山东省滨州市2019届高三期末考试
数学（文）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据补集与全集的定义，求出∁UA，再求并集．
【详解】全集U＝{0，1，2，3，4}，A＝{1，2，3}，
∴∁UA＝{0，4}，
又B＝{2，4}，
∴（∁UA）∪B＝{0，2，4}．
故选：A．
【点睛】本题考查了补集与并集的定义和应用问题，是基础题．
2.设复数，则（ ）
A. 1 B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算法则化简求出z,再求．
【详解】z1+i，
所以|z|=.
故选:C
【点睛】本题主要考查复数的除法运算和复数的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握
水平和分析推理能力.
3.已知等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A. 16 B. 31 C. 32 D. 63
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据已知求出q＝2，a1＝1，再运用等比数列的前n项和求解．
【详解】根据题意得，a1（1+q）＝3 ①
a1q（1+q）＝6 ②
①②联立得q＝2，a1＝1，
∴S531，
故选：B．
【点睛】本题主要考查等比数列的通项和前n项和公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
4.已知，，则（ ）
A. B. 7 C. D. -7
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出tan的值，再利用和角的正切求的值.
【详解】因为，，所以，
所以=.
故选:A
【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系，考查和角的正切的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
5.“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
由b可得a＞b＞0，由2a＞2b可得a＞b然后根据必要条件、充分条件和充要条
件的定义进行判断．
【详解】由b可得a＞b＞0，
由2a＞2b可得a＞b，
故b”是“2a＞2b”的充分不必要条件，
故选：A．
【点睛】此题主要考查对数函数和指数函数的性质与其定义域，另外还考查了必要条件、充分条件和
充要条件的定义．
6.已知是空间两条不同的直线，为空间两个不同的平面，且，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】
通过作图不难否定A，B，C，故选D．
【详解】A，，此图可否定A；
B，，此图可否定B；
C，，此图可否定C；
D, 若，则.是正确的.
故选：D．
【点睛】本题主要考查空间直线平面的位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理能力.解答这类题目常用的方法是举反例和证明.
7.已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. -10 D. -6
【答案】C
【解析】
【分析】
由∥，结合向量平行的坐标表示可求k，然后结合向量数量积的坐标表示可求解．
【详解】∵（k，2k﹣1），（1，3），且∥，
∴3k﹣（2k﹣1）＝0，
∴k＝﹣1，
则k+3（2k﹣1）＝﹣10
故选：C．
【点睛】本题主要考查了向量平行及数量积的坐标表示，属于基础题.
8.已知正实数满足，则的最小值是（ ）
A. 2 B. 4 C. 9 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由m+n（m+n）（），展开后利用基本不等式即可求解．
【详解】正实数m，m满足4，
则m+n（m+n）（）（5），
当且仅当且4，即m，n时取得最小值，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑．
9.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的所有顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
该几何体为四棱锥P﹣ABCD．底面ABCD为矩形，其中PD⊥底面ABCD．先利用模型法求
几何体外接球的半径，再求球的体积.
【详解】如图所示，该几何体为四棱锥P﹣ABCD．底面ABCD为矩形，
其中PD⊥底面ABCD．
AB＝1，AD＝2，PD＝1．
则该阳马的外接球的直径为PB．
∴该阳马的外接球的体积：．
故选：C．
【点睛】本题考查了四棱锥的三视图、长方体的性质、球的体积计算公式，考查了推理能力与计算能
力，属于中档题．
10.直线被圆所截得的最短弦长等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
易知直线过定点，当圆被直线截得的弦最短时，圆心到弦的距离最大，此时圆心与定点的连
线垂直于弦，求出弦心距，利用勾股定理求出结果即可．
【详解】圆的方程为圆（x﹣2）2+（y﹣2）2＝5，圆心C（2，2），半径为．
直线y﹣3＝k（x﹣1），
∴此直线恒过定点（1，3），
当圆被直线截得的弦最短时，圆心C（2，2）与定点P（1，3）的连线垂直于弦，
弦心距为：．
∴所截得的最短弦长：2．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了直线与圆相交的性质．解题的关键是利用数形结合的思想，通过半径和弦构
成的三角形和圆心到弦的垂线段，应注意直线恒过定点，是基础题．
11.将函数的图象平移后，得到函数的图象，若函数为奇函数，则可以将函数的图象（ ）
A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度
【答案】B
【解析】
【分析】
化函数f（x）为正弦型函数，根据图象平移法则，结合三角函数的奇偶性求得正确结果．
【详解】函数f（x）＝cos（2x）cos2x
