河北武邑中学2017—2018学年高二上学期第一次月考
数学试题（文）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知命题：如果，那么，命题：如果，那么，则命题是命题的（ ）
A．否命题 B．逆命题 C．逆否命题 D．否定形式
2．若是假命题，则（ ）
A．是真命题，是假命题 B．，均为假命题
C．，至少有一个是假命题 D．，至少有一个是真命题
3．下列叙述错误的是（ ）
A．若事件发生的概率为，则
B．互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件
C．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，则乙与甲中奖的可能性相同
D．某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的
4．设命题：，，为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．一个袋子装有大小相同，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和小于15的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．矩形中，，，为的中点，在矩形内随机取一点，则取到的点到的距离大于1的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．在上随机取一个数，则的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．一个球形容器的半径为，里面装满纯净水，因不小心混入了1个感冒病毒，从中任取水含有感冒病毒的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．下列四个命题：
①命题“若，则”的否命题是“若，则”；
②是的必要而不充分条件；
③若命题“”与命题“或”都是真命题，则命题一定是真命题；
④命题“若，则”是真命题.
其中正确命题的序号是（把所有正确的命题序号都填上）（ ）
A．②③ B．② C．①②③ D．④
11．点是区域内的任意一点，则使函数在区间上是增函数的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．设命题：函数的定义域为；命题：不等式对一切正实数均成立.如果命题“或”为真命题，且“且”为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．如图表示某班21位同学衣服上口袋的数目.若任选一位同学，则其衣服上口袋数目为5的概率是 ．
14．已知：对，恒成立，则实数的取值范围是 ．
15．下列命题中 为真命题（把所有真命题的序号都填上）．
①“”成立的必要条件是“”；②“若，则，全为0”的否命题；
③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题.
16．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用勾股（股勾）朱实黄实弦实，化简，得，设勾股中勾股比为，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．已知命题甲：或，命题乙：或，当甲是真命题，且乙是假命题时，求实数的取值范围.
18．随机地排列数字1，5，6得到一个三位数，计算下列事件的概率.
（1）所得的三位数大于400；
（2）所得的三位数是偶数.
19．是否存在实数，使是的充分条件？如果存在，求出的取值范围；否则，说明理由.
20．某中学组织了一次高二文科学生数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图.
（1）若所得分数大于等于80分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？
（2）在（1）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意任取2人，求至少有一名男生的概率.
21．甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家两家商场的奖励方案如下：
甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分（图中两个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为，边界忽略不计）即为中奖．
乙商场：从装有2个白球、2个蓝球和个红球的盒子中一次性摸出1球（这些球除颜色外完全相同），它是红球的概率是若从盒子中一次性摸出2球，且摸到的是2个相同颜色的球，即为中奖．
（1）求实数的值；
（2）试问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？请说明理由.
22．已知设命题：函数为增函数.
命题：当时函数恒成立.
如果为真命题，为假命题，求的范围.
河北武邑中学2017—2018学年高二上学期第一次月考
数学试题（文）答案
一、选择题
1-5:ACDBD 6-10:DDACA 11、12：CB
二、填空题
13． 14． 15．②④ 16．134
三、解答题
17．解：当甲真乙假时，集合.
18．解：1，5，6三个数字可以排成156，165，516，561，615，651，共6个不同的三位数.
（1）大于400的三位数的个数为4，所以.
（2）三位数为偶数的有156,516，共2个，
所以相应的概率为.
19．解：由，解得或，令或，
由，得，
当时，即，即，
此时，
∴当时，是的充分条件.
20．解：（1）由题意得，男生优秀人数为人，
女生优秀人数为人.
（2）因为样本容量与总体中的个体数的比是，
所以样本中包含男生人数为人，女生人数为人.
设两名男生为，，三名女生为，，.
则从5人中任意选取2人构成的所有基本事件为：，，，，，，，，，共10个.
每个样本被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的.
记事件：“选取的2人至少有一名男生”，则事件包含的基本事件有：
，，，，，，共7个.
所以，即选取的2人中至少有一名男生的概率为.
21．解：（1）根据随机事件的概率公式，，解得.
（2）设顾客去甲商场转动圆盘，指针指向阴影部分为事件，
试验的全部结果构成的区域为圆盘，面积为（为圆盘的半径），
阴影区域的面积为.
故由几何概型，得.
设顾客去乙商场一次摸出两个相同颜色的球为事件
，记2个白球为白1，白2；2个红球为红1、红2；2个篮球为蓝1、蓝2，则从盒子中一次性摸出2球，一切可能的结果有（白1、白2），（白1、红1）、（白1、红2），（白1、蓝1），（白1、蓝2）；（白2、红1），（白2，红2），（白2，蓝1），（白2、蓝2）；（红1、红2），（红1、蓝1），（红1、蓝2），（红2、蓝1），（红2、蓝2）；（蓝1、蓝2）等共15种；
其中摸到的是2个相同颜色的球有（白1、白2），（红1、红2），（蓝1、蓝2）等共3种；
故由古典概型，得.
因为，所以顾客在甲商场中奖的可能性大.
22．解：由为增函数得，
因为在上为减函数，在上为增函数.
∴在上最小值为.
当时，由函数恒成立得，，解得
如果真且假，则.
如果假且真，则
所以的取值范围为.
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