试卷类型：A
唐山市2018～2019学年度高一年级第一学期期末考试
数 学 试 卷
本试卷分第Ⅰ卷(1～2页，选择题)和第Ⅱ卷(3～8页，非选择题)两部分，共150分．考试用时120分钟．
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，，则 M ∩N＝( )
A. {0，3} B. {3，0} C. {(0，3)} D. {(3，0)}
【答案】D
【解析】
【分析】
解方程组即可求出M∩N的元素，从而得出M∩N．
【详解】解得，；
∴M∩N＝{（3，0）}．
故选：D．
【点睛】本题考查描述法表示集合的方法，以及交集的定义及运算．
2.已知，是第四象限角，则的值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，即可确定出tanα的值．
【详解】∵cosα，α为第四象限角，
∴sinα，
则tanα．
故选：D．
【点睛】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
3.若幂函数的图象经过点，则＝( )
A. B. C. 3 D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】
利用待定系数法求出幂函数y＝f（x）的解析式，再计算f（3）的值．
【详解】设幂函数y＝f（x）＝xα，
其图象经过点，
∴2α，
解得α，
∴f（x），
∴f（3）．
故选：B．
【点睛】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．
4.下列函数中，既存在零点又是偶函数的是( )
A. y＝lnx B. y＝cosx＋2 C. y＝sin(2x＋) D. y＝x2＋1
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，依次分析选项，综合即可得答案．
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝lnx，是对数函数，不是偶函数，不符合题意；
对于B，y＝cosx+2，是偶函数，但y＝cosx+2＞0恒成立，不存在零点，不符合题意；
对于C，y＝sin（2x）＝cos2x，是偶函数且存在零点，符合题意；
对于D，y＝x2+1，是偶函数，但y＝x2+1＞0恒成立，不存在零点，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查函数的零点以及函数的奇偶性，关键是掌握常见函数的奇偶性以及图象性质，属于基础题．
5.已知向量，，若∥，则实数t＝( )
A. B. C. 2 D. －2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据即可得出1•（﹣t）﹣1•2＝0，解出t即可．
【详解】∵；
∴﹣t﹣2＝0；
∴t＝﹣2．
故选：D．
【点睛】涉及平面向量的共线（平行）的判定问题主要有以下两种思路：
（1）若且，则存在实数，使成立；
（2）若，且，则.
6.已知a＝，b＝，c＝，则( )
A. c＜b＜a B. c＜a＜b C. a＜b＜c D. a＜c＜b
【答案】C
【解析】
【分析】
利用有理指数幂与对数的运算性质分别比较a，b，c与0和1的大小得答案．
【详解】∵a＝log0.22.1＜log0.21＝0，
0＜b＝0.22.1＜0.20＝1
c＝2.10.2＞2.10＝1．
∴a＜b＜c．
故选：C．
【点睛】利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．
7.函数的零点所在的一个区间是( )
A. (1，2) B. (0，1) C. (－1，0) D. (－2，－1)
【答案】C
【解析】
【分析】
依次代入区间的端点值，求其函数值，由零点判定定理判断．
【详解】∵f（﹣2）＝3﹣2+2×（﹣2）4＜0，
f（﹣1）＝3﹣1+2×（﹣1）2＜0，
f（0）＝1＞0，f（1）＝3+2＞0，f（2）＝9+4＞0，
∴f（﹣1）f（0）＜0，
故选：C．
【点睛】本题考查了函数零点的判断，考查零点存在性定理，属于基础题．
8.已知，则＝( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知直接利用三角函数的诱导公式化简求值．
【详解】∵，
∴cos（）
＝cos[（）]＝﹣sin（）．
故选：B．
【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．
9.在同一直角坐标系中，函数， 的图象可能是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
结合对数函数和幂函数的图象和性质，对选项中的图象逐个分析，
【详解】对于A项，对数函数过（1,0）点，但是幂函数不过（0,1）点，所以A项不满足要求；
对于B项，幂函数，对数函数，所以B项不满足要求；
对于C项，幂函数要求，而对数函数要求，，所以C项不满足要求；
对于D项，幂函数与对数函数都要求，所以D项满足要求；
故选D.
