高三数学（理科）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集为，集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先化简B，再根据补集、交集的定义即可求出．
【详解】∵A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，
∴∁RB＝{x|x＜1}，
∴A∩（∁RB）＝{x|0＜x＜1}．
故选：B．
【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．
2.下面是关于复数的四个命题：
；；的虚部为2；的共轭复数为.
其中真命题为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先将复数化简运算，可得|z|及和共轭复数，再依次判断命题的真假．
【详解】复数z2+2i．可得|z|＝2，所以p1：|z|＝2；不正确；
z2＝（2+2i）2＝8i，所以p2：z2＝8i；正确；
z＝2+2i．z的虚部为2；可得p3：z的虚部为2；正确；
z＝2+2i的共轭复数为：2﹣2i；所以p4：z的共轭复数为﹣2﹣2i不正确；
故选：A．
【点睛】本题考查复数的运算法则以及命题的真假的判断与应用，是对基本知识的考查．
3.已知某产品连续4个月的广告费（千元）与销售额（万元）（）满足，，若广告费用和销售额之间具有线性相关关系，且回归直线方程为，，那么广告费用为5千元时，可预测的销售额为（ ）万元
A. 3 B. 3.15 C. 3.5 D. 3.75
【答案】D
【解析】
【分析】
求出样本中心点代入回归直线方程，可得a，再将x＝6代入，即可得出结论．
【详解】由题意，，，
代入0.6x+a，可得3＝0.6×3.75+a，
所以a＝0.75，
所以0.6x+0.75，
所以x＝5时，0.6×5+0.75＝3.75，
故选：D．
【点睛】本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，利用回归方程恒过样本中心点是关键．
4.已知数列为等差数列，且成等比数列，则的前6项的和为（ ）
A. 15 B. C. 6 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
利用成等比数列,得到方程2a1+5d＝2，将其整体代入 {an}前6项的和公式中即可求出结果．
【详解】∵数列为等差数列，且成等比数列，∴，1，成等差数列，
∴2，
∴2＝a1+a1+5d，
解得2a1+5d＝2，
∴{an}前6项的和为2a1+5d）=．
故选：C．
【点睛】本题考查等差数列前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．
5.已知定义在的奇函数满足，当时，，则（ ）
A. B. 1 C. 0 D. -1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，分析可得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数是周期为4的周期函数，可得f（2019）＝f（﹣1+2020）＝f（﹣1），结合函数的奇偶性与解析式分析可得答案．
【详解】根据题意，函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数是周期为4的周期函数，
则f（2019）＝f（﹣1+2020）＝f（﹣1），
又由函数为奇函数，则f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（1）2＝﹣1；
则f（2019）＝﹣1；
故选：D．
【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，注意分析函数的周期．
6.设且，则是的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意看命题“ab＞1”与“”能否互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．
【详解】若“ab＞1”当a＝﹣2，b＝﹣1时，不能得到“”，
若“”，例如当a＝1，b＝﹣1时，不能得到“ab＞1“，
故“ab＞1”是“”的既不充分也不必要条件，
故选：D．
【点睛】本小题主要考查了充分必要条件，考查了对不等关系的分析，属于基础题．
7.设，，，若，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由向量的坐标运算得：（0，），由数量积表示两个向量的夹角得：cosθ， 可得结果.
【详解】由（1，），（1，0），．
则（1+k，），
由，
则0，
即k+1＝0，即k＝﹣1，即（0，），
设与的夹角为θ，
则cosθ，
又θ∈[0，π]，
所以，
故选：A．
【点睛】本题考查了数量积表示两个向量的夹角、及向量的坐标运算，属于简单题
8.第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，会标是四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为，大正方形的面积为，直角三角形中较小的锐角为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由图形可知三角形的直角边长度差为a，面积为6，列方程组求出直角边得出sinθ，代入所求即可得出答案．
【详解】由题意可知小正方形的边长为a，大正方形边长为5a，直角三角形的面积为6，
设直角三角形的直角边分别为x，y且x＜y，则由对称性可得y＝x+a，
∴直角三角形的面积为Sxy＝6，
联立方程组可得x＝3a，y＝4a，
∴sinθ，tanθ＝．
∴===，
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形，三角恒等变换，属于基础题．
9.如图所示，正方形的四个顶点，，，，及抛物线和，若将一个质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论．
【详解】∵A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1），
∴正方体的ABCD的面积S＝2×2＝4，
根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积：
S＝2[1﹣]dx＝2（x3）2[（1）﹣0]＝2，
则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是．
故选：B．
【点睛】本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用积分求出阴影部分的面积是解决本题的关键．
10.如果是抛物线上的点，它们的横坐标，是抛物线的焦点，若，则（ ）
A. 2028 B. 2038 C. 4046 D. 4056
【答案】B
【解析】
【分析】
由抛物线性质得|PnF|xn+1，由此能求出结果．
【详解】∵P1，P2，…，Pn是抛物线C：y2＝4x上的点，
它们的横坐标依次为x1，x2，…，xn，F是抛物线C的焦点，
,
∴
＝（x1+1）+（x2+1）+…+（x2018+1）
＝x1+x2+…+x2018+2018
＝2018+20=2038．
故选：B．
【点睛】本题考查抛物线中一组焦半径和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意抛物线的性质的合理运用．
11.已知函数，记，若存在3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由g（x）＝0得f（x）＝ex+a，分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可．
【详解】由g（x）＝0得f（x）＝ex+a，
作出函数f（x）和y＝ex+a的图象如图：
当直线y＝ex+a过A点时，截距a=，此时两个函数的图象有2个交点，
将直线y＝ex+a向上平移到过B（1，0）时，截距a=-e，两个函数的图象有2个交点，
在平移过程中直线y＝ex+a与函数f（x）图像有三个交点，
即函数g（x）存在3个零点，
故实数a的取值范围是，
故选：C．
【点睛】本题主要考查分段函数的应用，考查了函数零点问题，利用函数与零点之间的关系转化为两个函数的图象的交点问题是解决本题的关键，属于中档题.
