2018-2019学年天津市河西区高三（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）
1.已知集合，，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：，或，所以，故选D.
考点：集合的运算
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2.已知变量x，y满足约束条件，则z=x-2y的最大值为（ ）
A. B. 1 C. 3 D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】
作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，再将目标函数z＝x﹣2y对应的直线进行平移，可得当x＝1，y＝0时，z取得最大值1．
【详解】作出不等式组表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣1，1），B（2，1），C（1，0）
设z＝F（x，y）＝x﹣2y，将直线l：z＝x﹣2y进行平移，
当l经过点C时，目标函数z达到最大值
∴z最大值＝F（1，0）＝1
故选：B．
【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z＝x﹣2y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．
3.设为向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
利用向量的数量积公式推断与的充分必要关系.
【详解】∵
若向量一个或都为零向量，显然成立；
若，，则，若，则，从而，是的充要条件．故选C.
【点睛】要证明p是q的充要条件，要分别从p和，两个方面验证。
4. 某空间几何体的三视图及尺寸如图，则该几何体的体积是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：根据题意可知该三视图的几何体表示的为三棱柱，且棱柱的高为2，底面为直角三角形，两直角边分别为1和2，根据底面积乘以高可知体积为v=，故可知答案为A.
考点：三视图
点评：主要是考查根据三视图还原几何体，来求解几何体的体积，属于基础题。
5.直线截圆所得劣弧所对的圆心角是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：圆的圆心到直线的距离，圆的半径，所以弦长与两半径围成的三角形是等腰三角形，一底角为，所以顶角为，即劣弧所对的圆心角是
考点：直线与圆相交问题
点评：直线与圆相交时圆的半径，圆心到直线的距离，弦长的一半构成的直角三角形三边关系是常用的知识点
6.以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设双曲线方程为，求出椭圆的焦点和顶点即可求得双曲线方程中的a、b.
【详解】设双曲线为，
由椭圆得焦点为（±1，0），顶点为（±2，0）．
∴双曲线的顶点为（±1，0）焦点为（±2，0）．
∴a＝1，c＝2，∴b2＝c2﹣a2＝3．
∴双曲线为．
故选：B．
【点睛】熟练掌握圆锥曲线的标准方程及其性质是解题的关键．
7.函数是
A. 奇函数且在上单调递增
B. 奇函数且在上单调递增
C. 偶函数且在上单调递增
D. 偶函数且在上单调递增
【答案】C
【解析】
试题分析：函数化简得
，所以函数是偶函数，当时，是减函数，排除C项，所以选D
考点：三角函数性质
点评：本题考查到了三角函数奇偶性单调性，判断奇偶性的前提条件是看定义域是否对称，若不对称则为非奇非偶函数，三角函数中是奇函数，是偶函数
8.已知函数，且存在不同的实数x1，x2，x3，使得f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1•x2•x3的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
作出y＝f（x）的函数图象，设x1＜x2＜x3，f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝t，1＜t＜2，求得x1，x2，x3，构造函数g（t）＝（t﹣1）（2+log2t），1＜t＜2，求得导数，判断单调性，即可得到所求范围．
【详解】函数的图象如图所示：
设x1＜x2＜x3，
又当x∈[2，+∞）时，f（x）＝2x﹣2是增函数，
当x＝3时，f（x）＝2，
设f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝t，1＜t＜2，
即有﹣x12+2x1+1＝﹣x22+2x2+1＝t，
故x1x2x3＝（1）（1）（2+log2t）
＝（t﹣1）（2+log2t），
由g（t）＝（t﹣1）（2+log2t），1＜t＜2，
可得g′（t）＝2+log2t0，即g（t）在（1，2）递增，又g（1）＝0，g（2）＝3，
可得g（t）的范围是（0，3）．
故选：A．
【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，考查转化思想和构造函数法，数形结合思想，难度中档．
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9.已知，其中a，b是实数，i是虚数单位，则a+bi=______．
【答案】
【解析】
【分析】
由条件可得，a＝b+1+（b﹣1）i，再根据两个复数相等的充要条件求得a和b的值，即可求得a+bi的值．
【详解】∵已知，∴a＝（1+bi）（1﹣i），即 a＝b+1+（b﹣1）i，
∴，∴a＝2，b＝1，则a+bi＝2+i，
故答案为 2+i．
【点睛】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相等的充要条件，属于基础题．
10.已知正方形的边长为，为的中点，则__________．
【答案】2
【解析】
·=(+)·(-)
=-·+·-·=22-×22=2.
