北京市东城区2019届高三上学期期末考试数学理试卷Word版含解析.doc

‎2018-2019学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）‎ 一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）‎ ‎1.若集合A={x|-2＜x≤0}，B={-2，-1，0，1，2}，则A∩B=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用交集运算得答案．‎ ‎【详解】∵集合表示到0的所有实数，‎ 集合表示5个整数的集合，∴，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了交集的概念及其运算，是基础题．‎ ‎2.下列复数为纯虚数的是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用复数的运算对每个选项逐一求解即可得答案.‎ ‎【详解】∵，，，，‎ ‎∴为纯虚数的是，故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了复数的基本运算及基本概念，是基础题 ‎3.下列函数中，是奇函数且存在零点的是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数的奇偶性及函数的零点可判断为奇函数，且存在零点为，为非奇非偶函数，为偶函数，不存在零点，故得解．‎ ‎【详解】对于选项A：为奇函数，且存在零点为x=0，与题意相符；‎ 对于选项B：为非奇非偶函数，与题意不符；‎ 对于选项C：为偶函数，与题意不符；‎ 对于选项D：不存在零点，与题意不符，故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性及函数的零点，熟练掌握常见初等函数的性质是解题的关键，属于简单题．‎ ‎4.执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出的等于（　　）‎ A. 3 B. ‎12 C. 60 D. 360‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过程序框图，按照框图中的要求将几次的循环结果写出，得到输出的结果．‎ ‎【详解】模拟执行程序，可得，，，，， ‎ 满足条件，执行循环体，，， ‎ 满足条件，执行循环体，，， ‎ 不满足条件，退出循环，输出的值为60． ‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查程序框图的应用，解决程序框图中的循环结构的输出结果问题时，常采用写出几次的结果找规律，属于基础题．‎ ‎5.“”是“函数的图像关于直线对称”的（　　）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数的对称性求出函数的对称轴为，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【详解】若函数的图象关于直线，则，得，‎ 当时，，即“”是“函数的图象关于直线对称”的充分不必要条件，故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数的对称性求出的取值范围是解决本题的关键．‎ ‎6.某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为（　　）‎ A. 2 B. C. D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三棱锥的三视图知该三棱锥是三棱锥，其中底面，，，，由此能求出在该三棱锥中，最长的棱长．‎ ‎【详解】由三棱锥的三视图知该三棱锥是如图所示的三棱锥，‎ 其中底面，，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴在该三棱锥中，最长的棱长为，故选D．‎ ‎【点睛】本题考查三棱锥中最长棱长的求法，考查三棱锥性质及其三视图等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是基础题．‎ ‎7.在极坐标系中，下列方程为圆的切线方程的是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求出圆的直角坐标方程为，圆心为，半径，将每个选项分别利用直角坐标表示，根据直线与圆的位置关系能求出结果．‎ ‎【详解】圆，即，‎ ‎∴圆的直角坐标方程为，即，圆心为，半径，‎ 在A中，即，‎ 圆心到的距离，故不是圆的切线，故A错误；‎ 在B中，是圆，不是直线，故B错误； ‎ 在C中，即， ‎ 圆心到的距离，故是圆的切线，故C正确； ‎ 在D中，即， ‎ 圆心到的距离，故不是圆的切线，故D错误． ‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆的切线方程的判断，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎8.地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+‎1.5M．已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E1和E2，则的值所在的区间为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先把数据代入已知解析式，再利用对数的运算性质即可得出．‎ ‎【详解】，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，，∴，‎ ‎∵，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴的值所在的区间为，故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了对数的运用以及运算，熟练掌握对数的运算性质是解题的关键，属于基础题.‎ 二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）‎ ‎9.若满足，则的最小值为______．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义即可得到结论．‎ ‎【详解】作出，满足对应的平面区域，‎ 由，得，平移直线，‎ 由，解得 由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小，‎ 此时，故答案为4．‎ ‎【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎10.