【点睛】
该题考查的是有关函数图象的选择问题，在解题的过程中，需要对相应的函数的图象的走向了如指掌，注意参数的范围决定着函数图象的走向，再者就是在同一坐标系中两个函数的图象对应参数的范围必须保持一致.
10.已知函数 f (x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0， ω＞0，≤)的图象如下，则点的坐标是( )
A. (，) B. (，)
C. (，) D. (，)
【答案】C
【解析】
【分析】
由函数f（x）的部分图象求得A、T、ω和φ的值即可．
【详解】由函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象知，
A＝2，T＝2×（4﹣1）＝6，
∴ω，
又x＝1时，y＝2，
∴φ2kπ，k∈Z；
∴φ2kπ，k∈Z；
又0＜φ，∴φ，
∴点P（，）．
故选：C．
【点睛】已知函数的图象求解析式
(1).
(2)由函数的周期求
(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.
11.已知函数 f (x)＝的图象向左平移个单位后，得到函数 y＝g(x)的图象，下列关于函数y＝g(x)的说法正确的是( )
A. 图象关于点(，0)对称 B. 图象关于直线对称
C. 在区间单调递增 D. 最小正周期为
【答案】A
【解析】
【分析】
辅助角公式得：f（x）sin（2x），三角函数的对称性、单调性及周期性逐一判断即可．
【详解】由f（x）sin（2x），
将函数f（x）＝sin（2x）的图象向左平移个单位后，得到函数y＝g（x）的图象，
则g（x）＝sin[2（x）]＝sin（2x），
①令2xkπ，解得：x（k∈z）
当k＝0时，函数图象对称点为：（，0），故选项A正确；
②令2xkπ，解得：x（k∈z），
解方程（k∈z），k无解，故选项B错误
③令2k2x，
解得：k（k∈z）
即函数增区间为：[kπ，kπ]（k∈z），
则函数在区间单调递减，故选项C错误，
④由Tπ，即函数的周期为：π，故选项D错误，
综合①②③④得：选项A正确；
故选：A．
【点睛】函数的性质
(1) .
(2)周期
(3)由 求对称轴
(4)由求增区间;
由求减区间.
12.定义在R上的偶函数f (x)满足f (x＋2)＝f (x)，当时， f (x)＝x－3， 则( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据条件可知，f（x）的周期为2，可设x∈[0，1]，从而得出4﹣x∈[3，4]，这样即可得出f（x）＝f（4﹣x）＝1﹣x，得出f（x）在[0，1]上单调递减，从而可判断每个选项的正误．
【详解】∵f（x+2）＝f（x）；
∴f（x）的周期为2，且f（x）是偶函数，x∈[3，4]时，f（x）＝x﹣3；
设x∈[0，1]，则4﹣x∈[3，4]；
∴f（x）＝f（x﹣4）＝f（4﹣x）＝4﹣x﹣3＝1﹣x；
∴f（x）在[0，1]上单调递减；
∵sin1，cos1∈[0，1]，且sin1＞cos1；
∴f（sin1）＜f（cos1）．
故选：A．
【点睛】本题考查了函数值大小的比较，涉及到函数的奇偶性，周期性，单调性等知识.
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
注意事项：
1．第Ⅱ卷共6页，用0.5mm黑色签字笔直接答在试题卷上．
2．答题前将密封线内的项目填写清楚．
二、
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中横线上．
13.已知向量，满足，，若， 则＝_____________．
【答案】5
【解析】
【分析】
根据即可得到，再由即可求出，从而可得出的值．
【详解】∵；
∴，且；
∴；
∴．
故答案为：5．
【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量的数量积运算，向量长度的概念．
14.已知，则__________．
【答案】
【解析】
分析：先对弦化切，再代入求结果.
详解：因为，所以
点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度
(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.
