2019届高考数学二轮复习专题四第1讲　直线与圆Word版含答案.docx

专题四 第1讲 直线与圆 解析几何 考向预测 ‎1．直线方程、圆的方程、两直线的平行与垂直、直线与圆的位置关系是高考的重点；‎ ‎2．考查的主要内容包括求直线(圆)的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系判断、简单的弦长与切线问题，多为选择题、填空题．‎ 知识与技巧的梳理 ‎1．两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1．若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．‎ ‎2．两个距离公式 ‎(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝．‎ ‎(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．‎ ‎3．圆的方程 ‎(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圆心为(a，b)，半径为r．‎ ‎(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，圆心为，半径为r＝．‎ ‎4．直线与圆的位置关系的判定 ‎(1)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：dr⇔相离．‎ ‎(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0⇔相交；‎ Δ＝0⇔相切；Δ0‎，b>0‎是圆C:x‎2‎+y‎2‎=1‎内一点，直线ax+by=1‎，ax+by=-1‎，ax-by=1‎，ax-by=-1‎围成的四边形的面积为S，则下列说法正确的是（ ）‎ A．S>4‎ B．S≥4‎ C．S0)，半径为a．‎ 由勾股定理得()2＋＝a2，解得a＝2．‎ 所以圆心为(2，1)，半径为2，‎ 所以圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4．‎ 答案　(x－2)2＋(y－1)2＝4‎ 热点三　直线与圆的位置关系 ‎【例3】 (1) (2019·银川一中)已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且‎|OA+OB|=|OA-OB|‎，‎ 其中O为坐标原点，则实数a的值为（ ）‎ A．2 B．±2 C．－2 D．‎‎±‎‎2‎ ‎(2)(2017·菏泽二模)已知圆C的方程是x2＋y2－8x－2y＋8＝0，直线l：y＝a(x－3)被圆C截得的弦长最短时，直线l方程为________．‎ 解析　(1) 由‎|OA+OB|=|OA-OB|‎得OA‎+‎OB‎2‎‎=‎OA‎-‎OB‎2‎，OA‎⋅OB=0‎，OA‎⊥‎OB，‎ 三角形AOB为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为‎2‎，即a‎2‎‎=‎‎2‎，a＝±2，‎ 故选B．‎ ‎(2)圆C的标准方程为(x－4)2＋(y－1)2＝9，‎ ‎∴圆C的圆心C(4，1)，半径r＝3．‎ 又直线l：y＝a(x－3)过定点P(3，0)，‎ 则当直线y＝a(x－3)与直线CP垂直时，被圆C截得的弦长最短．‎ 因此a·kCP＝a·＝－1，∴a＝－1．‎ 故所求直线l的方程为y＝－(x－3)，即x＋y－3＝0．‎ 答案　(1) B，(2)x＋y－3＝0‎ 探究提高　1．研究直线与圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题．‎ ‎2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理．‎ ‎【训练3】 (2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2，4)．‎ ‎(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；‎ ‎(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且|BC|＝|OA|，求直线l的方程；‎ ‎(3)设点T(t，0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得＋＝，求实数t的取值范围．‎ 解　(1)圆M的方程化为标准形式为(x－6)2＋(y－7)2＝25，圆心M(6，7)，半径r＝5，‎ 由题意，设圆N的方程为(x－6)2＋(y－b)2＝b2(b＞0)，‎ 且＝b＋5．‎ 解得b＝1，∴圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1．‎ ‎(2)∵kOA＝2，∴可设直线l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0．‎ 又|BC|＝|OA|＝＝2，‎ 由题意，圆M的圆心M(6，7)到直线l的距离为d＝＝＝2，‎ 即＝2，解得m＝5或m＝－15．‎ ‎∴直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0．‎ ‎(3)由＋＝，则四边形AQPT为平行四边形，‎ 又∵P，Q为圆M上的两点，∴|PQ|≤2r＝10．‎ ‎∴|TA|＝|PQ|≤10，即≤10，‎ 解得2－2≤t≤2＋2．‎ 故所求t的范围为[2－2，2＋2]．‎ 限时训练 ‎（45分钟）‎ 经典常规题 ‎1．(2016·全国Ⅱ卷)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝（ ）‎ A．－ B．－ C． D．2‎ ‎2．(2018·全国III卷)直线x+y+2=0‎分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆x-2‎‎2‎‎+y‎2‎=2‎上，则‎△ABP面积的取值范围是（ ）‎ A．‎2 ，  6‎ B．‎4 ，  8‎ C．‎2‎‎ ，  3‎‎2‎ D．‎‎2‎2‎ ，  3‎‎2‎ ‎3．(2016·全国Ⅰ卷)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________．‎ ‎4．(2018·全国I卷)直线y=x+1‎与圆x‎2‎‎+y‎2‎+2y-3=0‎交于A ，  B两点，则AB‎=‎________．‎ 高频易错题 ‎1．