玉溪一中2017-2018学年高2018届第一次月考
理科数学 命题人：刘剑涛
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知集合，则
A． B． C． D．
2、已知为虚数单位，，则复数的共轭复数为
A． B． C． D．
3、总体由编号为的各个体组成，利用随机数表（以下摘取了随机数表中第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第4个个体的编号为
A． B． C． D．
4、已知双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为
A． B．或 C．2 D．
5.执行下图程序框图，若输出，则输入的为（ ）
A.或 B.
C.1或 D.或
6、数列首项，对于任意，有，
则前5项和
A．121 B．25 C．31 D．35
7、某几何体的三视图如图，则几何体的体积为
A．8π﹣16 B．8π+16 C．16π﹣8 D．8π+8
8、函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为
9、若，则
A．1 B．513 C．512 D．511
10、函数在内的值域为，则的取值范围是
A． B． C． D．
11、抛物线的焦点F，N为准线上一点，M为y轴上一点，为直角，若线段MF的中点E在抛物线C上，则的面积为
A． B． C． D．
12．当时，，则的取值范围是（ ）
A．（0，） B．（，1） C．（1，） D．（，2）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.
13、已知向量，则在方向上的投影为
14、直角顶的三个顶点都在球的球面上，且，若三棱锥的体积为2，则该球的表面积为
15、已知变量满足约束条件，目标函数的最小值为，
则实数
16、已知a=dx，在二项式（x2﹣）5的展开式中，含x的项的系数为 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17、（本小题满分12分）
在中，角所对应的边分别为．
（1）求证：；
（2）若为锐角，求的取值范围．
18、（本小题满分12分）
某学校简单随机抽样方法抽取了100名同学，对其日均课外阅读时间：（单位：分钟）进行调查，结果如下：
若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”
（1）将频率视为概率，估计该校4000名学生中“读书迷”有多少人？
（2）从已抽取的8名“读书迷”中随机抽取4位同学参加读书日宣传活动．
①求抽取的4为同学中有男同学又有女同学的概率；
②记抽取的“读书迷”中男生人数为X，求X的分布列和数学期望．
19、（本小题满分12分）
如图，在平行四边形中，分别为的中点，平面．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
20、（本小题满分12分）
已知椭圆经过点，离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与圆相切于点M，且与椭圆相交于不同的两点，
求的最大值．
21、（本小题满分12分）
已知函数的图像与直线相切.
（Ⅰ）求的值，并求的单调区间；
（Ⅱ）若，设，讨论函数的零点个数.
请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程。
在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t是参数），以原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=8cos（θ﹣）．
（1）求曲线C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；
（2）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．
（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；
（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．
理科数学参考答案
一．选择题：
A卷：ABBDC ACADD CB
二．填空题：
1） 1444π 1）－3 16 -10
三．解答题：
17解：
（Ⅰ）由a－b＝bcosC根据正弦定理得sinA－sinB＝sinBcosC，
即sin(B＋C)＝sinB＋sinBcosC，
sinBcosC＋cosBsinC＝sinB＋sinBcosC，
sinCcosB＝sinB，
得sinC＝tanB． …6分
（Ⅱ）由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝b2＋4b－4＝(b＋2)2－8， …8分
由a－b＝bcosC知b＝＝ ，
由C为锐角，得0＜cosC＜1，所以1＜b＜2． …10分
从而有1＜c2＜8．
所以c的取值范围是(1，2)． …12分
18解：
（Ⅰ）设该校4000名学生中“读书迷”有x人，则＝，解得x＝320.
所以该校4000名学生中“读书迷”有320人． …3分
（Ⅱ）（ⅰ）抽取的4名同学既有男同学，又有女同学的概率
P＝＝． …6分
（ⅱ）X可取0，1，2，3．
P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， …10分
X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝． …12分
19解：
（Ⅰ）连接AE，因为AF⊥平面PED，EDÌ平面PED，所以AF⊥ED．
在平行四边形ABCD中，BC＝2AB＝4，∠ABC＝60°，
所以AE＝2，ED＝2，
从而有AE2＋ED2＝AD2，
所以AE⊥ED． …3分
又因为AF∩AE＝A，
所以ED⊥平面PAE，PAÌ平面PAE，
从而有ED⊥PA．
又因为PA⊥AD，AD∩ED＝D，
所以PA⊥平面ABCD． …6分
A
F
P
B
E
C
D
x
y
z
（Ⅱ）以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，2，0)，D(2，0，0)，B(－，1，0)．
因为AF⊥平面PED，所以AF⊥PE，
又因为F为PE中点，所以PA＝AE＝2．
所以P(0，2，2)，F(0，1，1)，
＝(0，－1，1)，＝(2，－2，0)，
＝(，0，1)． …8分
设平面AFD的法向量为n＝(x，y，z)，
由·n＝0，·n＝0得，
令x＝1，得n＝(1，，)． …10分
设直线BF与平面AFD所成的角为θ，则
sinθ＝|cosá，nñ|＝＝＝，
即直线BF与平面AFD所成角的正弦值为． …12分
20解：
（Ⅰ）由已知可得＋＝1，＝，解得a＝2，b＝1，
所以椭圆Γ的方程为＋y2＝1． …4分
（Ⅱ）当直线l垂直于x轴时，由直线l与圆O：x2＋y2＝1相切，
可知直线l的方程为x＝±1，易求|AB|＝． …5分
当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y＝kx＋m，
由直线l与圆O：x2＋y2＝1相切，得＝1，即m2＝k2＋1， …6分
将y＝kx＋m代入＋y2＝1，整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝， …8分
|AB|＝＝
＝＝4，
又因为m2＝k2＋1，
所以|AB|＝≤＝2，
当且仅当|k|＝，即k＝±时等号成立．
综上所述，|AB|的最大值为2． …12分
21解：
解：(I)设的图像与直线相切于点，
，
则即
解得： ...............................................3分
由得；得；
所以函数的单调减区间为；增区间为 ..........5分
(II)
；
.................7分
记函数
由得；得
在上单调递增；在上单调递减.............................................9分
又时，；
时，；且.
；
.
.............................................12分
22.【解答】解：（1）对于曲线C2有，即，
因此曲线C2的直角坐标方程为，其表示一个圆．
（2）联立曲线C1与曲线C2的方程可得：，
∴t1+t2=2sinα，t1t2=﹣13
，
因此sinα=0，|AB|的最小值为，sinα=±1，最大值为8．
23. 解：（1）由题设知：|x+1|+|x﹣2|＞7，
不等式的解集是以下不等式组解集的并集：，或，或，
解得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）．
（2）不等式f（x）≥2即|x+1|+|x﹣2|≥m+4，
∵x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，
不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4解集是R，
∴m+4≤3，m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．
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