12.3 乘法公式
一、基础训练
1．下列运算中，正确的是（ ）
A．（a+3）（a－3）=a2－3 B．（3b+2）（3b－2）=3b2－4
C．（3m－2n）（－2n－3m）=4n2－9m2 D．（x+2）（x－3）=x2－6
2．在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）
A．（x+1）（1+x） B．（a+b）（b－a）
C．（－a+b）（a－b） D．（x2－y）（x+y2）
3．对于任意的正整数n，能整除代数式（3n+1）（3n－1）－（3－n）（3+n）的整数是（ ）
A．3 B．6 C．10 D．9
4．若（x－5）2=x2+kx+25，则k=（ ）
A．5 B．－5 C．10 D．－10
5．9.8×10.2=________;
6．a2+b2=（a+b）2+______=（a－b）2+________．
7．（x－y+z）（x+y+z）=________;
8．（a+b+c）2=_______．
9．（x+3）2－（x－3）2=________．
10．（1）（2a－3b）（2a+3b）； （2）（－p2+q）（－p2－q）；
（3）（x－2y）2； （4）（－2x－y）2．
11．（1）（2a－b）（2a+b）（4a2+b2）；
（2）（x+y－z）（x－y+z）－（x+y+z）（x－y－z）．
12．有一块边长为m的正方形空地，想在中间位置修一条“十”字型小路，小路的宽为n，试求剩余的空地面积；用两种方法表示出来，比较这两种表示方法，验证了什么公式？
二、能力训练
13．如果x2+4x+k2恰好是另一个整式的平方，那么常数k的值为（ ）
A．4 B．2 C．－2 D．±2
14．已知a+=3，则a2+，则a+的值是（ ）
A．1 B．7 C．9 D．11
15．若a－b=2，a－c=1，则（2a－b－c）2+（c－a）2的值为（ ）
A．10 B．9 C．2 D．1
16．│5x－2y│·│2y－5x│的结果是（ ）
A．25x2－4y2 B．25x2－20xy+4y2
C．25x2+20xy+4y2 D．－25x2+20xy－4y2
17．若a2+2a=1，则（a+1）2=_________．
三、综合训练
18．（1）已知a+b=3，ab=2，求a2+b2；
（2）若已知a+b=10，a2+b2=4，ab的值呢？
19．解不等式（3x－4）2>（－4+3x）（3x+4）．
20．观察下列各式的规律．
12+（1×2）2+22=（1×2+1）2；
22+（2×3）2+32=（2×3+1）2；
32+（3×4）2+42=（3×4+1）2；
…
（1）写出第2007行的式子；
（2）写出第n行的式子，并说明你的结论是正确的．
参考答案
1．C 点拨：在运用平方差公式写结果时，要注意平方后作差，尤其当出现数与字母乘积的项，系数不要忘记平方；D项不具有平方差公式的结构，不能用平方差公式，而应是多项式乘多项式．
2．B 点拨：（a+b）（b－a）=（b+a）（b－a）=b2－a2．
3．C 点拨：利用平方差公式化简得10（n2－1），故能被10整除．
4．D 点拨：（x－5）2=x2－2x×5+25=x2－10x+25．
5．99.96 点拨：9.8×10.2=（10－0.2）（10+0.2）=10－0.2=100－0.04=99.96．
6．（－2ab）；2ab
7．x2+z2－y2+2xz
点拨：把（x+z）作为整体，先利用平方差公式，然后运用完全平方公式．
8．a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
点拨：把三项中的某两项看做一个整体，运用完全平方公式展开．
9．6x 点拨：把（x+3）和（x－3）分别看做两个整体，运用平方差公式（x+3）2－（x－3）2=（x+3+x－3）[x+3－（x－3）]=x·6=6x．
10．（1）4a2－9b2；（2）原式=（－p2）2－q2=p4－q2．
点拨：在运用平方差公式时，要注意找准公式中的a，b．
（3）x4－4xy+4y2；
（4）解法一：（－2x－y）2=（－2x）2+2·（－2x）·（－y）+（－y）2=4x2+2xy+y2．
解法二：（－2x－y）2=（2x+y）2=4x2+2xy+y2．
点拨：运用完全平方公式时，要注意中间项的符号．
11．（1）原式=（4a2－b2）（4a2+b2）=（4a2）2－（b2）2=16a4－b4．
点拨：当出现三个或三个以上多项式相乘时，根据多项式的结构特征，先进行恰当的组合．
（2）原式=[x+（y－z）][x－（y－z）]－[x+（y+z）][x－（y+z）]
=x2－（y－z）2－[x2－（y+z）2]
=x2－（y－z）2－x2+（y+z）2
=（y+z）2－（y－z）2
=（y+z+y－z）[y+z－（y－z）]
=2y·2z=4yz．
点拨：此题若用多项式乘多项式法则，会出现18项，书写会非常繁琐，认真观察此式子的特点，恰当选择公式，会使计算过程简化．
12．解法一：如图（1），剩余部分面积=m2－mn－mn+n2=m2－2mn+n2．
解法二：如图（2），剩余部分面积=（m－n）2．
∴（m－n）2=m2－2mn+n2，此即完全平方公式．
点拨：解法一：是用边长为m的正方形面积减去两条小路的面积，注意两条小路有一个重合的边长为n的正方形．
解法二：运用运动的方法把两条小路分别移到边缘，剩余面积即为边长为（m－n）的正方形面积．做此类题要注意数形结合．
13．D 点拨：x2+4x+k2=（x+2）2=x2+4x+4，所以k2=4，k取±2．
14．B 点拨：a2+=（a+）2－2=32－2=7．
15．A 点拨：（2a－b－c）2+（c－a）2=（a+a－b－c）2+（c－a）2=[（a－b）+（a－c）] 2+（c－a）2=（2+1）2+（－1）2=9+1=10．
16．B 点拨：（5x－2y）与（2y－5x）互为相反数；│5x－2y│·│2y－5x│=（5x－2y）2=25x2－20xy+4y2．
17．2 点拨：（a+1）2=a2+2a+1，然后把a2+2a=1整体代入上式．
18．（1）a2+b2=（a+b）2－2ab．
∵a+b=3，ab=2，
∴a2+b2=32－2×2=5．
（2）∵a+b=10，
∴（a+b）2=102，
a2+2ab+b2=100，∴2ab=100－（a2+b2）．
又∵a2+b2=4，
∴2ab=100－4，
ab=48．
点拨：上述两个小题都是利用完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2中（a+b）、ab、（a2+b2）三者之间的关系，只要已知其中两者利用整体代入的方法可求出第三者．
19．（3x－4）2>（－4+3x）（3x+4），
（3x）2+2×3x·（－4）+（－4）2>（3x）2－42，
9x2－24x+16>9x2－16，
－24x>－32．
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