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11.如图茎叶图记录了甲．乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为______，______．
【答案】 (1). 5 (2). 8
【解析】
【分析】
根据茎叶图中的数据，结合中位数与平均数的概念，求出x、y的值．
【详解】根据茎叶图中的数据，得：
∵甲组数据的中位数为15，∴x＝5；
又∵乙组数据的平均数为16.8，
∴16.8，
解得：y＝8；
综上，x、y的值分别为5、8．
故答案为：(1). 5 (2). 8
【点睛】本题考查了利用茎叶图求数据的中位数与平均数的问题，是基础题．
12.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝________．
【答案】
【解析】
有条件得a1＋a1q＋a1q2＝a1q＋10a1，a1q4＝9，解得q＝±3，a1＝.
13.设点（m，n）在直线x+y=1位于第一象限内的图象上运动，则log2m+log2n的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据点在直线上得到m与n的等式关系，然后欲求两个对数的和的最值，根据对数的性质和基本不等式进行化简变形，注意这个关系中等号成立的条件．
【详解】∵点（m，n）在直线x+y＝1位于第一象限内的图象上运动
∴m+n＝1，m＞0，n＞0，
∴log2m+log2n＝log2（mn）≤log2（）2＝log22﹣2＝﹣2，
当且仅当m＝n时“＝”成立．
故答案为：﹣2．
【点睛】本题主要考查了对数的性质，以及基本不等式的应用，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．
14.设函数f（x）在R上存在导数f'（x），∀x∈R，有f（-x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上，f'（x）＜x，若f（6-m）-f（m）-18+6m≥0，则实数m的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
令g（x）＝f（x）x2，求出函数的单调性和奇偶性得到关于m的不等式，解出即可．
【详解】令g（x）＝f（x）x2，
∵g（x）+g（﹣x）＝f（x）x2+f（﹣x）x2=x2x2=0，
∴函数g（x）是奇函数，
∵x∈（0，+∞）时，g′（x）＝f′（x）﹣x＜0，
函数g（x）在x∈（0，+∞）递减，
又由题意得：f（0）＝0，g（0）＝0，
故函数g（x）在R递减，
故f（6﹣m）﹣f（m）﹣18+6m
＝g（6﹣m）（6﹣m）2﹣g（m）m2≥0，
即g（6﹣m）﹣g（m）≥0，
∴g（6﹣m）≥g（m），
∴6﹣m≤m，解得：m≥3，
故答案为：[3，+∞）．
【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性问题，考查构造函数及转化思想，属于中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共78.0分）
15.△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知，，
（1）求sinA；
(2）求边c的值．
【答案】（1）；（2）1
【解析】
【分析】
（1）根据两角和差的正弦公式进行转化求解即可．
（2）结合正弦定理，建立方程组关系进行求解．
【详解】（1）cos（π﹣C）＝﹣cosC，
则cosC，
则sinC，sinB，
则sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC．
（2）∵，
∴，
则ca，
又ac＝2，
得c＝1．
【点睛】本题主要考查两角和差的正弦公式以及正弦定理的应用，结合同角的关系式进行转化化简是解决本题的关键．
16. 某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）
参加书法社团
未参加书法社团
参加演讲社团
未参加演讲社团
（1）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；
（2）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学,3名女同学，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求被选中且未被选中的概率.
【答案】（1）；（2）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先判断出这是一个古典概型，所以求出基本事件总数，“至少参加一个社团”事件包含的基本事件个数，从而根据古典概型的概率计算公式计算即可；（Ⅱ）先求基本事件总数，即从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，有多少中选法，这个可利用分步计数原理求解，再求出“被选中，而未被选中”事件包含的基本事件个数，这个容易求解，然后根据古典概型的概率公式计算即可
试题解析：（1）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有人，故至少参加上述一个社团的共有人，所以从该班级随机选名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为
（2）从这名男同学和名女同学中各随机选人，其一切可能的结果组成的基本事件 ，共个.
