普通高中2018届高三质量监测（一）
数学试题卷（文科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 集合，所以.故选B.
点睛：
1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．
2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．
3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．
2. 设为虚数单位，则（ ）
A. B. C. 2 D. -2
【答案】D
【解析】. 故选D.
3. 已知圆的圆心坐标为，则（ ）
A. 8 B. 16 C. 12 D. 13
【答案】D
【解析】由圆的标准方程可知圆心为，即. 故选D.
4. 等差数列中，已知，且公差，则其前项和取最小值时的的值为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】C
【解析】由题意知，有， 所以当
时前项和取最小值. 故选C.
点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
5. 已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为( )
A. 92，94 B. 92，86 C. 99，86 D. 95，91
【答案】B
【解析】 由茎叶图可知，中位数为92，众数为86. 故选B.
6. 顶点为坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边在轴上的角的集合是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】终边落在轴上的角的取值集合为.
故选C.
7. 右图是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩关于测试序号的函数图像，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图像，给出下列结论：
①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好；
②二班成绩不够稳定，波动程度较大；
③三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，但在稳步提升．
其中正确结论的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】通过函数图象，可以看出①②③均正确.故选D.
8. 《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（ ）
A. 4立方丈 B. 5立方丈 C. 6立方丈 D. 12立方丈
【答案】B
【解析】由已知可将刍甍切割成一个三棱柱和一个四棱锥，三棱柱的体积为3，四棱锥的体积为2，则刍甍的体积为5.故选B.
9. 已知矩形的顶点都在球心为，半径为的球面上，，且四棱锥的体积为，则等于（ ）
A. 4 B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可知球心到平面ABCD的距离 2，矩形ABCD所在圆的半径为 ，从而球的半径 .故选A.
10. 已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（ ）
A. 求首项为1，公差为2的等差数列前2017项和
B. 求首项为1，公差为2的等差数列前2018项和
C. 求首项为1，公差为4的等差数列前1009项和
D. 求首项为1，公差为4的等差数列前1010项和
【答案】C
【解析】 由题意可知，为求首项为1，公差为4的等差数列的前1009项和.故选C.
点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.
11. 已知为坐标原点，设分别是双曲线的左、右焦点，点为双曲线左支上任一点，自点作的平分线的垂线，垂足为，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D.
【答案】A
【解析】延长交于点，由角分线性质可知根据双曲线的定义，，从而，在中，为其中位线，故.故选A.
点睛：对于圆锥曲线问题，善用利用定义求解，注意数形结合，画出合理草图，巧妙转化.
12. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则函数在区间上所有零点之和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 ,
作图如下： ，四个交点分别关于 对称，所以零点之和为 ，选D.
点睛：
对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知向量，则与的夹角为__________．
【答案】
【解析】，所以夹角为.
14. 函数的单调增区间是__________．
【答案】
【解析】由题意可知，有或，从而该函数的单调递增区间为.
15. 已知点位于轴、、三条直线所围成的封闭区域内（包含边界），则
的最大值为__________．
【答案】3
【解析】根据可行域，取最大值的最优解为，所以的最大值为3.
点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取
得.
16. 在中，三个内角的对边分别为，若，且，，则面积为__________．
【答案】
【解析】由题意可知，得，
由余弦定理，得，从而面积为.
三、解答题:共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17. 已知数列的前项和为，．
（Ⅰ）求等差数列的通项公式；
（Ⅱ）求．
【答案】（1） （2）
【解析】试题分析：（1）根据等差数列前n项和公式及通项公式，结合条件列出关于首项与公差的方程组，解方程组得，再代入通项公式（2）先求，再根据，利用裂项相消法求和
试题解析：(1) 由题可知，从而有.
(2) 由(1)知，从而 .
点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.
18.
长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学子的高度赞誉，在我市推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给广大学子，现对某一时段云课的点击量进行统计：
点击量
节数
6
18
12
（Ⅰ）现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3000的节数．
（Ⅱ）为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间内，则需要花费20分钟进行剪辑，点击量超过3000，则不需要剪辑，现从（Ⅰ）中选出的6节课中任意取出2节课进行剪辑，求剪辑时间为40分钟的概率．
【答案】（1）选出的6节课中有2节点击量超过3000.（2）
【解析】试题分析：（1）根据分层抽样，点击量超过3000得节数为 （2）利用枚举法确定6节课中任意取出2节课所有可能为12种，其中剪辑时间为40分钟有5种，最后根据古典概型概率公式求概率
试题解析：解：（1）根据分层抽样，选出的6节课中有2节点击量超过3000.
（2）在（Ⅰ）中选出的6节课中，设点击量在区间内的一节课为，点击量在区间内的三节课为，点击量超过3000的两节课为.
从中选出两节课的方式有，，，，，，，，，，，，，，，共15种，其中剪辑时间为40分钟的情况有，，，，，共5种，则剪辑时间为40分钟的概率为.
19. 如图，四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）设，求三棱锥的体积．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（1）连接交于点，则由三角形中位线性质得，再根据线面平行判定定理得（2）利用等体积法将所求体积转化为，再根据锥体体积公式求，代入即得
试题解析：解：（1）连接交于点，连接. 在中，
（2）.
20. 已知椭圆的两个焦点为，且经过点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过的直线与椭圆交于两点（点位于轴上方），若，求直线的斜率的值．
【答案】（1） （2）
【解析】试题分析：（1）由椭圆定义得，再根据勾股数求，（2）得从而，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理得及，代入可解得.
试题解析：(1) 由椭圆定义，有，
从而 .
(2) 设直线，有，整理得，
设，有，
，由已知.
21. 已知函数．
（Ⅰ）若函数的图像与直线相切，求的值；
（Ⅱ）若恒成立，求整数的最大值．
【答案】（1）1（2）2
【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得，即得，再由，解得.（2）先分离：，再利用结论，，可得，所以 ，即得整数的最大值为2.
试题解析：（1）由题意可知，和相切，
，则，即，解得.
（2）现证明，设，令，即，
因此，即恒成立，即，同理可证.
由题意，当时，，
即时，成立.
当时，存在使，即不恒成立.
因此整数的最大值为2.
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，点的极坐标为，若直线过点，且倾斜角为，圆以圆心，3为半径．
（Ⅰ）求直线的参数方程和圆的极坐标方程；
（Ⅱ）设直线与圆相交于两点，求．
【答案】（1） （2）7
【解析】试题分析：（1）根据直线参数方程形式直接写出直线的参数方程，根据直角三角形关系得，即为圆的极坐标方程（2）利用将圆的极坐标方程化为直接坐标方程，将直线参数方程代入，利用韦达定理及参数几何意义得|=7
试题解析：（Ⅰ）直线的参数方程为（t为参数），
圆的极坐标方程为 .
（Ⅱ）把代入，得，
，设点对应的参数分别为，
则,
23. 选修4-5：不等式选讲
设不等式的解集为．
（Ⅰ）求集合；
（Ⅱ）若，求证：．
【答案】（1） （2）见解析
【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集（2）利用分析法证明，将所求不等式转化为，再根据，证明...............
试题解析：（1）由已知，令
由得.
（2）要证，只需证，
只需证，只需证
只需证，由，则恒成立.
点睛：(1)分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.
(2)利用综合法证明不等式，关键是利用好已知条件和已经证明过的重要不等式.
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