2018-2019学年天津市部分区高三（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）
1.设全集，，，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据集合的交集、并集和补集的运算，即可求解.
【详解】由题意，全集，，，
则，则，故选A.
【点睛】本题主要考查了集合的混合运算问题，其中解答中熟记集合的交集、并集和补集的运算是解答问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
2.设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为
A. 1 B. 2 C. 7 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【详解】由变量x，y满足约束条件作出可行域如图，
联立，解得，
化目标函数为，
由图可知，当直线过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为1．
故选：A．
【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
3.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（ ）
A. 8 B. 4 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意，执行如图所示的程序框图，逐次计算，即可求得输出的结果，得到答案.
【详解】由题意，执行如图所示的程序框图，
第1次循环，不满足条件；
第2次循环，不满足条件；
第3次循环，不满足条件；
第4次循环，满足条件，此时输出，故选B.
【点睛】识别算法框图和完善算法框图是近年高考的重点和热点．解决这类问题：首先，要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行算法框图，理解框图解决的问题；第三，按照框图的要求一步一步进行循环，直到跳出循环体输出结果，完成解答．近年框图问题考查很活，常把框图的考查与函数和数列等知识考查相结合．
4.已知，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用指数函数、对数函数的单调性直接求解 ．
【详解】解：，
，
，
，，的大小关系为：．
故选：．
【点睛】本题考查利用指数函数、对数函数的单调性等基础知识比较三个数的大小，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题 ．
5.设，则“”是“”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角函数的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
【详解】由，可知．
“”是“”的必要不充分条件．
故选：B．
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用三角函数的性质是解决本题的关键，比较基础．
6.在中，为的中点，，则（ ）
A. B.
C. 3 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平面向量的线性表示与数量积的定义,计算即可．
【详解】解：如图所示，
中，是的中点，
，
，
．
故选：．
【点睛】本题考查了平面向量的线性表示与数量积的运算问题，是基础题．
7.函数其中的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据函数图象求出函数的周期，进一步利用函数经过的点的坐标求出函数的解析式，进一步利用函数的图象变换求出结果．
【详解】根据函数的图象，
所以：，
，
当时，函数，
即：．
解得：，
所以：
要得到的图象只需将函数向右平移个单位，
即．
故选：D．
【点睛】已知函数的图象求解析式
(1).
(2)由函数的周期求
(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.
8.已知双曲线的左、右焦点分别为,过点且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于两点，分别交轴于两点，若的周长为12，则当取得最大值时，该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意，的周长为24，利用双曲线的定义，可得，进而转化，利用导数的方法，即可得出结论．
【详解】解：由题意，的周长为24，
，
，，
，，
，，
，，，，
时，取得最大值，此时，即
渐近线方程为
故选：B.
【点睛】本题考查双曲线的定义,考查导数知识的运用,考查学生分析解决问题的能力,知识综合性强．
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
9.为虚数单位，计算______．
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．
【详解】，
故答案为：．
【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
10.已知函数，是的导函数，则__________．
【答案】1
【解析】
【分析】
先求，再代入得解.
【详解】解：，（1），
故答案为：1.
【点睛】本题考查型导函数求法，属于基础题.
11.已知长方体的长、宽、高分别为2，1，2，则该长方体外接球的表面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意，长方体的长宽高分别为，所以其对角线长为，求得球的半径为，利用球的表面积公式，即可求解.
【详解】由题意，长方体的长宽高分别为，所以其对角线长为，
设长方体的外接球的半径为，则，即，
所以球的表面积为.
【点睛】本题主要考查了球的表面积和球的组合体问题，其中解答中根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得球的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
12.已知直线与圆相交于两点，且线段的中点P坐标为，则直线的方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
把圆的标准化为标准方程，找出圆心的坐标，由垂径定理得到圆心与弦的中点连线与弦垂直，根据圆心的坐标及的坐标求出半径所在直线的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为，求出直线的斜率，再根据的坐标及求出的斜率写出直线的方程即可．
【详解】解：把圆的方程化为标准方程得：，
可得圆心，直线的斜率为1，
直线的斜率为，
则直线的方程为：，即．
故答案为：．
【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：垂径定理，两直线垂直时斜率满足的关系，直线斜率的求法，以及直线方程求法，灵活运用垂径定理是解本题的关键．
13.已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据已知条件，转化为，然后得到，再结合基本不等式确定其最值即可．
【详解】解：，，恒成立，且，
=
因为恒成立，
．
故答案为：．
【点睛】本题重点考查了基本不等式及其灵活运用，注意基本不等式的适应关键：一正、二定（定值）、三相等（即验证等号成立的条件），注意给条件求最值问题，一定要充分利用所给的条件，作出适当的变形，然后巧妙的利用基本不等式进行处理，属于基础题．
14.已知函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用分段函数，求出的零点，然后在求解时的零点，即可得到答案.
【详解】由题意，函数，
当时，方程，可得，解得，函数由一个零点，
当时，函数只有一个零点，即在上只有一个解，
因为函数开口向上，对称的方程为，
所以函数在为单调递减函数，所以，即，解得，
即实数的取值范围是.
【点睛】本题主要考查了分段函数的零点的应用，以及二次函数的图象与性质的应用，其中解答中把函数的零点问题转化为二次函数问题，借助二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力.
三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）
15.
