玉溪一中高2018届高三年级第一次月考
文科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位，，则复数的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
3.某校有高级教师90人，一级教师120人，二级教师170人，现按职称用分层抽样的方法抽取38人参加一项调查，则抽取的一级教师人数为（ ）
A.10 B.12 C.16 D.18
4.若变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）
A.4 B. C. D.
5.执行下图程序框图，若输出，则输入的为（ ）
A.或 B. C.1或 D.或
6.已知平面平面，则“直线平面”是
“直线平面”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.等差数列的前11项和，则（ ）
A.18 B.24 C.30 D.32
8.函数（）的最小正周期为，则满足（ ）
A.在上单调递增 B.图象关于直线对称
C. D.当时有最小值
9.函数的图象大致为（ ）
A B C D
10.某四棱锥的三视图如图所示，则其体积为（ ）
A.4 B.8 C. D.
11.在平面直角坐标系中，圆的方程为，直线的方程为，若在圆上至少存在三点到直线的距离为1，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
12.已知函数有两个极值点，且，若，函数，则（ ）
A.仅有一个零点 B.恰有两个零点
C.恰有三个零点 D.至少两个零点
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量，，若，则 ．
14.已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为 ．
15.直角的三个顶点都在球的球面上，，若球的表面积为，则
球心到平面的距离等于 ．
16.是公差不为0的等差数列，是公比为正数的等比数列，，，，则数列的前项和等于 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.在中，角，，所对应的边分别为，，，.
（1）求证：；
（2）若，，求.
18.某学校用简单随机抽样方法抽取了30名同学，对其每月平均课外阅读时间（单位：小时）进行调查，茎叶图如图：
若将月均课外阅读时间不低于30小时的学生称为“读书迷”.
（1）将频率视为概率，估计该校900名学生中“读书迷”有多少人？
（2）从已抽取的7名“读书迷”中随机抽取男、女“读书迷”各1人，参加读书日宣传活动.
（i）共有多少种不同的抽取方法？
（ii）求抽取的男、女两位“读书迷”月均读书时间相差不超过2小时的概率.
19.如图，平行四边形中，，，平面，，，分别为，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.
20.已知椭圆经过点，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设点在轴上的射影为点，过点的直线与椭圆相交于，两点，且，求直线的方程.
21.已知函数，.
（1）设，求的最小值；
（2）若曲线与仅有一个交点，证明：曲线与在点处有相同的切线，且.
请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．
22.点是曲线上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将点逆时针旋转得到点，设点的轨迹方程为曲线.
（1）求曲线，的极坐标方程；
（2）射线与曲线，分别交于，两点，定点，求的面积.
23.已知函数.
（1）若，解不等式；
（2）当时，，求满足的的取值范围.
文科数学参考答案
一．选择题：BABCD DBDAD BA
二．填空题：
（13）2 （14） （15）1 （16）
三．解答题：
（17）解：
（Ⅰ）由根据正弦定理得，
即，
，
，
得．
（Ⅱ）由，且，，得，
由余弦定理，，
所以．
（18）解：
（Ⅰ）设该校900名学生中“读书迷”有人，则，解得.
所以该校900名学生中“读书迷”约有210人.
（Ⅱ）（ⅰ）设抽取的男“读书迷”为，，，抽取的女“读书迷”为
，，， (其中下角标表示该生月平均课外阅读时间)，
则从7名“读书迷”中随机抽取男、女读书迷各1人的所有基本事件为：
，，，，，，，，
，，，，
所以共有12种不同的抽取方法．
（ⅱ）设A表示事件“抽取的男、女两位读书迷月均读书时间相差不超过2小时”，
则事件A包含，，，，，
6个基本事件，
所以所求概率．
（19）解：
（Ⅰ）连接，在平行四边形中，
，，
∴，，从而有，
∴．
∵平面，平面，∴，
又∵，∴平面，平面
从而有．
又∵，为的中点，
∴，又∵，
∴平面．
（Ⅱ）设点到平面的距离为，
在中，，，∴．
在中，，，∴．
由得，，
∴．
所以点到平面的距离为．
（20）解：
（Ⅰ）由已知可得，，解得，，
所以椭圆Γ的方程为．
（Ⅱ）由已知N的坐标为，
当直线斜率为0时，直线为轴，易知不成立．
当直线斜率不为0时，设直线的方程为，
代入，整理得，，
设，则，① ，②
由，得，③
由①②③解得．
所以直线的方程为，即．
（21）解：
（Ⅰ），
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
故时，取得最小值．
（Ⅱ）设，则，
由（Ⅰ）得在单调递增，又，，
所以存在使得，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以)的最小值为，
由得，所以曲线与在点处有相同的切线，
又，所以，
因为，所以．
（22）解：
（Ⅰ）曲线的极坐标方程为．
设，则，则有．
所以，曲线的极坐标方程为．
（Ⅱ）到射线的距离为，
，
则．
（23）解：
（Ⅰ）,
所以表示数轴上的点到和1的距离之和，
因为或2时，
依据绝对值的几何意义可得的解集为．
（Ⅱ），
当时，，等号当且仅当时成立，所以无解；
当时，，
由得，解得，又因为，所以；
当时，，解得，
综上，的取值范围是．
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