12.设是双曲线的左右焦点，是坐标原点，过的一条直线与双曲线和轴分别交于两点，若，，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由条件得到=，连接A，在三角形中，由余弦定理可得A，
再由双曲线定义A=2a，可得.
【详解】∵，得到|，∴=，又，连接A，，在三角形中，由余弦定理可得A，
又由双曲线定义A=2a，可得，∴ =，
故选D.
【点睛】本题考查了双曲线的定义的应用及离心率的求法，综合考查了三角形中余弦定理的应用，属于中档题.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若满足约束条件，则的最大值为____．
【答案】5
【解析】
【分析】
画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解目标函数的最值即可．
【详解】x，y满足约束条件的可行域如图：
由解得A（1，2）．
由可行域可知：目标函数经过可行域A时，
z＝x+2y取得最大值：5．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查线性规划的简单应用，目标函数的几何意义是解题的关键，考查计算能力．
14.设，则的值为__________．
【答案】1
【解析】
【分析】
分别令x=0和x=-1，即可得到所求.
【详解】由条件，令x=0,则有=0，再令x=-1,则有-1=，∴，
故答案为1.
【点睛】本题考查二项式定理的系数问题，利用赋值法是解决问题的关键，属于中档题.
15.在平面直角坐标系中,已知过点的直线与圆相切,且与直线垂直,则实数__________．
【答案】
【解析】
因为在圆上，所以圆心与切点的连线与切线垂直，又知与直线与直线垂直，所以圆心与切点的连线与直线斜率相等，，所以，故填：．
16.已知函数，过点作与轴平行的直线交函数的图像于点，过点作图像的切线交轴于点，则面积的最小值为____．
【答案】
【解析】
【分析】
求出f（x）的导数，令x＝a，求得P的坐标，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程，令y＝0，可得B的坐标，再由三角形的面积公式可得△ABP面积S，求出导数，利用导数求最值，即可得到所求值．
【详解】函数f（x）＝的导数为f′（x），
由题意可令x＝a，解得y，
可得P（a，），
即有切线的斜率为k，
切线的方程为y﹣（x），
令y＝0，可得x＝a﹣1，
即B（ a﹣1，0），
在直角三角形PAB中，|AB|＝1，|AP|，
则△ABP面积为S（a）|AB|•|AP|•，a＞0，
导数S′（a）•，
当a＞1时，S′＞0，S（a）递增；当0＜a＜1时，S′＜0，S（a）递减．
即有a＝1处S取得极小值，且为最小值e．
故答案为：e．
【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，注意运用直线方程和构造函数法，考查运算能力，属于中档题．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知函数的最小正周期为，将函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到函数的图像.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）在锐角中，角的对边分别为，若，，求面积的最大值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再根据正弦函数的单调求得函数f（x）的单调递增区间．
（2）先利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，在锐角△ABC中，由g（）＝0，求得A的值，再利用余弦定理、基本不等式，求得bc的最大值，可得△ABC面积的最大值．
【详解】（1）由题得：函数
=
=
，
由它的最小正周期为，得，
∴
由，得
故函数的单调递增区间是
（2）将函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到函数的图像，
在锐角中，角的对边分别为，
若，可得，∴.
因为，由余弦定理，得，
∴，
∴，当且仅当时取得等号.
∴面积，
故面积的最大值为
【点睛】本题主要考查三角恒等变换，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．
18.设是等差数列，前项和为 ，是等比数列，已知，，，.
