6.3 实数
第1课时 实数的有关概念
关键问答
①无理数有几种常见的表现形式？
②数轴上的每一点都可以表示一个什么样的数？
1．①2017·滨州 下列各数中是无理数的是( )
A. B．0 C. D．－1
2．②如图6－3－1，半径为1个单位长度的圆片上有一点Q与数轴上的原点重合(提示：圆的周长C＝2πr)，把圆片沿数轴向左滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，则点A表示的数是________，属于__________(填“有理数”或“无理数”)．
图6－3－1
命题点 1 无理数 [热度：90%]
3．③下列说法正确的是( )
A．无理数就是无限小数
B．无理数就是带根号的数
C．无理数都是无限不循环小数
D．无理数包括正无理数、0和负无理数
易错警示
③(1)无理数的特征：无理数的小数部分位数无限且不循环，不能表示成分数的形式．
(2)常见的无理数有三种表现形式：化简后含π的数；有规律的无限不循环小数，如：1.3131131113…；含有根号且开方开不尽的数，如，.
4．④在下列各数：0.51525354…，0，0.2，3π，，，，，中，是无理数的有________________________．
方法点拨
④一个数不是有理数就是无理数，识别一个数是不是有理数，只需看其是不是整数或分数即可．
5．有一个数值转换器，原理如图6－3－2所示：当输入的x为256时，输出的y是________．
图6－3－2
6．⑤在1，2，3，…，100这100个自然数的算术平方根和立方根中，无理数共有多
少个？
方法点拨
⑤分别找出1～100这100个自然数的算术平方根和立方根中有理数的个数，即可得出无理数的个数．
命题点 2 实数的概念与分类 [热度：95%]
7．⑥下列说法中，正确的是( )
A．正整数、负整数统称整数
B．正数、0、负数统称有理数
C．实数包括无限小数与无限不循环小数
D．实数包括有理数与无理数
易错警示
⑥实数包括有理数和无理数，即有限小数、无限循环小数、无限不循环小数．
8．⑦有下列说法：①两个无理数的和还是无理数；②无理数与有理数的积是无理数；③有理数与有理数的和不可能是无理数；④无限小数是无理数；⑤不是有限小数的数不是有理数．其中正确的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解题突破
⑦两个无理数的和或差不一定是无理数．
9.⑧实数，，中，分数有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
方法点拨
⑧分数是两个整数作商，不能整除的数.
10．下列说法错误的是( )
A.是有理数 B.是无理数
C．－是正实数 D.是分数
11．在数轴上，表示实数与的点之间的整数点有________个；表示实数与之间的实数点有________个．
12．将下列各数填在相应的集合里：
，π，3.1415926，－0.456，3.030030003…(从左到右相邻的两个3之间0的个数逐渐加1)，0，，－，，.
有理数集合：{_____________________________________________…}；
无理数集合：{_____________________________________________…}；
正实数集合：{_____________________________________________…}；
整数集合：{_______________________________________________…}．
命题点 3 实数与数轴 [热度：98%]
13．下列说法中正确的是( )
A．每一个整数都可以用数轴上的点表示，数轴上的每一个点都表示一个整数
B．每一个有理数都可以用数轴上的点表示，数轴上的每一个点都表示一个有理数
C．每一个无理数都可以用数轴上的点表示，数轴上的每一个点都表示一个无理数
D．每一个实数都可以用数轴上的点表示，数轴上的每一个点都表示一个实数
14．⑨如图6－3－3，数轴上的A，B，C，D四个点表示的数中，与－最接近的是( )
图6－3－3
A．点A B．点B C．点C D．点D
解题突破
⑨－介于哪两个连续的整数之间？这两个连续的整数中哪个整数的平方与3的差的绝对值小？
15．2018·宁晋县期中 如图6－3－4，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示－1的点重合，将该圆沿数轴滚动1周，点A到达点A′的位置，则点A′表示的数是( )
图6－3－4
A．π－1 B．－π－1
C．－π－1或π－1 D．－π－1或π＋1
16.⑩在同一数轴上表示2的点与表示－的点之间的距离是________．
方法点拨
⑩数轴上两点间的距离等于右边的点表示的数减去左边的点表示的数.
