广州海珠区2018届高三数学综合测试(一)理科附答案
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资料简介
海珠区201届高三综合测试(一)‎ 数学(理科)‎ 第Ⅰ卷(共60分)‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合,则中元素的个数为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.设复数满足,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.下列说法中正确的是( )‎ ①相关系数用来衡量两个变量之间线性关系的强弱,越接近于,相关性越弱;‎ ②回归直线一定经过样本点的中心;‎ ③随机误差满足,其方差的大小用来衡量预报的精确度;‎ ④相关指数用来刻画回归的效果,越小,说明模型的拟合效果越好.‎ A.①② B.③④ C.①④ D.②③‎ ‎4.已知向量的夹角为,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.已知为抛物线上两点,且与的纵坐标之和为,则直线的斜率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.已知等差数列的公差为,若成等比数列,则前项的和为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7. 的展开式中的系数为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.已知圆锥的底面半径为,高为,则该圆锥的外接球的表面积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.设函数,则下列结论错误的是( )‎ A.的一个周期为 B.的图像关于直线对称 C. 的一个零点为 D.在区间上单调递减 ‎10.执行如图所示的程序框图,如果输出,则输入的( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知双曲线的两条渐近线均与圆相切,且双曲线的右焦点为该圆的圆心,则的离心率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷(共90分)‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13. 已知是各项都为正数的等比数列,则前项和为,且,则 .‎ ‎14.若满足约束条件,则的最小值为 .‎ ‎15.设函数,若,则实数的取值范围是 .‎ ‎16.如图,正方体的棱长为,为的中点,为线段上的动点,过点的平面截该正方体所得截面记为,则下列命题正确的是 .‎ ①当时,为四边形;‎ ②当时,为五边形;‎ ③当时,为六边形;‎ ④当时,为菱形.‎ 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ‎ ‎17. 已知中的内角的对边分别为,若.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求的面积.‎ ‎18. 如图,四棱锥中,侧面为等边三角形且垂直于底面,‎ ‎.‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)若直线与平面所成角为,求二面角的余弦值.‎ ‎19. 某厂生产不同规格的一种产品,根据检测标准,其合格产品的质量与尺寸之间近似满足关系式(为大于的常数),现随机抽取件合格产品,测得数据如下:‎ 尺寸 质量 对数据作了初步处理,相关统计量的值如下表:‎ ‎(1)根据所给数据,求关于的回归方程;‎ ‎(2)按照某项指标测定,当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品,现从抽取的件合格产品中再任选件,记为取到优等品的件数,试求随机变量的分布列和期望.‎ 附:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.‎ ‎20. 已知椭圆的焦距为,且过点.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)若不经过点的直线与交于两点,且直线与直线的斜率之和为,证明:直线的斜率为定值.‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎(1)若函数有零点,求实数的取值范围;‎ ‎(2)证明:当时,.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4:坐标系与参数方程 在直线坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的参数方程为(为参数),曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)直线的普通方程和曲线的参数方程;‎ ‎(2)设点在上,在处的切线与直线垂直,求的直角坐标.‎ ‎23.选修4-5:不等式选讲 已知.‎ ‎(1)求不等式的解集;‎ ‎(2)若存在,使得成立,求实数的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:BADDA 6-10:BDCCB 11、12:CA 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ①②④ ‎ 三、解答题 ‎17.解:(1)因为,所以,‎ 由正弦定理,得,‎ 由余弦定理,得,‎ 由,可得.‎ ‎(2)由余弦定理,‎ 又,得,‎ 所以的面积.‎ ‎18.解:(1)取的中点为,连接,‎ 为等边三角形,.‎ 底面中,可得四边形为矩形,‎ ‎,‎ 平面,‎ 平面.‎ 又,所以.‎ ‎(2)由面面知,平面,两两垂直,直线与平面所成角为,即,‎ 由,知,得.‎ 分别以的方向为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系,则 ‎,, ‎ 设平面的法向量为.‎ ‎,则,‎ 设平面的法向量为,‎ ‎,则,‎ ‎,‎ 由图可知二面角的余弦值.‎ ‎19.解:(1)对,两边取自然对数得,‎ 令,得,‎ ‎,‎ ‎,得,‎ 故所求回归方程为.‎ ‎(2)由,解得,即优等品有件.‎ 所以的可能取值是.‎ ‎,‎ ‎.‎ 其分布列为:‎ 所以,.‎ ‎20.解:(1)因为椭圆的焦距为,且过点,‎ 所以.‎ 因为,‎ 解得,‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎(2)设点,则,‎ 由消去得,(*)‎ 则,‎ 因为,即,‎ 化简得.‎ 即.(**)‎ 代入得,‎ 整理得,‎ 所以或.‎ 若,可得方程(*)的一个根为,不合题意,‎ 所以直线的斜率为定值,该值为.‎ ‎21.解:(1)函数的定义域为.‎ 由,得.‎ ①当时,恒成立,函数在上单调递增,‎ 又,‎ 所以函数在定义域上有个零点.‎ ②当时,则时,时,.‎ 所以函数在上单调递减,在上单调递增.‎ 当.当,即时,又,‎ 所以函数在定义域上有个零点.‎ 综上所述实数的取值范围为.‎ 另解:函数的定义域为.‎ 由,得.‎ 令,则.‎ 当时,;当时,.‎ 所以函数在上单调递增,在上单调递减.‎ 故时,函数取得最大值.‎ 因,两图像有交点得,‎ 综上所述实数的取值范围为.‎ ‎(2)要证明当时,,‎ 即证明当时,,即.‎ 令,则.‎ 当时,;当时,.‎ 所以函数在上单调递减,在上单调递增.‎ 当时,.‎ 于是,当时,.①‎ 令,则.‎ 当时,;当时,.‎ 所以函数在上单调递增,在上单调递减.‎ 当时,.‎ 于是,当时,.②‎ 显然,不等式①、②中的等号不能同时成立.‎ 故当时,.‎ ‎22.解:(1)由,的,‎ 消去得直线的普通方程为.‎ 由,‎ 得.将代入上式,‎ 曲线的直角坐标方程为,即.‎ 得曲线的直角坐标方程为(为参数,)‎ ‎(2)设曲线上的点为,‎ 由(1)知是以为圆心,半径为的圆.‎ 因为在处的切线与直线垂直,所以直线与的斜率相等,‎ 或者,‎ 故得直角坐标为或者.‎ ‎23.解:(1)不等式等价于或或,‎ 解得或,‎ 所以不等式的解集是;‎ ‎(2)存在,使得成立,‎ 故需求的最大值.‎ ‎,‎ 所以,‎ 解得实数的取值范围是.‎

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