根据题意，这些基本事件的出现是等可能的.
事件“被选中且未被选中”所包含的基本事件有：
，共个.
因此被选中且未被选中的概率为.
考点：古典概型及其概率计算公式
17. 如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A＝45°，∠C＝90°，∠ADC＝105°，AB＝BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC(如图乙)，设点E、F分别为棱AC、AD的中点．
(1)求证：DC⊥平面ABC；
(2)求BF与平面ABC所成角的正弦值；
(3)求二面角B－EF－A的余弦值．
【答案】（1）见解析（2）（3）－
【解析】
(1)∵平面ABD⊥平面BDC，又∵AB⊥BD，∴AB⊥平面BDC，故AB⊥DC，又∵∠C＝90°，∴DC⊥BC，BCABC平面ABC，DC平面ABC，故DC⊥平面ABC.
(2)如图，以B为坐标原点，BD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如下图示，设CD＝a，则BD＝AB＝2a，BC＝a，AD＝2a，可得B(0，0，0)，D(2a，0，0)，A(0，0，2a)，
C，F(a，0，a)，
∴＝，＝(a，0，a)．
设BF与平面ABC所成的角为θ，由(1)知DC⊥平面ABC，
∴cos＝＝＝，∴sinθ＝.
(3)由(2)知FE⊥平面ABC,又∵BE平面ABC，AE平面ABC，∴FE⊥BE，FE⊥AE，
∴∠AEB为二面角B－EF－A的平面角.
在△AEB中，AE＝BE＝AC＝ a，
∴cos∠AEB＝＝－，即所求二面角B－EF－A的余弦为－.
18.已知数列的前项和，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）由数列的前n项和求解通项公式时一般借助于，分两种请款分别求解后验证其能否合并；（2）由数列的通项公式代入整理数列的通项为，结合特点求和时采用分组求和，将各项中形式的项和形式的项各分一组
试题解析：（1）当时，可得；
当时，可得．
检验知，时也符合．
故数列的通项公式为．
（2）由（1）可得．
记数列的前项和为，
则．
记，，
则，
．
故数列的前项和．
考点：1．数列求通项公式；2．分组求和
19.已知椭圆C的两个焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2
（1）若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程．
【答案】（1）；
（2）或．
【解析】
试题分析：（1）由△F1B1B2为等边三角形可得a=2b，又c=1，集合a2=b2+c2可求a2，b2，则椭圆C的方程可求；
（2）由给出的椭圆C的短轴长为2，结合c=1求出椭圆方程，分过点F2的直线l的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，把直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和，把转化为数量积等于0，代入坐标后可求直线的斜率，则直线l的方程可求．
解：（1）设椭圆C的方程为．
根据题意知，解得，
故椭圆C的方程为．
（2）由2b=2，得b=1，所以a2=b2+c2=2，得椭圆C的方程为．
当直线l的斜率不存在时，其方程为x=1，不符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1）．
由，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则
，
因为，所以，即
=
=
=，解得，即k=．
故直线l的方程为或．
考点：直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；直线的一般式方程；椭圆的标准方程．
20.已知函数.若曲线和曲线都过点,且在点处有相同的切线.
（Ⅰ）求的值;
（Ⅱ）若时,,求的取值范围.
【答案】（I）；（II）.
【解析】
试题分析：（1）先求导,根据题意,由导数的几何意义可知,从而可求得的值．（2） 由（1）知，,令,即证
时．先将函数求导,讨论导数的正负得函数的增减区间,根据函数的单调性求其最值．使其最小值大于等于0即可．
试题解析：（1）由已知得，
而，
（4分）
（2）由（1）知，，
设函数，
．
由题设可得，即，
令得, ．．（6分）
①若，则，∴当时，
，当时，，即F（x）在单调递减，在单调递增，故在取最小值，
而．
∴当时，，即恒成立． ．（8分）
②若，则，
∴当时，，∴在单调递增，
而，∴当时，，即恒成立，
③若，则，
∴当时，不可能恒成立． ．（10分）
综上所述，的取值范围为．（12分）
考点：用导数研究函数的性质．
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