第五章 相交线与平行线
5.3.2 命题、定理、证明
1．下列命题是真命题的是( )
A．过直线外一点可以画无数条直线与已知直线平行
B．如果甲看乙的方向是北偏东60°，那么乙看甲的方向是南偏西30°
C．3条直线交于一点，对顶角最多有6对
D．与同一条直线相交的两条直线相交
2．如图5-3-17，直线a，b被直线c所截，下列说法正确的是( )
图5-3-17
A．当∠1＝∠2时，一定有a∥b
B．当a∥b时，一定有∠1＝∠2
C．当a∥b时，一定有∠1＋∠2＝90°
D．当∠1＋∠2＝180° 时，一定有a∥b
3．判断下列语句是不是命题，如果是命题，将其改写成“如果……那么……”的形式．
(1)连接AB；
(2)过直线外一点作已知直线的垂线；
(3)对顶角相等；
(4)等量可以代换；
(5)圆的周长是2πr.
4．[2018·徐州期末]填空并完成以下证明：
如图5-3-18，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H，求证：AB⊥AB.
5
图5-3-18
证明：∵FH⊥AB(已知)，
∴∠BHF＝________．
∵∠1＝∠ACB(已知)，
∴DE∥BC，(___________________)
∴∠2＝____________．(_____________________________)
∵∠2＝∠3(已知)，
∴∠3＝__________，(______________)
∴AB∥FH(________________)
∴∠BDC＝∠BHF＝______________°，(_____________________________)
∴AB⊥AB.
5．[2018·益阳]如图5-3-19，AB∥AB，∠1＝∠2.
证明：AM∥CN.
图5-3-19
6．如图5-3-20，∠1＋∠2＝180°，∠A＝∠C，DA平分∠BDF.
(1)求证：AE∥CF；
图5-3-20
5
7．[2017春·宁城期末]有一天李明同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线AB，AB，然后在平行线间画了一点E，连接BE，DE后(如图5321①)，他用鼠标左键点住点E，拖动后，分别得到如图5321②，③，④等图形，这时他突然一想，∠B，∠D与∠BED之间的度数有没有某种联系呢？接着李明同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”功能，找到了这三个角之间的关系．
(1)你能探究出图①到图④各图中的∠B，∠D与∠BED之间的关系吗？
(2)请从所得的四个关系中，选一个说明它成立的理由．
,
① ② ③ ④
图5-3-21
参考答案
【分层作业】
1.C
2.D
3. 解：(1)(2)不是命题．
(3)是命题；如果两个角是对顶角，那么它们的大小相等．
(4)是命题；如果两个量相等，那么这两个量可以互相代换．
(5)是命题；如果一个图形是以r为半径的圆，那么它的周长是 2πr.
4． 90° 同位角相等，两直线平行 ∠BAB
两直线平行，内错角相等 ∠BAB 等量代换
同位角相等，两直线平行 90 两直线平行，同位角相等
5
5．证明：∵AB∥AB，
∴∠EAB＝∠AAB.
∵∠1＝∠2，
∴∠EAB－∠1＝∠AAB－∠2，
即∠EAM＝∠ACN，
∴AM∥CN.
6． (1)证明：∵∠1＋∠2＝180°，
∠2＋∠ABB＝180°，
∴∠ABB＝∠1，
∴AE∥CF.
(2)解：BC平分∠DBE.
理由：∵DA平分∠BDF，
∴∠FDA＝∠ADB.
∵AE∥CF，
∴∠A＝∠FDA，∠FDB＝∠EBD.
∵∠A＝∠C，∴∠FDA＝∠C，∴AD∥CB，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠CBE＝∠EBD－∠CBD＝∠FDB－∠ADB＝∠FDA＝∠ADB＝∠CBD，
即BC平分∠DBE.
7．解：(1)①∠B＋∠D＝∠BED；②∠B＋∠D＋∠BED＝360°；③∠B＝∠BED＋∠D；④∠B＝∠D＋∠BED.
(2)选择①.理由：
如答图1，过E作AB∥AB.
∵AB∥AB，∴AB∥AB，
∴∠B＝∠BAB，∠D＝∠DAB，
∴∠BED＝∠BAB＋∠DAB＝∠B＋∠D.
选择②.理由：
如答图2，过E作AB∥AB.
∵AB∥AB，∴AB∥AB，
∴∠B＋∠BAB＝180°，∠D＋∠DAB＝180°，
5
∴∠B＋∠BED＋∠D＝180°＋180°＝360°.
选择③.理由：
如答图3，延长AB交DE于点F.
∵AB∥AB，∴∠D＝∠BFE.
∵∠ABE是△BAB的外角，
∴∠ABE＝∠BAB＋∠BFE＝∠BED＋∠D.
选择④.理由：
如答图4，设AB与BE交于点F.
∵AB∥AB，
∴∠B＝∠CFE，
∵∠CFE是△DAB的外角，
∴∠CFE＝∠D＋∠E，即∠B＝∠D＋∠BED.
答图1 答图2 答图3 答图4
5
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