（1）求数列和数列的通项公式；
（2）设，记，求.
【答案】（1），;（2）
【解析】
【分析】
（1）设数列的公差为等比数列{bn}的公比为q，由已知列式求得d，q及首项，则可求数列和{bn}的通项公式；
（2）由（1）知，，利用错位相减直接求和.
【详解】（1）设数列的公差为，等比数列的公比为
由已知得：，即，
又，所以，
所以
由于，
，
所以，即（不符合题意，舍去）
所以，
所以和的通项公式分别为，.
（2）由（1）知，，
所以
所以
上述两式相减，得：
=
=，
得.
【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和等基础知识，考查数列求和的基本方法及运算能力，是中档题．
19.已知椭圆，点在椭圆上，椭圆的离心率是.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点为椭圆长轴的左端点，为椭圆上异于椭圆长轴端点的两点，记直线斜率分别为，若，请判断直线是否过定点？若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由.
【答案】（1）（2）过定点
【解析】
【分析】
（1）由点M（﹣1，）在椭圆C上，且椭圆C的离心率是，列方程组求出a＝2，b，由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）设点P，Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx+m，联立，得：（4k2+3）x2+8kmx+（4m2﹣12）＝0，利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件得直线PQ的方程过定点（1，0）；再验证直线PQ的斜率不存在时，同样推导出x0＝1，从而直线PQ过（1，0）．由此能求出直线PQ过定点（1，0）．
【详解】（1）由点在椭圆上，且椭圆的离心率是，
可得，
可解得：
故椭圆的标准方程为.
（2）设点的坐标分别为，
（ⅰ）当直线斜率不存在时，由题意知，直线方程和曲线方程联立得：，，
（ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立，消去得：，
由，有，
由韦达定理得：，，
故，可得：，
可得：，
整理为：，
故有，
化简整理得：，解得：或，
当时直线的方程为，即，过定点不合题意，
当时直线的方程为，即，过定点，
综上，由（ⅰ）（ⅱ）知，直线过定点.
【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程是否过定点的判断与求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题．
20.在创新“全国文明卫生城”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次），通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：
（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分，近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），利用该正态分布，求；
（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；
②每次获赠的随机话费和对应的概率为：
现有市民甲参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望.
附：参考数据与公式：,若，则，，.
【答案】（1）0.8185（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）由题意计算平均值，根据Z～N（，）计算的值；
（2）由题意知X的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望值．
【详解】（1）由题意得：
∴，∵，
∴，
，
∴
综上，
（2）由题意知，，
获赠话费的可能取值为20,40,50,70,100
；
；
；
，
；
的分布列为：
∴
【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列、数学期望以及正态分布等基础知识，也考查了运算求解能力，是中档题．
21.已知函数，，.
（1）已知为函数的公共点，且函数在点处的切线相同，求的值；
（2）若在上恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，由函数f（x），g（x）在点T处的切线相同，得到，且，从而求出a的值即可；
（2）令，将a与0、e分别比较进行分类，讨论的单调性及最值情况，从而找到符合条件的a的值.
【详解】（1）由题意，，
∵点为函数的公共点，且函数在点处的切线相同，
故且，
由（2）得：，
∵，∴，从而，∴
代入（1）得：，∴，.
（2）令
，
①当时，，在单调递增，
∴，满足题意；
②当时，
∵，∴，∴，∴，∴在单调递增，
需解得：，∴
③当时，，使
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
，
∵，
∴
，不恒成立，
综上，实数的取值范围是.
【点睛】本题考查了导数的几何意义及函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）已知直线与曲线交于两点，且，求实数的值.
【答案】（1）的普通方程；的直角坐标方程是；（2）
【解析】
【分析】
（1）把直线l的标准参数方程中的t消掉即可得到直线的普通方程，由曲线C
的极坐标方程为ρ＝2sin（θ），展开得（ρsinθ+ρcosθ），利用即可得出曲线的直角坐标方程；
（2）先求得圆心到直线的距离为，再用垂径定理即可求解．
【详解】（1）由直线的参数方程为，所以普通方程为
由曲线的极坐标方程是，
所以，
所以曲线的直角坐标方程是
（2）设的中点为，圆心到直线的距离为，则，
圆，则，，
,
由点到直线距离公式，
解得，所以实数的值为.
【点睛】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程化为普通方程，考查了点到直线的距离公式，圆中垂径定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）若不等式的解集为，求的值；
（2）当时，求的解集.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）通过讨论a的范围，求出不等式的解集，结合对应关系求出a的值即可；
（2）代入a的值，通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可．
【详解】（1）由得，
当时，
由，得，
当时，
由，无解
所以.
（2）
当时，原不等式化为，所以；
当时，原不等式化为，所以（舍）；
当时，原不等式化为
所以，不等式的解集为.
【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．
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