山东师大附中2015级高三第一次模拟考试
数学试题（理科）
命题：宁卫兵 审核：孙腾飞
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合要求的.
1. 已知集合，集合，则的子集个数为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
2. 计算：（ ）
A． B． C． D．
3. 下列区间中函数有零点的是（ ）
A． B． C． D．
4. 设随机变量服从正态分布，，则（ ）
A． B． C． D．
5. 调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过．如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少，则他至少要经过（ ）小时后才可以驾驶机动车．
A．1 B．2 C．3 D．4
6. 如图中的三个直角三角形是一个体积为的几何体的三视图，则该几何体外接球的面积（单位：）等于（ ）
A． B． C． D．
7. 某一算法程序框图如图所示，则输出的S的值为（ ）
A． B． C． D．
8. 设不等式组所表示的区域为，函数的图象与轴所围成的区域为，向内随机投一个点，则该点落在内的概率为（ ）
A． B． C． D．
9. 用数学归纳法证明时，由不等式成立，推证时，左边应增加的项数是（ ）
A． B． C． D．
10. 已知函数，将的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变；再把所得的图象向右平移个单位长度，所得的图象关于原点对称，则的一个值是（ ）.
A. B. C. D.
11. “”是“方程有两个负实数根”的（ ）.
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12. 抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在上的投影为，则的最大值是( )．
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知两个单位向量满足，则的夹角为 ．
14. 若，则展开式中的常数项为 ．
15. 已知，则 ．
16. 已知函数，当时，函数在上均为增函数，则的取值范围是 .
三、 解答题：共70分. 解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 第17 ~ 21题为必做题，每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选做题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（本题满分12分）
已知等差数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设等比数列各项均为正数，其前项和，若，求．
18. （本题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，
（1）求证：；
（2）若，分别为，的中点，平面，求直线与平面所成角的大小．
19. （本题满分12分）
自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”，“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：
产假安排（单位：周）
14
15
16
17
18
有生育意愿家庭数
4
8
16
20
26
（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？
（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．
①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；
②如果用表示两种方案休假周数之和．求随机变量的分布列及数学期望．
18. （本题满分12分）
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，左顶点为，左焦点为，点在椭圆上，直线与椭圆交于两点，直线，分别与轴交于点．
（1）求椭圆的方程；
（2）在轴上是否存在点，使得无论非零实数怎样变化，总有为直角？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
19. （本题满分12分）
已知函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）当时，设函数，函数，
①若恒成立，求实数的取值范围；
②证明：.
（二） 选做题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答至选做题答题区域，标清题号 . 如果多做，则按所做第一题计分.
22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（本题满分10分）
已知直线的参数方程：（为参数），曲线的参数方程：（为参数），且直线交曲线于A，B两点．
（Ⅰ）将曲线的参数方程化为普通方程，并求时，的长度；
（Ⅱ）已知点，求当直线倾斜角变化时，的范围．
23.[选修4-5：不等式选讲]（本题满分10分）
已知函数．
（Ⅰ）当时，求函数的定义域；
（Ⅱ）若关于的不等式的解集是，求实数的取值范围．
参考答案（理科）
一、 选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
B
B
B
C
A
B
C
D
A
D
二、 填空题
13. 14. 15. 16.
三、 解答题
17.解：（1）设等差数列的公差为，首项为，
∵，∴………………3分
解得………………5分
∴数列的通项公式…………6分
（2）设各项均为正数的等比数列的公比为
∵，
∴，
∵，
∴b3=4
于是………………8分
解得或（舍）………………10分
∴.……………12分
18. 解：（1）连接，交于点，∵底面是正方形，
∴，且为的中点，又∵，，
∴平面，由于平面，故，
又∵，故；………………4分
（2）设的中点为，连接，，//，
∴为平行四边形，，∵平面，
∴平面，∴，的中点为，
∴，由平面，又可得，
又∵，，∴平面，
∴，又∵，
∴平面，由题意，，，两两垂直，以为坐标原点，向量，， 的方向为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，…………8分
，，而为平面的一个法向量，……10分
设直线与平面所成角为，，
∴直线与平面所成角为.……………………12分
19.解：（1）由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为；……………………2分
当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为 ………………4分
（2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选 法共有（种），
其和不低于32周的选法有（14，18）、（15，17）、（15，18）、（16，17）、（16，18）、（17，18），共6种，
由古典概型概率计算公式得．………………7分
②由题知随机变量的可能取值为29，30，31，32，33，34，35．
，，
，
因而的分布列为
29
30
31
32
33
34
35
0．1
0．1
0．2
0．2
0．2
0．1
0．1
……10分
.…12分
20. 解：（1）设椭圆的方程为，
因为椭圆的左焦点为，所以，
设椭圆的右焦点为，已知点在椭圆上，
由椭圆的定义知，
所以，
所以，从而，
所以椭圆的方程为． ………………4分
（2）因为椭圆的左顶点为，则点的坐标为，
因为直线与椭圆交于两点，，
设点（不妨设），则点，
联立方程组，消去得，
所以，，………………6分
所以直线的方程为，
因为直线与轴交于点，
令得，即点，
同理可得点． ………………10分
假设在轴上存在点，使得为直角，则，
即，即．
解得或．
故存在点或，无论非零实数怎样变化，
总有为直角．……………………12分
21. 解：（1），令，
当时，解得；当时，解得，
所以当时，函数的单调递增区间是；
当时，函数的单调递增区间是.…………4分
（2）①，由题意得，
因为，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
，……………7分
由，得，解得，
所以实数的取值范围是．…………9分
②由（1）知时，在上恒成立，当时等号成立，
时，，令，累加可得
，
即 .…………12分
22.解：（Ⅰ）曲线的参数方程：（为参数），曲线的普通方程为．………………2分
当时，直线的方程为，…………3分
代入，可得，∴.
∴；……………………5分
（Ⅱ）直线参数方程代入，
得．………………7分
设对应的参数为，
∴．…………10分
23. 解：（Ⅰ）由题设知：，
令，解得，这就是两个分界点。把全体实数分成3个区间。
不等式的解集是以下不等式组解集的并集：
，或，或………………3分
解得函数的定义域为； ………………5分
（Ⅱ）不等式即，
时，恒有，…………………8分
不等式解集是R，
的取值范围是．…………………………10分
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