已知双曲线-=1的一个焦点为，则m=______．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线的焦点坐标可得的值，列出关于的方程，解出即可．‎ ‎【详解】双曲线的一个焦点为，即，‎ 解得，故答案为3．‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程，注意分析、的关系，属于基础题.‎ ‎11.若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=-1，b1=2，a3+b2=-1，试写出一组满足条件的数列 ‎{an}和{bn}的通项公式：an=______，bn=______．‎ ‎【答案】 (1). -n (2). 2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得，，即可得到所求通项公式，注意答案不唯一．‎ ‎【详解】等差数列的公差设为，等比数列的公比设为，‎ ‎，，，可得， ‎ 即为， 可取，可得，则，，‎ 故答案为，2．‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．‎ ‎12.在菱形ABCD中，若，则的值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据菱形的对角线互相垂直且平分，则，结合平面向量的数量积公式计算即可．‎ ‎【详解】菱形中，，由可得 则，‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量的数量积计算问题，由菱形的性质得到是解题的关键，属于基础题．‎ ‎13.函数在区间上的最大值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用两角差的正弦与余弦公式化简，根据在上，结合三角函数的性质可得最大值．‎ ‎【详解】函数 ‎；‎ ‎∵，∴当时，取得最大值为，‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了两角和与差公式的应用和计算能力，得到是解题的关键，属于基础题．‎ ‎14.已知函数f（x）为定义域为R，设Ff（x）=．‎ ‎①若f（x）=，则Ff（1）=______；‎ ‎②若f（x）=ea-|x|-1，且对任意x∈R，Ff（x）=f（x），则实数a的取值范围为______．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①通过的范围，可得，代入可得所求值；②由题意可得恒成立，运用绝对值不等式的性质和参数分离，以及函数的最值求法，可得的范围．‎ ‎【详解】①若，由，可得，成立，即有，则；‎ ‎②若，且对任意，，可得恒成立，即为，即有，可得，即，‎ 由的最小值为，则，故答案为，．‎ ‎【点睛】本题主要考查分段函数的运用：求函数值和解析式，考查变形能力和转化思想，注意运用参数分离和绝对值不等式的性质，将问题转化为恒成立是解决②的关键，属于中档题 三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）‎ ‎15.在△ABC中，．‎ ‎（1）求∠B的大小；‎ ‎（2）若△ABC的面积为a2，求cosA的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由正弦定理可得，结合范围，可求的值；（2）利用三角形的面积公式可求的值，根据余弦定理可求的值，进而可求的值．‎ ‎【详解】（1）在△ABC中，由正弦定理可得：，‎ 所以：，‎ 又，． ‎ ‎（2）因为△ABC的面积为，‎ ‎∴2，‎ 由余弦定理，，所以．‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 ‎16.某中学有学生500人，学校为了解学生的课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，获得了他们某一个月课外阅读时间的数据（单位：小时），将数据分为5组：[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]，整理得到如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（1）求频率分布直方图中的x的值；‎ ‎（2）试估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16小时的学生人数；‎ ‎（3）已知课外阅读时间在[10，12）的样本学生中有3名女生，现从阅读时间在[10，12）的样本学生中随机抽取3人，记X为抽到女生的人数，求X的分布列与数学期望E（X）．‎ ‎【答案】（1）0.15；（2）150；（3）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用频率分布直方图，通过概率和为1，即可求解；（2）利用分布直方图求解即可；（3）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，求出概率得到分布列，然后求解期望．‎ ‎【详解】（1）由，‎ 可得0.15‎ ‎（2），‎ 即课外阅读时间不小于16个小时的学生样本的频率为0.30.500×0.30=150，‎ 所以可估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16个小时的学生人数为150．‎ ‎（3）课外阅读时间在[10，12）的学生样本的频率为0.08×2=0.16，50×0.16=8，即阅读时间在[10，12）的学生样本人数为8，8名学生为3名女生，5名男生，‎ 随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，；　；；  ．‎ 所以X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 故的期望 ‎【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，频率分布直方图的应用，考查计算能力，属于中档题.‎ ‎17.如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，E，F分别为AD，BC的中点，AE=EF，．将四边形ABFE沿EF折起，使平面ABFE⊥平面EFCD（如图2），G是BF的中点．‎ ‎（1）证明：AC⊥EG；‎ ‎（2）在线段BC上是否存在一点H，使得DH∥平面ABFE？若存在，求的值；若不存在，说明理由；‎ ‎（3）求二面角D-AC-F的大小．