高三数学理科试题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.共6页.共150分.考试用时120分钟. 考试结束后，本试卷和答题卡一并收回.
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号、座号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡规定的位置上；用2B铅笔填涂在答题卡上．
2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.
3．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
参考公式：
柱体的体积公式：，其中是柱体的底面积，是柱体的高.
锥体的体积公式：，其中是锥体的底面积，是锥体的高.
如果事件互斥，那么 .
如果事件相互独立，那么.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
（1）已知集合,,则
（A） （B）
（C） （D）
（2）设不等式组表示平面区域D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是
（A） （B） （C） （D）
（3）是虚数单位，复数
（A） （B） （C） （D）
（4）若等差数列的前项和为，且满足
则的值是
（A） （B） （C） （D）
（5）已知偶函数在单调递增，.若,则的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
（6）已知的展开式中的系数为,则实数的值为
正视图
侧视图
俯视图
（A） （B）
（C） （D）
（7）如图是一个空间几何体的正视图、侧视图、
俯视图，如果正视图、侧视图所对应的三
角形皆为边长为2的正三角形，俯视图对形
应的四边形为正方形，那么这个几何体的体
积为
（A） （B） （C） （D）
（8）阅读右面的程序框图,运行相应的程序,
则输出S的值为
（A） （B）
（C） （D）
（9）函数的图象与
轴的交点的横坐标，构成一个公差为的
等差数列，要得到函数的图象，
只需将函数的图象
（A）向左平移个单位长度 （B）向左平移个单位长度
（C）向右平移个单位长度 （D）向右平移个单位长度
（10）已知抛物线:的焦点为,准线为,是上一点,是直线与
的一个交点.若,则=
（A） （B） （C） （D）
（11）已知则下列等式一定成立的是
（A） （B） （C） （D）
（12）已知数列的通项公式分别是,
记,数列的前项和为,对于任意的,下面结论
总成立的是
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
（13）已知平面向量,满足,且,则向量与夹角的
余弦值为 ▲ .
（14）设变量满足约束条件则的最大值为 ▲ .
（15）《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”；将四个面都是直角三角形的三棱锥称之为“鳖臑”.若三棱锥为“鳖臑”,
,,三棱锥的四个顶点都在球的
球面上,则球的体积为 ▲ .
（16）已知为双曲线的右焦点,过原点的直线与双曲线
交于两点,且,的面积为,则双曲线的离心率
是 ▲ .
三、解答题：本大题共6个小题，共70分.
（17）（本小题满分12分）
在中,内角的对边分别为.已知
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）求的值.
C1
C
B1
B
A
A1
（18）（本小题满分12分）
如图，三棱柱中，
侧面为菱形，.
（Ⅰ）证明: ；
（Ⅱ）若,求二面角的正弦值.
（19）（本小题满分12分）
从某企业生产的某种产品中
抽取500件，测量这些产品
的一项质量指标值，由测量
结果得如右频率分布直方图：
（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差.
（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，
其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
（i）利用该正态分布，求；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位
于区间的产品件数，利用（i）的结果，求.
附：. 若～，则
（20）（本小题满分12分）
已知椭圆的右焦点,且经过点
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆相切,过点作 ,垂足为,
求证:为定值(其中为坐标原点).
（21）（本小题满分12分）
已知函数
（Ⅰ）若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若函数有两个极值点，且，
记，求的最大值.
（22）（本小题满分10分）
已知直线的参数方程为.以坐标原点为极点, 轴的正半轴
为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
（Ⅰ）把直线的参数方程,以及曲线的极坐标方程化为普通方程;
（Ⅱ）判断直线和曲线的位置关系,并说明理由.
高三理科数学参考答案及评分标准
一、选择题：每小题5分，共60分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
D
A
C
B
A
C
D
D
B
B
二、填空题：每小题5分，共20分.
（13） （14） （15） （16）
三、解答题:本大题共6个大题，共70分.
（17）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）在中，因为，故由，可得.…………………2分
已知及余弦定理,得,所以. …………4分
由正弦定理,得. ………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）及,得,
所以………………9分
………………………………12分
（18）（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：连接，交于点,连接,因为侧面为菱形，
所以，
且为与的中点，因为，
所以，……………………………………………………………………2分
又，
所以.
由于，故 ………………………………………4分
（Ⅱ）因为，所以，
z
y
x
O
C1
C
B1
B
A
A1
又为的中点，
所以.
又因为,
所以,
故,
因此，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系……………6分
因为,
所以为等边三角形，
又因为设
所以
……………………………8分
设是平面的法向量，
则，即,所以可取则.
同理，平面一个法向量， ………………………………10分
则,所以. ………………………………………12分
（19）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差分别为
……………………………………3分
………………………6分
（Ⅱ）(i)由（Ⅰ）知, ,由于,从而
.………9分
（ii）由(i)知一件产品的质量指标值位于区间的概率为,
依题意知,所以 ………12分
（20）（本小题满分12分）
解: （Ⅰ）由题意可设椭圆的左焦点为,半焦距.由椭圆的定义可知:
,
所以所以椭圆的方程为………………4分
（Ⅱ）① 当直线的斜率不存在时, 的方程为
此时 ………………………………………………5分
② 当直线的斜率为0时, 的方程为
此时 …………………………………………………6分
③ 当直线的斜率存在且不为0时,设为,其的方程可设为
因为,所以直线的方程为
由消去得: ………8分
直线与椭圆相切,所以
整理得: ………………………………………9分
由 ……………………………10分
所以
将代入上式得：
综上所述：，是定值. ……………………………………12分
（21）（本小题满分12分）
解: （Ⅰ）若函数在区间上是单调递增函数，
则，
即在区间上恒成立，
所以在区间上恒成立，所以. ……2分
若函数在区间上是单调递减函数，
则，
即在区间上恒成立，
所以在区间上恒成立，
所以. ……………………………………………………………………4分
综上,若函数在区间上是单调函数,
则实数的取值范围.……………………………………5分
（Ⅱ）令,得,由题意得,
即，且
因为，所以，所以. ……………7分
因为所以
所以解得,
同理可得.又所以. ……9分
,
,可得,
令得. …………………………………11分
当时, ,当时, ,
在区间上单调递增,在区间上单调递减,
所以. …………………………………………12分
（22）（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）因为直线的参数方程为 ,将代入,
消去参数得直线的普通方程为. …………………………3分
因为,所以,由于,
得到曲线的普通方程为. ………………………………6分
（Ⅱ）由可知, 曲线是以为圆心,以为半径的圆.
圆心到直线的距离, …………8分
因为,即,因此直线与圆相交. ……………………………10分
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