2019年春八年级数学下册第十七章勾股定理章末小结与提升课时作业（新版）新人教版.docx

勾股定理 章末小结与提升 类型1　勾股定理 典例1　如图,已知∠ABD=∠C=90°,AD=12,AC=BC,∠DAB=30°.求BC的长.‎ ‎【解析】∵∠ABD=90°,∠DAB=30°,∴BD=‎1‎‎2‎AD=‎1‎‎2‎×12=6.‎ 在Rt△ABD中,AB2=AD2-BD2,∴AB=‎1‎2‎‎2‎-‎‎6‎‎2‎=6‎3‎.‎ 在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,‎ 根据勾股定理,得AC2+BC2=AB2,即2BC2=AB2=108,‎ ‎∴BC=3‎6‎.‎ ‎【针对训练】‎ ‎1.如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案,已知大正方形面积为49,小正方形面积为4,若用x,y表示直角三角形的两直角边(x>y),下列四个说法:①x2+y2=49;②x-y=2;③2xy+4=49;④x+y=9.其中说法正确的是(B)‎ A.①② B.①②③‎ C.①②④ D.①②③④‎ ‎2.如图,P为等腰△ABC内一点,过点P分别作三条边的垂线,垂足分别为D,E,F,已知AB=AC=10,BC=12,且PD∶PE∶PF=1∶3∶3,则AP的长为(B)‎ 4‎ A.‎4‎‎3‎ B.‎20‎‎3‎ C.7 D.8‎ ‎3.(绵阳中考)如图,沿AC方向开山修建一条公路,为了加快施工进度,要在小山的另一边寻找点E同时施工,从AC上的一点B取∠ABD=150°,沿BD的方向前进,取∠BDE=60°,测得BD=520 m,BC=80 m,并且AC,BD和DE在同一平面内,那么公路CE段的长度为(C)‎ A.180 m B.260‎3‎ m C.(260‎3‎-80) m D.(260‎2‎-80) m ‎4.如图,在四边形ABCD中,AB=AD=3,DC=4,∠A=60°,∠D=150°,试求BC的长度.‎ 解:连接DB,∵AB=AD,∠A=60°,‎ ‎∴△ABD是等边三角形,‎ ‎∴BD=AD=3,∠ADB=60°,‎ 又∵∠ADC=150°,‎ ‎∴∠CDB=∠ADC-∠ADB=150°-60°=90°,‎ ‎∵DC=4,∴BC=DC‎2‎+DB‎2‎‎=‎‎4‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎=5.‎ 类型2　勾股定理的逆定理 典例2　在△ABC中,a=2n2+2n,b=2n+1,c=2n2+2n+1(n>0)为三边,这个三角形是直角三角形吗?‎ ‎【解析】∵c-a=(2n2+2n+1)-(2n2+2n)=1>0,c-b=(2n2+2n+1)-(2n+1)=2n2>0,‎ ‎∴c边为三角形的最大边,‎ 又∵c2=(2n2+2n+1)2=4n4+8n3+8n2+1,‎ a2+b2=(2n2+2n)2+(2n+1)2=4n4+8n3+8n2+1,‎ 4‎ ‎∴a2+b2=c2.‎ ‎∴△ABC为直角三角形.‎ ‎【针对训练】‎ ‎1.在△ABC中,a=3,b=7,c2=58,则S△ABC=　10.5　. ‎ ‎2.已知在△ABC中,AD⊥BC于点D,若AB=13,AC=8,则BD2-DC2=　105　. ‎ ‎3.如图,在△ABC中,D为边BC的中点,AB=5,AD=6,AC=13.求证:AB⊥AD.‎ 解:延长AD至点E,使DE=AD,连接CE,BE.‎ ‎∵D为BC的中点,∴CD=BD.‎ 又∵AD=DE,∠ADC=∠BDE,‎ ‎∴△ADC≌△EDB,∴BE=AC=13.‎ 在△ABE中,AE=2AD=12,‎ ‎∴AE2+AB2=122+52=169.‎ 又∵BE2=132=169,∴AE2+AB2=BE2,‎ ‎∴△ABE是直角三角形,且∠BAE=90°,即AB⊥AD.‎ 类型3　勾股数 ‎1.若3,4,a和5,b,13是两组勾股数,则a+b的值是　17　. ‎ ‎2.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式,根据该公式可以构造出如下勾股数组:(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),….分析上面勾股数组可以发现,4=1×(3+1),12=2×(5+1),24=3×(7+1),…,分析上面规律,第5个勾股数组为　(11,60,61)　. ‎ 类型4　逆命题与逆定理 典例3　写出下列各命题的逆命题,并判断逆命题的真假.‎ ‎(1)如果a,b都是无理数,那么ab也是无理数;‎ ‎(2)三边分别相等的两个三角形全等.‎ 4‎ ‎【解析】(1)逆命题:如果ab是无理数,那么a,b都是无理数,此命题是假命题.‎ ‎(2)逆命题:如果两个三角形全等,那么它们的对应边分别相等,此命题是真命题.‎ ‎【针对训练】‎ ‎1.下列命题:①若ba>1,则a>b;②若a+b=0,则|a|=|b|;③等边三角形的三个内角都相等;④底角相等的两个等腰三角形全等.其中原命题与逆命题均为真命题的有(A)‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎2.说出定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题并证明这个逆命题是真命题.‎ ‎【解析】“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题为“到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上”.此逆命题为真命题.‎ 已知:如图,CA=CB.‎ 求证:点C在线段AB的垂直平分线上.‎ 证明:作CD⊥AB.∵∠ADC=∠BDC=90°,‎ 在Rt△ADC和Rt△BDC中,‎CD=CD,‎AC=BC,‎ ‎∴Rt△ADC≌Rt△BDC,∴AD=BD,‎ ‎∴CD垂直平分AB,即点C在线段AB的垂直平分线上.‎ 4‎