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）推导出，，，从而平面，进而，四边形为正方形，，由此能证明平面，从而；（2）由，，两两垂直，建立空间直角坐标系，由此利用向量法能求出在线段上存在一点，使得 平面，并能求出的值；（3）求出平面的法向理和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的大小．‎ ‎【详解】证明：（1）在图1中，，‎ 可得△AEF为等腰直角三角形，AE⊥EF．‎ 因为AD∥BC，所以EF⊥BF，EF⊥FC．‎ 因为平面ABFE⊥平面EFCD，且两平面交于EF，CF⊂平面CDEF，‎ 所以CF⊥平面ABFE．‎ 又EG⊂平面ABFE，故CF⊥EG；‎ 由G为中点，可知四边形AEFG为正方形，所以AF⊥EG；‎ 又AF∩FC=F，所以EG⊥平面AFC．又AC⊂平面AFC，所以AC⊥EG ‎（2）由（1）知：FE，FC，FB两两垂直，如图建立空间直角坐标系F-xyz，‎ 设FE=1，则F（0，0，0），C（0，2，0），B（0，0，2），D（1，1，0）．‎ 设H是线段BC上一点，．‎ 因此点．‎ 由（1）知为平面ABFE的法向量，=（0，2，0），‎ 因为平面ABFE，所以平面，当且仅当，‎ 即，解得．‎ ‎．‎ ‎（3）设A（1，0，1），E（1，0，0），G（0，0，1）．‎ 由（1）可得，是平面的法向量，．，‎ 设平面ACD的法向量为n=（x，y，z），‎ 由即 令x=1，则y=1，z=1．于是n=（1，1，1）．‎ 所以．‎ 所以二面角D-AC-F的大小为90°‎ ‎【点睛】本题主要考查线线垂直的证明，考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎18.已知函数f（x）=axex-x2-2x．‎ ‎（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；‎ ‎（2）当x＞0时，若曲线y=f（x）在直线y=-x的上方，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，求出函数的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，求出切点的坐标，由直线的点斜式方程分析可得答案；（2）根据题意，原问题可以转化为恒成立，设，求出的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得其最大值，分析可得答案．‎ ‎【详解】（1）当时，，其导数，．‎ 又因为，‎ 所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为；‎ ‎（2）根据题意，当时，‎ ‎“曲线y=f（x）在直线的上方”等价于“恒成立”，‎ 又由x＞0，则 ，‎ 则原问题等价于恒成立；‎ 设，则，‎ 又由，则，则函数在区间上递减，‎ 又由，则有，‎ 若恒成立，必有，‎ 即的取值范围为．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数分析函数的切线方程以及最值，考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解，属于中档题.‎ ‎19.已知椭圆过点P（2，1）．‎ ‎（1）求椭圆C的方程，并求其离心率；‎ ‎（2）过点P作x轴的垂线l，设点A为第四象限内一点且在椭圆C上（点A不在直线l上），点A关于l的对称点为A'，直线A'P与C交于另一点B．设O为原点，判断直线AB与直线OP的位置关系，并说明理由．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将点代入椭圆方程，求出，结合离心率公式即可求得椭圆的离心率；（2）设直线，，设点的坐标为，，分别求出，，根据斜率公式，以及两直线的位置关系与斜率的关系即可得结果.‎ ‎【详解】（1）由椭圆方程椭圆 过点P（2，1），可得．‎ 所以，‎ 所以椭圆C的方程为+=1，离心率e==，‎ ‎（2）直线AB与直线OP平行．证明如下：‎ 设直线，，‎ 设点A的坐标为（x1，y1），B（x2，y2），‎ 由得，‎ ‎∴，∴‎ 同理，所以，‎ 由，‎ 有，‎ 因为A在第四象限，所以，且A不在直线OP上．‎ ‎∴，‎ 又，故，‎ 所以直线与直线平行．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了斜率和直线平行的关系，是中档题．‎ ‎20.对给定的d∈N*，记由数列构成的集合．‎ ‎（1）若数列{an}∈Ω（2），写出a3的所有可能取值；‎ ‎（2）对于集合Ω（d），若d≥2．求证：存在整数k，使得对Ω（d）中的任意数列{an}，整数k不是数列{an}中的项；‎ ‎（3）已知数列{an}，{bn}∈Ω（d），记{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn．若|an+1|≤|bn+1|，求证：An≤Bn．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）推导出，，，，由此能求出的所有可能取值；（2）先应用数学归纳法证明数列，则具有，（‎ ‎）的形式，由此能证明取整数，则整数均不是数列中的项；（3）由，得：，从而，由此利用累加法得，从而，同理，由此能证明．‎ ‎【详解】（1）由于数列{an}∈Ω（2），即d=2，a1=1．‎ 由已知有|a2|=|a1+d|=|1+2|=3，所以a2=±3，‎ ‎|a3|=|a2+d|=|a2+2|，‎ 将a2=±3代入得a3的所有可能取值为-5，-1，1，5． ‎ 证明：（2）先应用数学归纳法证明数列：‎ 若{an}∈Ω（d），则an具有md±1，（m∈Z）的形式．‎ ‎①当n=1时，a1=0•d+1，因此n=1时结论成立．‎ ‎②假设当n=k（k∈N*）时结论成立，即存在整数m0，使得ak=m0d0±1成立．‎ 当n=k+1时，|an+1|=|m0d0±1+d0|=|（m0+1）d0±1|，‎ ak+1=（m0+1）d±1，或ak+1=-（m0+1）±1，‎ 所以当n=k+1时结论也成立．‎ 由①②可知，若数列{an}∈Ω（d）对任意n∈N*，an具有md±1（m∈Z）的形式．‎ 由于an具有md±1（m∈Z）的形式，以及d≥2，可得an不是d的整数倍．‎ 故取整数k=d，则整数k均不是数列{an}中的项 ‎（3）由|an+1|=|an+d|，可得：=，‎ 所以有=+2and+d2，‎ ‎=+2an-1d+d2，‎ ‎，‎ ‎…‎ ‎=，‎ 以上各式相加可得，‎ 即An=-，同理Bn=-，‎ 当时，有，‎ ‎∵d∈N*，∴≤，‎ ‎∴≤-，‎ ‎∴‎ ‎【点睛】本题考查数列的第项的所有可能取值的求法，考查数列不等式的证明，考查数学归纳法、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题．‎