(2018·聊城一中)已知斜率为k的直线l平分圆x‎2‎‎+y‎2‎-2x+3y=0‎且与曲线y‎2‎‎=x 恰有一个公共点，则满足条件的k值有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．0‎ ‎2．过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为（ ）‎ A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0‎ C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0‎ ‎3．(2015·全国Ⅱ卷)已知三点A(1，0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（ ）‎ A． B． C． D． ‎4．(2017·北京卷)已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2，0)，O为原点，则·的最大值为________．‎ ‎5．(2015·全国Ⅰ卷)已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．‎ ‎(1)求k的取值范围；‎ ‎(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|．‎ 精准预测题 ‎1．(2018·成都月考)直线l:x+4y=2‎与圆C:x‎2‎+y‎2‎=1‎交于A、B两点，O为坐标原点，若直线OA、OB的倾斜角分别为α、β，则cosα+cosβ=‎（ ）‎ A．‎18‎‎17‎ B．‎-‎‎12‎‎17‎ C．‎-‎‎4‎‎17‎ D．‎‎4‎‎17‎ ‎2．(2017·济南调研)若直线x－y＋m＝0被圆(x－1)2＋y2＝5截得的弦长为2，则m的值为（ ）‎ A．1 B．－3 C．1或－3 D．2‎ ‎3．(2017·广安调研)过点(1，1)的直线l与圆(x－2)2＋(y－3)2＝9相交于A，B两点，当|AB|＝4时，直线l的方程为________．‎ ‎4．(2017·池州模拟)某学校有2 500名学生，其中高一1 000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高三抽取样本数分别为a，b，且直线ax＋by＋8＝0与以A(1，－1)为圆心的圆交于B，C两点，且∠BAC＝120°，则圆C的方程为________．‎ ‎5．已知点A(3，3)，B(5，2)到直线l的距离相等，且直线l经过两直线l1：3x－y－1＝0和l2：x＋y－3＝0的交点，求直线l的方程．‎ 参考答案 经典常规题 ‎1．【解题思路】点到直线距离公式d＝．‎ ‎【答案】圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0化为标准方程为(x－1)2＋(y－4)2＝4，故圆心为(1，4)．‎ 由题意，得d＝＝1，解得a＝－．故选A．‎ ‎2．【解题思路】先求出A，B两点坐标得到AB‎，‎再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可 ‎【答案】‎∵‎直线x+y+2=0‎分别与x轴，y轴交于A，B两点，‎ ‎∴A‎-2,0‎,B(0,-2)‎‎,则AB‎=2‎‎2‎，‎ ‎∵‎点P在圆‎（x-2）‎‎2‎‎+y‎2‎=2‎上，‎∴‎圆心为（2，0），则圆心到直线距离d‎1‎‎=‎|2+0+2|‎‎2‎=2‎‎2‎，‎ 故点P到直线x+y+2=0‎的距离d‎2‎的范围为‎[‎2‎,3‎2‎]‎，‎ 则S‎△ABP‎=‎1‎‎2‎ABd‎2‎=‎2‎d‎2‎∈[2,6]‎，‎ 故答案选A．‎ 点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．‎ ‎3．【解题思路】利用弦心距结合勾股定理求弦长列方程求半径．‎ ‎【答案】圆C的标准方程为x2＋(y－a)2＝a2＋2，圆心为C(0，a)，‎ 点C到直线y＝x＋2a的距离为d＝＝．‎ 又由|AB|＝2，得＋＝a2＋2，解得a2＝2，所以圆C的面积为π(a2＋2)＝4π．故填4π．‎ ‎4．【解题思路】首先将圆的一般方程转化为标准方程，得到圆心坐标和圆的半径的大小，之后应用点到直线的距离求得弦心距，借助于圆中特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理求得弦长．‎ ‎【答案】根据题意，圆的方程可化为x‎2‎‎+‎(y+1)‎‎2‎=4‎，‎ 所以圆的圆心为‎(0,-1)‎，且半径是2，‎ 根据点到直线的距离公式可以求得d=‎0+1+1‎‎1‎‎2‎‎+‎‎(-1)‎‎2‎=‎‎2‎，‎ 结合圆中的特殊三角形，可知AB‎=2‎4-2‎=2‎‎2‎，故答案为‎2‎‎2‎．‎ 点睛：该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，熟练应用圆中的特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果．‎ 高频易错题 ‎1．【解题思路】直线平分圆可知，直线经过圆心，从而可得直线的方程，然后和曲线的方程联立，根据公共点的个数，确定k的值．‎ ‎【答案】圆x‎2‎‎+y‎2‎-2x+3y=0‎的圆心为‎(1,-‎3‎‎2‎)‎，所以设直线为y+‎3‎‎2‎=k(x-1)‎．‎ 联立y+‎3‎‎2‎=k(x-1)‎y‎2‎‎=x，得ky‎2‎-y-k-‎3‎‎2‎=0‎．‎ 因为恰有一个公共点，所以k=0‎或者k≠0‎‎1-4k(-k-‎3‎‎2‎)=0‎，解得k=‎‎-3±‎‎5‎‎4‎．‎ 综上可得，k的值有3个，故选C．‎ ‎2．【解题思路】过圆上一点作圆的切线有且只有一条．‎ ‎【答案】依题意知，点(3，1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，且为切点．‎ ‎∵圆心(1，0)与切点(3，1)连线的斜率为，所以切线的斜率k＝－2．‎ 故圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0．故选B．‎ ‎3．【解题思路】待定系数法求圆的方程．‎ ‎【答案】设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，‎ ‎∴∴ ‎∴△ABC外接圆的圆心为，‎ 因此圆心到原点的距离d＝＝．故选B．‎ ‎4．【解题思路】设出P点坐标，直接利用向量数量积定义即可．‎ ‎【答案】由题意知，＝(2，0)，令P(x，y)，－1≤x≤1，‎ 则·＝(2，0)·(x＋2，y)＝2x＋4≤6，故·的最大值为6．故填6．‎ ‎5．【解题思路】(1)直线与圆相交，可得d