15.函数 f (x)＝ 值域为R，则实数a的取值范围是____________．
【答案】a≥2
【解析】
【分析】
由题意讨论x≤1时，函数y是单调减函数，且y≤2；x＞1时，函数y应为单调增函数，且y＞2；由此求得a的取值范围．
【详解】由题意知，当x≤1时，函数y＝﹣x2+2x+1是单调减函数，且y≤2；
当x＞1时，函数y＝loga（x+3）应为单调增函数，且y＞2；
∴，
解得a≥2；
∴实数a的取值范围是a≥2．
故答案为：a≥2．
【点睛】本题考查了分段函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
16.函数f (x)＝(－6≤x≤10)的所有零点之和为____________．
【答案】16
【解析】
【分析】
构造函数g（x）＝（）|x﹣2|，h（x）＝﹣2cos，由于﹣6≤x≤10时，函数g（x），h（x）的图象都关于直线x＝2对称，可得函数f（x）在﹣6≤x≤10的图象关于直线x＝2对称．运用﹣6≤x≤10时，函数g（x），h（x）的图象的交点共有8个，即可得到f（x）的所有零点之和．
【详解】构造函数g（x）＝（）|x﹣2|，
h（x）＝﹣2cos，
∵﹣6≤x≤10时，
函数g（x），h（x）的图象
都关于直线x＝2对称，
∴函数f（x）＝（）|x﹣2|+2cos
（﹣6≤x≤10）
的图象关于直线x＝2对称．
∵﹣6≤x≤10时，函数g（x），h（x）的图象的交点共有8个，
∴函数f（x）的所有零点之和等于4×4＝16．
故答案为：16．
【点睛】本题考查函数的零点，解题的关键是构造函数，确定函数图象的对称性及图象的交点的个数．
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知角α的终边经过点P(，－)．
(1)求sinα的值；
(2)求的值．
【答案】(1) （2）-2
【解析】
【分析】
（1）根据任意角的三角函数的定义即可求出；
（2）根据诱导公式和同角的三角函数的关系即可求出．
【详解】解：(1)因为角α的终边经过点P(，－)，
由正弦函数的定义得sinα＝－．
（2）原式＝·
＝－＝－，
由余弦函数的定义得cosα＝，
故所求式子的值为－2．
【点睛】本题考查了任意角的三角函数的定义和同角的三角函数的关系，属于基础题．
18.已知函数f (x)＝2(sinx＋cosx)cosx－1
(1)求函数f (x)的最小正周期；
(2)当时，求函数f (x)的值域．
【答案】(1)； (2)
【解析】
【分析】
（1）求出f（x）＝sin2x+2cos2x﹣1＝sin2x+cos2xsin（2x），由此能求出函数f（x）的最小正周期；
（2）当x∈[，]时，2x∈[，]，由此能求出函数f（x）的值域．
【详解】解：
(1)f(x)＝sin2x＋2cos2x－1
＝sin2x＋cos2x
＝sin(2x＋)
函数f(x)的最小正周期为T＝π．
(2)当x∈[，]时，2x＋∈[，]，.