＝sin2xcos2x
＝2sin（2x），
＝2sin2（x），
将f（x）的图象向右平移个单位后，得到函数g（x）＝2sin2x的图象，且函数g（x）为奇
函数．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了图象平移与变换问题，是基础题．
12.设双曲线的左、右焦点分别为、，过点且斜率为的直线与双曲线的两条渐近线相交于两点，若，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求出过点F1且斜率为的直线方程，求出A，B坐标，得到中点坐标，然后利用|F2A|＝|F2B|，
列出关系式求解双曲线的离心率即可．
【详解】双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c
，0），
过点F1且斜率为的直线为y（x+c），与双曲线的渐近线bx±ay＝0，
可得A（，），B（，），
，，
可得AB的中点坐标Q（，），
|F2A|＝|F2B|，，
可得：3，解得2b＝a，所以4c2﹣4a2＝a2，
可得e．
故选：A．
【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用和转化思想以及计算能力数形结合的应用．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
求得函数y的导数，可得x＝1处切线的斜率，由点斜式方程可得所求切线方程．
【详解】y＝x3的导数为y′＝3x2，
即有曲线在x＝1处的切线的斜率为5，
切线方程为y+1＝5（x﹣1），
即为5x﹣y﹣6＝0，
故答案为：5x﹣y﹣6＝0．
【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的应用，考查运算能力，属于基础题．
14.若变量满足约束条件则的最大值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z的几何意义，进行平移，结合图象得到z＝
2x﹣y的最大值．
【详解】由z＝2x﹣y得y＝2x﹣z，
作出变量x，y满足约束条件对应的平面区域（阴影部分）如图：
平移直线y＝2x﹣z，由图象可知当直线y＝2x﹣z经过点A（1，﹣1）时，直线y＝2x﹣z的
截距最小，此时z最大．
即z＝2×1+1＝3．
故答案为：3
【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问
题的基本方法．
15.已知等差数列的前项和为，若，，数列的前项和为，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
设等差数列的公差为d，由通项公式和求和公式，解方程即可得到首项和公差，进而得到通
项公式，由（），运用裂项相消求和，即可得到所求和．
【详解】等差数列{an}的公差设为d，
a3+a4＝7，S5＝15，可得2a1+5d＝7，5a1+10d＝15，
解得a1＝1，d＝2，可得an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，
则（），
前n和为Tn（1）
（1）．
可得T10．
故答案为：．
【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考
查化简整理的运算能力，属于中档题．
16.已知函数若方程恰有4个不同的实根，且，则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
作出函数f（x）的图象，由图象可得x1+x2＝﹣2，x3x4＝1；1＜x4≤2；从
而化简x3（），再利用函数的单调性求出它的取值范围．
【详解】作出函数f（x）的图象，
∵方程f（x）＝a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，
且x1＜x2＜x3＜x4，
由图可知a＜1，x1+x2＝﹣2．
∵﹣log2（x3）＝log2（x4）＝a，∴x3x4＝1；
∵0＜log2（x4）＜1，∴1＜x4≤2．
故x3（x1+x2）x4，
其在1＜x4≤2上是增函数，
故﹣2+1x4≤﹣1+2；
即﹣1x4≤1；
故答案为：（﹣1，1]．
【点睛】本题主要考查分段函数的应用，函数零点与方程的根的关系，体现了数形结合、转化的数学
思想，属于中档题．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.在中，角所对的边分别为，且.
（1）求；
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理化简已知得，即得.（2）由余弦定理得或.
再求的面积.
【详解】（1）由正弦定理，得，
即.
又，所以，
所以，
又，所以，
所以.
又，所以.
（2）由余弦定理，得.
即，
解得或.
经验证或符合题意.
当时，；
当时，.
【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
18.如图，在三棱锥中，，，，，.
（1）当时，求证：平面平面；
（2）当时，求三棱锥的体积.
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先证明平面，再证平面平面.(2)先证明平面，再证明为直角三角形，再求三棱锥的体积.
【详解】（1）证明：取的中点，连接.
因为，所以.
又，所以，
得.
因为，所以，
又，
所以平面，
又平面，
所以平面平面.
（2）解：当时，由已知，
因为，所以平面，
又平面，所以.
又，，所以，
而在中，，，即，
所以为直角三角形，
所以三棱锥的体积.
【点睛】本题主要考查空间线面位置关系的证明，考查空间几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理转化能力.
19.未了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，某部门从年龄在15岁到65岁的人群中随机调查了100人，将这100人的年龄数据分成5组：，，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图.
