福建省莆田市2019届高三下学期教学质量检测数学（理）试卷PDF版含答案.pdf

２０１９ 年莆田市高中毕业班教学质量检测试卷 数　 学(理科) 　 　 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.本试卷共 ５ 页.满分 １５０ 分.考试 时间 １２０ 分钟. 注意事项: １.答题前ꎬ考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. ２.考生作答时ꎬ将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答ꎬ 超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效. ３.选择题答案使用 ２Ｂ 铅笔填涂ꎬ如需改动ꎬ用橡皮擦干净后ꎬ再选涂其他答案标号ꎻ非选 择题答案使用 ０ư ５ 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写ꎬ字体工整、笔迹清楚. ４.保持答题卡卡面清洁ꎬ不折叠、不破损.考试结束后ꎬ将本试卷和答题卡一并交回. 第 Ⅰ 卷 一、选择题:本大题共 １２ 小题ꎬ每小题 ５ 分ꎬ在每小题给出的四个选项中ꎬ只有一项是符合题目 要求的 . １ư 已知集合 Ａ＝{ｘ ｜ ｘ＋５>０}ꎬＢ ＝{ｘ ｜ ｌｎｘ>０}ꎬ则 Ａ∩( ＲＢ)＝ Ａư －５ꎬ０ ( ] 　 　 　 　 　 Ｂư －５ꎬ１ ( ) 　 　 　 　 　 Ｃư １ꎬ５ [ ) 　 　 　 　 　 Ｄư －５ꎬ１ ( ] ２ư 已知复数 ｚ 满足(１－ｉ)ｚ＝ ４ꎬ则 ｚ＝ Ａư ２－２ｉ Ｂư ２＋２ｉ Ｃư ４－４ｉ Ｄư ４＋４ｉ ３ư 函数 ｆ ｘ( ) ＝ ｘ＋ １ｘ æ è ç ö ø ÷ ｃｏｓｘ 在 －３ꎬ０ [ ) ∪ ０ꎬ３ ( ] 的图象大致为 ４ư 已知 ｃｏｓ α＋ π ４ æ è ç ö ø ÷ ＝ ３ ５ ꎬα∈ ０ꎬ π ２ æ è ç ö ø ÷ ꎬ则 ｓｉｎα＝ 理科数学试卷 　 第 １ 页(共 ５ 页)Ａư － ２ １０ Ｂư １ １０ Ｃư ２ １０ Ｄư ７ ２ １０ ５ư 如图ꎬ网格纸上小正方形的边长为 １ꎬ粗实线画出的是某几何体的三视图ꎬ其侧视图中的 曲线为 １ ４ 圆周ꎬ则该几何体的体积为 Ａư １６π Ｂư ６４－１６π Ｃư ６４－３２ ３ π Ｄư ６４－１６π ３ ６ư 在 ｘ＋ １ｘ２ æ è ç ö ø ÷ ｘ－２ ( ) ５ 的展开式中ꎬｘ 的系数为 Ａư －３２ Ｂư －８ Ｃư ８ Ｄư ４８ ７ư 已知曲线 ｙ ＝ａｘｌｎｘ 在 ｘ ＝ｅ 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ｅ ２ ꎬ则 ａ ＝ Ａư ２ Ｂư ４ Ｃư ±２ Ｄư ±４ ８ư 中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹ꎬ用于装点生活或配合其他民俗活动的民间 艺术ꎬ蕴涵了极致的数学美和丰富的传统文化信息 ư 现有一幅剪纸的设计图ꎬ其中的 ４ 个 小圆均过正方形的中心ꎬ且内切于正方形的两邻边 ư 若在正方形内 随机取一点ꎬ则该点取自黑色部分的概率为 Ａư ３－２ ２ ( ) π ２ Ｂư π １６ Ｃư ３－２ ２ ( ) π ４ Ｄư π ８ ９ư 已知函 数 ｆ ｘ( ) ＝ ａｓｉｎωｘ ＋ ｃｏｓωｘ ω>０ ( ) 的 图 象 中 相 邻 两 条 对 称 轴 之 间 的 距 离 为 π ２ ꎬ 且 ｆ ０ ( ) ＋ｆ π ６ æ è ç ö ø ÷ ＝ ３ꎬ为了得到函数 ｇ ｘ( ) ＝ｓｉｎωｘ－ａｃｏｓωｘ 的图象ꎬ只要把 ｆ ｘ( ) 图象上所有的点 Ａư 向左平移 π ４ 个单位长度 Ｂư 向右平移 π ４ 个单位长度 Ｃư 向左平移 π ２ 个单位长度 Ｄư 向右平移 π ２ 个单位长度 １０ư 已知直线 ｌ 过抛物线 Ｃ: ｘ２ ＝ ６ｙ 的焦点 Ｆꎬ 交 Ｃ 于 Ａꎬ Ｂ 两点ꎬ 交 Ｃ 的 准 线 于 点 Ｐư 若ＡＦ→＝ＦＰ→ꎬ则｜ ＡＢ ｜ ＝ Ａư ８ Ｂư ９ Ｃư １１ Ｄư １６ １１ư 在三棱锥 Ｐ－ＡＢＣ 中ꎬＰＡ＝ＰＢ ＝ＰＣ ＝ ２ꎬＡＢ ＝ ２ ꎬＢＣ ＝ １０ ꎬ∠ＡＰＣ ＝ π ２ ꎬ则三棱锥 Ｐ－ＡＢＣ 外接 球的表面积为 Ａư ８π Ｂư ２８ ３ π Ｃư １０π Ｄư ３２ ３ π １２ư 已知 Ｆ １ ꎬＦ ２ 分别是双曲线 Ｃ: ｘ２ ａ２ － ｙ２ ｂ２ ＝ １(ａ>０ꎬｂ>０)的左ꎬ右焦点ꎬＡＢ 是右支上过 Ｆ ２ 的一条 理科数学试卷 　 第 ２ 页(共 ５ 页)弦ꎬ且Ｆ １ Ｆ ２ →＝λ Ｆ １ Ａ→＋μ Ｆ １ Ｂ→ꎬ其中 λμ＝ ３ １６ ư 若 ＡＦ １ ∶ ＡＢ ＝ ３ ∶４ꎬ则 Ｃ 的离心率是 Ａư ５ ２ Ｂư ５ Ｃư １０ ２ Ｄư １０ 第 Ⅱ 卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 １３~２１ 题为必考题ꎬ每个试题考生都必须作答.第 ２２、 ２３ 题为选考题ꎬ考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 ４ 小题ꎬ每小题 ５ 分ꎬ共 ２０ 分. １３ư 已知向量 ａ ＝(１ꎬ２)ꎬｂ ＝(－１ꎬｍ)ꎬ若 ａ⊥ ａ－ｂ( ) ꎬ则 ｍ＝　 　 　 　 　 . １４ư 若 ｘꎬｙ 满足约束条件 ｘ－ｙ≥０ꎬ ３ｘ－ｙ－６≤０ꎬ ｘ＋ｙ－２≥０ꎬ ì î í ïï ïï 则 ｚ＝ ２ｘ－ｙ 的最大值是　 　 　 　 　 . １５ư △ＡＢＣ 的内角 ＡꎬＢꎬＣ 的对边分别为 ａꎬｂꎬｃư 已知 ２ｂｓｉｎＣ ＝(２ａ＋ｂ)ｔａｎＢꎬｃ＝ ２ ３ ꎬ则△ＡＢＣ 面 积的最大值为　 　 　 　 　 ư １６ư 已知函数 ｆ ｘ( ) ＝ ｘ＋２ꎬｘ≤０ꎬ ｘ－ｌｎｘꎬｘ>０ư { 若存在 ｘ １ ≤０ꎬｘ ２ >０ꎬ使得 ｆ ｘ １ ( ) ＝ｆ ｘ ２ ( ) ꎬ则 ｘ １ ｆ ｘ ２ ( ) 的取值范围 为　 　 　 　 　 ư 三、解答题:共 ７０ 分 ư 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 １７~２１ 题为必考题ꎬ每个 试题考生都必须作答.第 ２２、２３ 题为选考题ꎬ考生根据要求作答. (一)必考题:共 ６０ 分 ư １７ư (１２ 分) 已知公差不为零的等差数列 ａｎ{ } 满足:ａ ４ ＝ －２ꎬ且 ａ ６ ꎬａ ３ ꎬａ ９ 成等比数列 ư (１)求 ａｎ{ } 的通项公式ꎻ (２)若 ｂｎ ＝ ａｎ ꎬ求数列 ｂｎ{ } 的前 ｎ 项和 Ｔｎư １８ư (１２ 分) 如图ꎬ边长为 ２ 的菱形 ＡＢＣＤ 中ꎬＥꎬＦ 分别是 ＡＢꎬＢＣ 的中点ꎬ将△ＤＡＥꎬ△ＤＣＦ 分别沿 ＤＥꎬＤＦ 折起ꎬ使ＡꎬＣ 重合于点 Ｐư 已知点 Ｇ 在线段 ＰＤ 上ꎬ且ＰＧ ＧＤ ＝ １ ３ ư (１)证明:ＰＢ∥平面 ＥＦＧꎻ (２)若平面 ＰＥＦ⊥平面 ＤＥＦꎬ求直线 ＰＤ 与平面 ＥＦＧ 所成角的正弦值 ưA D E B F C B E P G D F 理科数学试卷 　 第 ３ 页(共 ５ 页)１９ư (１２ 分) 已知椭圆 Ｃ: ｘ２ ａ２ ＋ ｙ２ ｂ２ ＝ １(ａ>ｂ>０)的左ꎬ右焦点分别为 Ｆ １ ꎬＦ ２ ꎬ离心率为 １ ２ ꎬＰ 是 Ｃ 上的一个动 点ꎬ且△Ｆ １ ＰＦ ２ 面积的最大值为 ４ ３ư (１)求 Ｃ 的方程ꎻ (２)设 Ｃ 的左ꎬ右顶点分别为 ＡꎬＢꎬ若直线 ＰＡꎬＰＢ 分别交直线 ｘ ＝ ２ 于 ＭꎬＮ 两点ꎬ过 Ｆ １ 作 以 ＭＮ 为直径的圆的切线 ư 证明:切线长为定值ꎬ并求该定值 ư ２０ư (１２ 分) 为推进“千村百镇计划”ꎬ２０１８ 年 ４ 月某新能源公司开展“电动莆田 绿色出行”活动ꎬ首批 投放 ２００ 台 Ｐ 型新能源车到莆田多个村镇ꎬ供当地村民免费试用三个月.试用到期后ꎬ为了 解男女试用者对 Ｐ 型新能源车性能的评价情况ꎬ该公司要求每位试用者填写一份性能综 合评分表(满分为 １００ 分).最后该公司共收回 ６００ 份评分表ꎬ现从中随机抽取 ４０ 份(其中 男、女的评分表各 ２０ 份)作为样本ꎬ经统计得到如下茎叶图: 女性试用者评分 男性试用者评分 ８ ６ ７ ８ ８ ９ ５ ２ １ ７ ０ ２ ２ ３ ４ ５ ６ ６ ７ ８ ９ ８ ６ ６ ５ ４ ４ ３ ３ ３ ０ ８ ２ ４ ４ ８ ３ ２ ２ ２ ０ ０ ９ １ (１)求 ４０ 个样本数据的中位数 ｍꎻ　 (２)已知 ４０ 个样本数据的平均数 ａ ＝ ８０ꎬ记 ｍ 与 ａ 的最大值为 Ｍư 该公司规定样本中试用 者的“认定类型”:评分不小于 Ｍ 的为“满意型”ꎬ评分小于 Ｍ 的为“需改进型”. ①请根据 ４０ 个样本数据ꎬ完成下面 ２×２ 列联表: 认定类型 性 别 满意型 需改进型 合计 女性 ２０ 男性 ２０ 合计 ４０ 根据 ２×２ 列联表判断能否有 ９９％的把握认为“认定类型”与性别有关? ②为做好车辆改进工作ꎬ公司先从样本“需改进型”的试用者中按性别用分层抽样的方 法ꎬ从中抽取 ８ 人进行回访 ư 根据回访意见改进车辆后ꎬ再从这 ８ 人中随机抽取 ３ 人进 行二次试用 ư 记这 ３ 人中男性人数为 Ｘꎬ求 Ｘ 的分布列及数学期望 ư 附:Ｋ２ ＝ ｎ(ａｄ－ｂｃ) ２ (ａ＋ｂ)(ｃ＋ｄ)(ａ＋ｃ)(ｂ＋ｄ)ꎬ Ｐ(Ｋ２ ≥ｋ) ０ư ０５０ ０ư ０１０ ０ư ００１ 理科数学试卷 　 第 ４ 页(共 ５ 页)ｋ ３ư ８４１ ６ư ６３５ １０ư ８２８ ２１ư (１２ 分) 已知函数 ｆ ｘ( ) ＝ｘｅ ｘ－１ －ａｘ＋１ꎬ其中 ａ∈Ｒư (１)当 ａ ＝ ０ 时ꎬ证明: ｆ ｘ( ) >０ꎻ (２)当 ａ>０ 时ꎬ讨论 ｆ ｘ( ) 的零点个数 ư (二)选考题:共 １０ 分 ư 请考生在第 ２２、２３ 题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多 做ꎬ则按所做第一个题目计分ꎬ作答时请用 ２Ｂ 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. ２２ư [选修 ４－４:坐标系与参数方程](１０ 分) 在直角坐标系 ｘＯｙ 中ꎬ直线 ｌ 的参数方程为 ｘ ＝ ２－３ｔꎬ ｙ ＝ ３ ｔ{ (ｔ 为参数)ꎬ以坐标原点 Ｏ 为极点ꎬｘ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系ꎬ曲线 Ｃ １ 的极坐标方程为 ρ＝ ４ｃｏｓθ. (１)求 ｌ 的极坐标方程和 Ｃ １ 的直角坐标方程ꎻ (２)若曲线 Ｃ ２ 的极坐标方程为 θ ＝ π ６ ꎬＣ ２ 与 ｌ 的交点为 Ａꎬ与 Ｃ １ 异于极点的交点为 Ｂꎬ 求 ＡＢ . ２３ư [选修 ４－５:不等式选讲](１０ 分) 已知函数 ｆ(ｘ)＝ ２ ｘ＋４ － ｘ－１ . (１)求不等式 ｆ(ｘ)≤１ 的解集ꎻ (２)当 ｘ>１ 时ꎬ ｆ(ｘ)>－ｘ２ ＋ａｘꎬ求 ａ 的取值范围. 