）g（m）=em﹣（m+1），
则g'（m）=em﹣1，由g'（m）=0得m=0．
当m∈（0，+∞）时，g'（m）＞0 当m∈（﹣∞，0）时，g'（m）＜0
∴g（m）的最小值为g（0）=0 ------------10分
∴g（m）=em﹣（m+1）≥0
∴em≥m+1 ∴em（m+1）2≥（m+1）3
即： -------------------------------11分
∴m≤ --------------------------------12分
21.
解:1)设,则由题意知当时,的方程为,.---------1分
由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.
因此直线的方程为. ------------------3分
将代入得.解得或，所以.
因此的面积. --------------------5分
（Ⅱ）由题意，，.
将直线的方程代入得. -------6分
由得，故.
由题设,直线的方程为,故同理可得,-------8分
由得，即.
当时上式不成立，
因此.等价于，-------10分
即.由此得，或，解得. -------12分
因此的取值范围是.
22．解:1） -----------2分
∵点在曲线:上,
设的直角坐标是，
------------5分
2）直线的参数方程是 -----6分
设有向线段对应的参数分别为 -----7分
依题意 -----8分
. -----10分
23．【解析】(Ⅰ) 由，得，且当时等号成立，
故，且当时等号成立，∴的最小值为.…5分
（Ⅱ）由(Ⅰ)知：，
由于＞6，从而不存在，使得. ……………10分
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