在这100人中不支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：
年龄
不支持“延迟退休”的人数
15
5
15
23
17
（1）由频率分布直方图，估计这100人年龄的平均数；
（2）由频率分布直方图，若在年龄，，的三组内用分层抽样的方法抽取12人做问卷调查，求年龄在组内抽取的人数；
（3）根据以上统计数据填写下面的列联表，据此表，能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的不支持态度存在差异？
\
45岁以下
45岁以上
总计
不支持
支持
总计
附：，其中.
参考数据：
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
【答案】（1）；（2）人；（3）表格见解析，能在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的不支持态度存在差异.
【解析】
【分析】
（1）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和可得平均值；(2)先求出在这三组内抽取的人数之比为1:2:3，根据分层抽样方法可再求年龄在组内抽取的人数；(3)先根据直方图的性质以及表格中数据完成2×2列联表，再利用公式，求得的值，与临界值比较即可的结果.
【详解】（1）估计这100人年龄的平均数为
.
（2）由频率分布直方图可知，年龄在，，内的频率分别为0.1,0.2,0.3，
所以在这三组内抽取的人数之比为1:2:3，
所在年龄在组内抽取的人数为（人）.
(3)由频率分布直方图可知，得年龄在，，这三组内的频率和为0.5，所以45岁以下共有50人，45岁以上共有50人.
列联表如下：
45岁以下
45岁以上
总计
不支持
35
45
80
支持
15
5
20
总计
50
50
100
所以，
所以能在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的不支持态度存在差异.
【点睛】本题主要考查直方图的应用，考查分层抽样和独立性检验的应用，属于中档题. 独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.
20.已知抛物线上一点的纵坐标为6，且点到焦点的距离为7.
（1）求抛物线的方程；
（2）设为过焦点且互相垂直的两条直线，直线与抛物线相交于两点，直线与抛物线相交于点两点，若直线的斜率为，且，试求的值.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
【分析】
(1)由题得，解得.故抛物线的方程为.（2）由题意可知的方程为
，先求出，，由，得，解得或.
【详解】（1）由抛物线的定义知，点到抛物线的准线的距离为7，
又抛物线的准线方程为，
所以，解得.
故抛物线的方程为.
（2）由题意可知的方程为，设，，
由消去，整理得，
则，，，
.
又点到直线的距离，
则.
因为，同理可得，
由，得，
解得，即或.
【点睛】本题主要考查抛物线方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系和三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.
21.已知函数，其中.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若实数为函数的极小值点，且，求实数的取值范围.
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题得，再对a分类讨论，讨论函数的单调性.(2)对a分类讨论，分别求出即得a的取值范围.
【详解】（1）函数的定义域为，
.
由，得，或.
①当时，，
所以函数在区间上单调递增；
②当时，，由，解得或，
所以函数在区间上单调递增；由，解得，
所以函数在区间上单调递减.
③当时，，由，解得或，
所以函数在区间上单调递增；由，解得，
所以函数在区间上单调递减.
综上所述，
当时，函数在区间上单调递增；
当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；
当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.
（2）由（1）知，①当时，函数在区间上单调递增，可知函数无极小值.
②当时，由函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，可知，
所以，即，
解得，
又，所以的取值范围为.
③当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，可知，
所以，即，
整理得.
令函数，，
因为，所以，所以函数在区间上单调递增.
又因为，所以.
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数求函数的极值，意在考查学生读这些知识的掌握水平和分析推理能力.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线，的极坐标方程；
（2）在极坐标系中，射线与曲线交于点，射线与曲线交于点，求的面积（其中为坐标原点）.
【答案】(1) 曲线:,曲线：.
(2)1.
【解析】
分析：第一问首先将参数方程消参化为普通方程，之后应用极坐标与平面直角坐标之间的转换关系，求得结果，第二问联立对应曲线的极坐标方程，求得对应点的极坐标，结合极径和极角的意义，结合三角形面积公式求得结果.
详解：（1）由曲线：（为参数），消去参数得：
化简极坐标方程为：
曲线：（为参数）消去参数得：
化简极坐标方程为：
（2）联立 即
联立 即
故
点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，在求解的过程中，需要明确由参数方程向普通方程转化的过程中，即为消参的过程，注意消参的方法，再者就是直角坐标与极坐标之间的转换关系，在求有关三角形面积的时候，注意对极坐标的意义的把握，求得结果.
23.设函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用零点分类讨论法解不等式即得解.(2).
又因为，所以，解之即得a的取值范围.
【详解】（1）当时，
①当时，得，所以；
②当时，得恒成立，所以；
③当时，得，所以.
综上可知，不等式的解集为.
（2）.
又因为，当且仅当时，等号成立.
所以，
解得或.
所以实数的取值范围为.
【点睛】本题主要考查零点讨论法解绝对值不等式，考查绝对值三角不等式和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
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