17.⑪如图6－3－5所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆(该圆的周长为3个单位长度，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0，1，2)上．先让原点与圆周上0所对应的点重合，再将数轴的正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1，2，3，4，…所对应的点分别与圆周上1，2，0，1，…所对应的点重合，这样数轴的正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系．
图6－3－5
(1)圆周上数字a与数轴上的数字5对应，则a＝__________；
(2)数轴绕过圆周100圈后，一个整数点落在圆周上数字2所对应的位置，这个整数是________．
模型建立
⑪数轴绕过圆周n圈(n为正整数)后，一个整数落在圆周上数字2所对应的位置，这个整数是3n＋2.
18．阅读下面的文字，解答问题．
大家都知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用－1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，所以将减去其整数部分，差就是其小数部分．
(1)你能求出＋2的整数部分和小数部分吗？
(2)已知10＋＝x＋y，其中x是整数，且0＜y＜1，请求出x－y的相反数．
19.⑫定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作是分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质的整数的商，所以是无理数．可以这样证明：
设＝，a与b是互质的两个整数，且b≠0，则2＝，a2＝2b2.因为b是整数且不为0，所以a是不为0的偶数．设a＝2n(n是整数)，所以b2＝2n2，所以b也是偶数，这与a，b是互质的两个整数矛盾，所以是无理数．
仔细阅读上文，求证：是无理数．
方法点拨
⑫从结论的反向出发，经推理，推得与基本事实、定义、定理或已知条件相矛盾的结果，这样的方法称为反证法.
典题讲评与答案详析
1．A 2.－2π 无理数 3.C
4．0.51525354…，3π，， [解析] 因为0是整数，0.2可化成分数，＝3，是整数，，是分数，所以这五个数都是有理数.0.51525354…，3π，，都是无理数．
5. [解析] 由题图中所给的程序可知，把256取算术平方根，结果为16，因为16是有理数，所以再取算术平方根，结果为4，是有理数．再取4的算术平方根，结果为2，是有理数．再取算术平方根，结果为，是无理数，所以y＝.
6．解：∵12＝1，22＝4，32＝9，…，102＝100，
∴1，2，3，…，100这100个自然数的算术平方根中，有理数有10个，∴无理数有
90个．
∵13＝1，23＝8，33＝27，43＝64，
53＝ 125，且64100，
∴1，2，3，…，100这100个自然数的立方根中，有理数有4个，∴无理数有96个，
∴1，2，3，…，100这100个自然数的算术平方根和立方根中，无理数共有90＋96＝186(个)．
7．D [解析] 正整数、负整数、0统称为整数；有理数分为正有理数、0和负有理数；有理数包括无限循环小数和有限小数；实数包括有理数和无理数．
8．B [解析] 两个无理数的和不一定是无理数，如和－；无理数与有理数的积也不一定是无理数，如和0；有理数与有理数的和一定是有理数；无限不循环小数是无理数；有限小数和无限循环小数是有理数．
9．B [解析] 分数是两个整数作商，不能整除的数，因此只有是分数．
10．D [解析]A项，＝是有理数，故选项正确；B项，是无理数，故选项正确；C项，－＝3是正实数，故选项正确；D项，是无理数，故选项错误．故选D.
11．2 无数
12．有理数集合：{，3.1415926，－0.456，0，，，…}；
无理数集合：{π，3.030030003…(从左到右相邻的两个3之间0的个数逐渐加1)，－，，…}；
正实数集合：{，π，3.1415926，
3.030030003…(从左到右相邻的两个3之间0的个数逐渐加1)，，，，…}；
整数集合：{，0，，…}．
13．D [解析] 实数与数轴上的点具有一一对应的关系．
14．B
15．C [解析]∵圆的直径为1个单位长度，∴此圆的周长＝π，∴当圆向左滚动时点
A′表示的数是－1－π；当圆向右滚动时点A′表示的数是π－1.
16．2＋ [解析] 在同一数轴上表示2的点与表示－的点之间的距离是2＋＝2＋.
17．(1)2 (2)302 [解析] (1)∵数轴上1，2，3，4，…所对应的点分别与圆周上1，2，0，1，…所对应的点重合，∴圆周上的数字a与数轴上的数字5对应时，a＝2.
(2)∵数轴上1，2，3，4，…所对应的点分别与圆周上1，2，0，1，…所对应的点重合，∴圆周上的数字0，1，2与数轴的正半轴上的整数0，1，2，3，4，5，6，7，8，…每3个一组分别对应，
∴数轴绕过圆周100圈后，一个整数点落在圆周上数字2所对应的位置，这个整数是302.
18．解：(1)∵4＜5
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