为维护交通秩序，防范电动自行车被盗，天津市公安局决定，开展二轮电动自行车免费登记、上牌照工作.电动自行车牌照分免费和收费(安装防盗装置)两大类，群众可以 自愿选择安装.已知甲、乙、丙三个不同类型小区的人数分别为15000，15000，20000.交管部门为了解社区居民意愿，现采用分层抽样的方法从中抽取10人进行电话访谈.
（Ⅰ）应从甲小区和丙小区的居民中分别抽取多少人?
（Ⅱ）设从甲小区抽取的居民为，丙小区抽取的居民为.现从甲小区和丙小区已抽取的居民中随机抽取2人接受问卷调查.
（ⅰ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ⅱ）设为事件“抽取的2人来自不同的小区”，求事件发生的概率.
【答案】（Ⅰ）甲小区抽取3人、丙小区抽取4人．（Ⅱ）(i)见解析(ii)．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用分层抽样的性质能求出应从甲、乙、丙三个不同类型小区中分别抽取得3人，3人，4人．
（Ⅱ）（ⅰ）从甲小区抽取的3位居民为，丙小区抽取的4人分别为利用列举法能求出所有可能结果．
（ⅱ）由（ⅰ）可得基本事件总个数，为事件“抽取的2人来自不同的小区”利用列举法能求出事件发生的概率．
【详解】（Ⅰ）因为三个小区共有50000名居民，所以运用分层抽样抽取甲、丙小区的人数分别为：甲小区：（人）；
丙小区：（人）.
即甲小区抽取3人、丙小区抽取4人．
（Ⅱ）(i)设甲小区抽取的3人分别为，丙小区抽取的4人分别为，
则从7名居民中抽2名居民共有21种可能情况：
,
(ii)显然，事件包含的基本事件有:
共12种，
所以.
故抽取的2人来自不同的小区的概率为．
【点睛】本题考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．
16.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知．
1求角C的大小
2若，的面积为，求的周长．
【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式可得值，结合范围，即可得解的值．
（Ⅱ）利用正弦定理及面积公式可得，再利用余弦定理化简可得值，联立得从而解得周长．
【详解】（Ⅰ）由正弦定理，得
，
在中，因为，所以
故，
又因为0＜C＜，所以．
（Ⅱ）由已知，得.
又，所以.
由已知及余弦定理，得，
所以，从而.即
又，所以的周长为.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，余弦定理的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题．
17.如图，四棱锥中，底面四边形为菱形，，为等边三角形.
（Ⅰ）求证:；
（Ⅱ）若，求直线与平面所成的角.
【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）取中点E，连结，，由已知可得，，又，即可证平面，从而可得．
（Ⅱ）先证明，可得平面，由线面角定义即可知即为所求．
【详解】（Ⅰ）因为四边形为菱形，且
所以为等边三角形．
取线段的中点,连接，
则.
又因为为等边三角形，所以．
因为平面，平面，且，
所以直线平面，
又因为，所以．
（Ⅱ）因为为等边三角形，且其边长为，所以，
又，所以，所以.
因为，
所以面，
所以为直线与平面所成的角.
在中，，所以
故直线和平面所成的角为.
【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的性质及线面角求法，属于基础题 ．
18.已知数列是等比数列，数列是等差数列，且，，.
（1）求和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，列出方程组，求得的值，即可得到数列的通项公式；
（2）由（1）得， 利用乘公比错位相减法，即可求解数列的和.
【详解】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，
依题意有，即，
解得或（舍）
∴，
∴数列的通项公式为，数列的通项公式为
（2）由（1）得，
∴ ①
∴=，②
①-②得
∴
【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.
19.已知函数，其中.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）当时，证明:；
（Ⅲ）求证:对任意正整数，都有 (其中为自然对数的底数).
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）先求，再对 进行讨论即可.
（Ⅱ）由题知即证，构造新函数设，利用导数只需即得证.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知,累加作和即得证.
【详解】（Ⅰ）易得，函数 ，
①当时，，所以在上单调递增
②当时，令，解得 ．
当时，，所以，
所以在上单调递减；
当时，，所以，
所以在上单调递增．
综上，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（Ⅱ）当时，.
要证明，
即证，即. 即.
设则
令得，.
当时，，
当时，.
所以为极大值点，也为最大值点
所以.
即.
故.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，.
令，
则 ，
所以
,
即
所以.
【点睛】本题考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想及不等式的证明，考查数学分析法的运用，综合性强，属于中档题．
20.已知椭圆的焦距为8，其短轴的两个端点与长轴的个端点构成正三角形.
（1）求的方程；
(2)设为的左焦点，为直线上任意一点，过点作的垂线交于两点.
（ⅰ）证明:平分线段(其中为坐标原点)；
（ⅱ）当取最小值时，求点的坐标.
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由已知，根据椭圆的焦距为8，其短轴的两个端点与长轴的个端点构成正三角形，求得的值，即可求得椭圆的方程；
（2）（ⅰ）设点的坐标为，验证当时，平分显然成立；当由直线的方程和椭圆的方程联立方程组，求解中点的坐标，即可得到结论；
（ⅱ）由（ⅰ）可知，求得和，得到，利用基本不等式，即可求解.
【详解】（1）由已知，得. 因为，易解得.
所以，所求椭圆的标准方程为
（2）设点的坐标为
当时，与轴垂直为的中点平分显然成立
当由已知可得：
则直线的方程为：
设
消去得：
，
中点的坐标为
又在直线上.
综上平分线段
当时，则
当时，由可知
(当且仅当，即时等号成立)，
∴点的坐标为
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆，通过联立直线方程与椭圆方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.
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