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－1，
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值，
所以函数f(x)的值域为[－1，]．
【点睛】本题考查函数的最小正周期的求法，考查三角函数的性质等基础知识，考查化归与转化思想，考查推理论论能力、运算求解能力，是中档题．
19.如图，平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，DAB＝60o，点M在AB上，点N在DC上，且AM＝AB，DN＝DC．
(1)用和表示；
(2)求
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）运用向量的加法可解决此问题；（2）运用数量积的性质和运算可解决此问题．
【详解】解：
(1)在平行四边形ABCD中，DN＝DC
所以＝＋＝＋＝＋，
(2)因为AM＝AB
所以＝－＝－；
又因为AD＝1，AB＝2，∠DAB＝60°，·=
所以·＝(＋)·(－)
＝||2－||2－·
＝－1－×2×1×
＝－
【点睛】本题考查平面向量的加法运算，平面向量的数量积的性质和运算．
20.已知函数 f (x)＝，．
(1)求函数g (x)的值域；
(2)求满足方程f (x)－＝0的x的值．
【答案】(1) (1,4] ；(2) x＝ln3
【解析】
【分析】
（1）由指数函数的值域求解函数g（x）的值域；
（2）由f（x）﹣g（x）＝0，得ex2＝0，对x分类求解得答案．
【详解】解：
(1)g(x)＝＋1＝3()|x|＋1，
因为|x|≥0，
所以0＜()|x|≤1，
0＜3()|x|≤3，
即1＜g(x)≤4，
故g(x)的值域是(1,4]．
(2)由f(x)－g(x)＝0，得ex－－2＝0，
当x≤0时，方程无解；
当x＞0时，ex－－2＝0，
整理得(ex)2－2ex－3＝0，(ex＋1)(ex－3)＝0，
因为ex＞0，所以ex＝3，即x＝ln3．
【点睛】本题考查函数值域的求法，考查函数的零点与方程的根的关系，是中档题．
21.已知奇函数 ．
(1)求实数a的值；
(2)判断函数 f (x)在上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；
(3)当xä[2，5]，时，ln(1+x)＞m＋ln(x－1) 恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1) a＝1; (2) f(x)在(1，＋∞)上为减函数;(3)
【解析】
【分析】
（1）利用函数的奇偶性的定义，推出结果即可；
（2）利用函数的单调性的定义证明即可；
（3）推出m的表达式，利用函数的单调性求解函数的最值，推出结果即可．
【详解】解：
(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即ln＝－ln．
∴＝，即(a2－1)x2＝0，得a＝±1，
经检验a＝－1时不符合题意，∴a＝1．
(2)f(x)＝ln，f(x)在(1，＋∞)上为减函数．
下面证明：任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2，
f(x1)－f(x2)＝ln－ln＝ln(·)＝ln
∵x1＜x2，∴x2－x1＞0，＞1，
∴f(x1)－f(x2)＞0，f(x1)＞f(x2)，
∴f(x)为(1，＋∞)上的减函数．
(3)由已知得m＜ln(1＋x)－ln(x－1)，即m＜ln．
由(2)知f(x)＝ln在[2，5]上为减函数．
则当x＝5时，(ln)min＝
于是．.
【点睛】本题考查函数恒成立函数的奇偶性以及函数的单调性的应用，考查转化思想以及计算能力．
22.如图，已知单位圆O，A(1，0)，B(0，1)，点D在圆上，且AOD＝，点C从点A沿圆弧运动到点B，作BEOC于点E，设COA＝.
(1)当时，求线段DC的长；
(2)OEB的面积与OCD面积之和为S，求S的最大值．
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）根据题意，分析可得当θ时，∠COD，由余弦定理分析可答案；
（2）根据题意，由∠COA＝θ，利用θ表示△OEB的面积与△OCD面积，进而可得Ssinθcosθ（sinθ+cosθ），令t＝sinθ+cosθ，运用换元法分析可得答案．
【详解】解：
(1)θ＝，∠COD＝＋＝，
∠ODC＝，DC＝.
(2)∠COA＝θ，∠OBE＝θ，OE＝sinθ，BE＝cosθ，S△OEB＝sinθcosθ，
方法一：因为∠AOD＝，∠COA＝θ．
所以∠COD＝θ＋，OC＝OD＝1，取CD中点H，
则OH⊥CD，∠DOH＝，DH＝sin，OH＝cos，
所以S△OCD＝cossin＝sin(θ＋)＝(sinθ＋cosθ)．
方法二：作CM，
△OEB的面积与△OCD面积之和S＝sinθcosθ＋(sinθ＋cosθ)，
令t＝sinθ＋cosθ，θ∈[0，]，则t∈[1，]且sinθcosθ＝．
所以S＝＋t＝(t2＋t－1)＝(t＋)2－，
因为t∈[1，]，
当t＝时，S取得最大值，最大值为．
【点睛】本题考查三角函数的建模问题，涉及三角函数的最值和余弦定理的应用，注意用θ表示）△OEB的面积与△OCD面积之和．
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