理科数学试卷 　 第 ５ 页(共 ５ 页)草 　 稿 　 纸２０１９ 年莆田市高中毕业班教学质量检测试卷 理科数学试题参考解答及评分标准 评分说明: １.本解答给出了一种或几种解法供参考ꎬ如果考生的解法与本解答不同ꎬ可根据试题的主 要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则. ２.对计算题ꎬ当考生的解答在某一步出现错误时ꎬ如果后继部分的解答未改变该题的内容 和难度ꎬ可视影响的程度决定后继部分的给分ꎬ但不得超过该部分正确解答应给分数的一半ꎻ 如果后继部分的解答有较严重的错误ꎬ就不再给分. ３.解答右端所注分数ꎬ表示考生正确做到这一步应得的累加分数. ４.只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算 . 每小题 ５ 分ꎬ满分 ６０ 分 . １ư Ｄ　 　 　 　 ２ư Ｂ　 　 　 　 ３ư Ａ　 　 　 　 ４ư Ｃ　 　 　 　 ５ư Ｂ　 　 　 　 ６ư Ｃ　 ７ư Ｄ　 　 　 　 ８ư Ａ　 　 　 　 ９ư Ｂ　 　 　 １０ư Ａ　 　 　 １１ư Ｄ　 　 　 １２ư Ｃ 二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算 . 每小题 ５ 分ꎬ满分 ２０ 分 . １３ư ３　 　 　 　 １４ư ４　 　 　 　 １５ư ３ 　 　 　 　 １６ư －１ꎬ０ [ ] 三、解答题:本大题共 ６ 小题ꎬ共 ７０ 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . １７ư 本小题主要考查等差数列与等比数列、数列求和等基础知识ꎬ考查运算求解能力、推理论 证能力ꎬ考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等 ư 满分 １２ 分 ư 解:(１)设等差数列 ａｎ{ } 的公差为 ｄ ｄ≠０ ( ) ư 由 ａ ４ ＝ －２ꎬ得 ａ １ ＋３ｄ ＝ －２ư 　 　 　 　 　 ① １ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 又 ａ ６ ꎬａ ３ ꎬａ ９ 成等比数列ꎬ即 ａ ３ ２ ＝ａ ６ ａ ９ ꎬ ２ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 所以(ａ １ ＋２ｄ) ２ ＝(ａ １ ＋５ｄ)(ａ １ ＋８ｄ)ư 　 ② ３ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 由①②ꎬ可得 ａ １ ＝ －８ꎬ ４ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ ｄ ＝ ２ư ５ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 所以数列 ａｎ{ } 的通项公式为 ａｎ ＝ ２ｎ－１０ư ６ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ (２)由 ａｎ ＝ ２ｎ－１０ꎬ得当 ｎ≤５ 时ꎬａｎ ≤０ꎻ当 ｎ≥６ 时ꎬａｎ >０ư ７ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 设数列 ａｎ{ } 的前 ｎ 项和为 Ｓｎ ꎬ则 Ｓｎ ＝ ａ １ ＋ａｎ( ) ｎ ２ ＝ｎ２ －９ｎư ８ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 又 ｂｎ ＝ ２ｎ－１０ ꎬ 故当 ｎ≤５ 时ꎬＴｎ ＝ －Ｓｎ ＝ －ｎ２ ＋９ｎꎬ ９ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 当 ｎ≥６ 时ꎬＴｎ ＝ ｜ ｂ １ ｜ ＋｜ ｂ ２ ｜ ＋ƺ＋｜ ｂｎ ｜ ＝ － ａ １ ＋ƺ＋ａ ５ ( ) ＋ａ ６ ＋ƺ＋ａｎ ＝Ｓｎ －２Ｓ ５ １０ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ ＝ｎ２ －９ｎ＋４０ư １１ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 所以数列 ｂｎ{ } 的前 ｎ 项和 Ｔｎ ＝ －ｎ２ ＋９ｎꎬｎ≤５ꎬ ｎ２ －９ｎ＋４０ꎬｎ≥６ư { １２ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 理科数学试卷答案 　 第 １ 页(共 ６ 页)１８ư 本小题主要考查空间直线与平面的位置关系、空间向量等基础知识ꎬ考查空间想象能力、 推理论证能力、运算求解能力ꎬ考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等 ư 满分 １２ 分 ư 解:(１)在菱形 ＡＢＣＤ 中ꎬ连接 ＡＣꎬＢＤꎬ设 ＢＤ∩ＥＦ ＝ＯꎬＢＤ∩ＡＣ ＝Ｍư 又 ＥꎬＦ 分别是 ＡＢꎬＢＣ 的中点ꎬ 所以ＢＯ ＯＤ ＝ １ ３ ư １ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 连接 ＯＧꎬ又ＰＧ ＧＤ ＝ ＢＯ ＯＤ ＝ １ ３ ꎬ ２ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 所以 ＰＢ∥ＯＧư ３ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 因为 ＯＧ⊂平面 ＥＦＧꎬＰＢ⊄平面 ＥＦＧꎬ ４ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 所以 ＰＢ∥平面 ＥＦＧư ５ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ A D E B F C M O E P G D F B O B E P z y x F O G !1 !2 !3 D (２)连接 ＯＰꎬ由 ＰＥ ＝ＰＦꎬ得 ＰＯ⊥ＥＦư 因为平面 ＰＥＦ⊥平面 ＤＥＦꎬ平面 ＰＥＦ∩平面 ＤＥＦ ＝ＥＦꎬＰＯ⊂平面 ＰＥＦꎬ 所以 ＰＯ⊥平面 ＤＥＦꎬ 又 ＥＦ⊥ＢＤꎬ 所以 ＯＦꎬＯＤꎬＯＰ 两两垂直 ư 以 Ｏ 为坐标原点ꎬＯＦ→ꎬＯＤ→ꎬＯＰ→的方向分别作为 ｘ 轴ꎬｙ 轴ꎬｚ 轴的正方向ꎬ建立空间 直角坐标系ꎬ如图所示 ư ６ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 由 ＰＥ ＝ＢＥꎬＰＦ ＝ＢＦꎬＥＦ ＝ＥＦ 可知ꎬ△ＰＥＦ≌△ＢＥＦꎬ 所以 ＯＢ ＝ＯＰꎬ从而ＰＯ ＯＤ ＝ １ ３ ư ７ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 设 ＰＯ＝ａꎬＯＤ＝ ３ａư 在 Ｒｔ△ＰＯＤ 中ꎬ由勾股定理得 ＰＯ２ ＋ＯＤ２ ＝ＤＰ２ ꎬ 即 ａ２ ＋(３ａ) ２ ＝ ４ꎬ解得 ａ ＝ １０ ５ ư ８ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 在 Ｒｔ△ＰＯＦ 中ꎬ由勾股定理得 ＰＯ２ ＋ＯＦ２ ＝ＦＰ２ ꎬ 即 ａ２ ＋ＯＦ２ ＝ １ꎬ解得 ＯＦ ＝ １５ ５ ư ９ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 所以相关各点坐标如下: Ｆ １５ ５ ꎬ０ꎬ０ æ è ç ö ø ÷ ꎬＤ ０ꎬ３ １０ ５ ꎬ０ æ è ç ö ø ÷ ꎬＰ ０ꎬ０ꎬ １０ ５ æ è ç ö ø ÷ ư 理科数学试卷答案 　 第 ２ 页(共 ６ 页)所以ＯＦ→＝ １５ ５ ꎬ０ꎬ０ æ è ç ö ø ÷ ꎬＰＤ→＝ ０ꎬ３ １０ ５ ꎬ－ １０ ５ æ è ç ö ø ÷ ꎬ 则ＯＧ→＝ＯＰ→＋ＰＧ→＝ＯＰ→＋ １ ４ ＰＤ→＝ ０ꎬ３ １０ ２０ ꎬ３ １０ ２０ æ è ç ö ø ÷ ư １０ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 设平面 ＥＦＧ 的法向量为 ｎ＝ ｘꎬｙꎬｚ( ) ꎬ则 ｎŰＯＦ→＝ ０ꎬ ｎŰＯＧ→＝ ０ꎬ { 即 １５ ５ ｘ ＝ ０ꎬ ３ １０ ２０ ｙ＋３ １０ ２０ ｚ＝ ０ꎬ ì î í ï ïï ï ïï 取 ｙ ＝ １ꎬ得 ｎ＝ ０ꎬ１ꎬ－１ ( ) ư １１ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 设直线 ＰＤ 与平面 ＥＦＧ 所成角为 θꎬ则 ｓｉｎθ＝ ｃｏｓ‹ＰＤ→ꎬｎ› ＝ ＰＤ→Űｎ ＰＤ→ ｎ ＝ ３ １０ ５ ＋ １０ ５ ２ ２ ＝ ２ ５ ５ ꎬ 所以直线 ＰＤ 与平面 ＥＦＧ 所成角的正弦值为２ ５ ５ ư １２ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ １９ư 本小题主要考查圆、椭圆方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识ꎬ考查推理论证能 力、运算求解能力ꎬ考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等 ư 满分 １２ 分 ư 解:(１)设 Ｐ(ｘ ０ ꎬｙ ０ )ꎬ椭圆的半焦距为 ｃư 因为 Ｓ △Ｆ １ ＰＦ ２ ＝ １ ２ Ｆ １ Ｆ ２ Ű ｙ ０ ≤ １ ２ Ű２ｃŰｂ ＝ｂｃꎬ 所以 ｂｃ＝ ４ ３ư １ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 又 ｅ＝ ｃ ａ ＝ １ ２ ꎬａ２ ＝ｂ２ ＋ｃ２ ꎬ ２ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 所以 ａ ＝ ４ꎬｂ ＝ ２ ３ ꎬｃ＝ ２ꎬ ３ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 所以 Ｃ 的方程为ｘ２ １６＋ ｙ２ １２ ＝ １ư ４ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ y x T N M D P FFA BO1 2 (２)由(１)可知 Ａ －４ꎬ０ ( ) ꎬＢ ４ꎬ０ ( ) ꎬＦ １ －２ꎬ０ ( ) ư 由题可知ꎬｘ ０ ≠２ꎬ且 ｘ ０ ≠±４. 设直线 ＰＡꎬＰＢ 的斜率分别为 ｋ １ ꎬｋ ２ ꎬ 则直线 ＰＡ 的方程为 ｙ ＝ｋ １(ｘ＋４)ꎬ 令 ｘ ＝ ２ 得 ｙ ＝ ６ｋ １ ꎬ故 Ｍ(２ꎬ６ｋ １ )ư ５ 分ƺƺƺƺƺƺƺ 直线 ＰＢ 的方程为 ｙ ＝ｋ ２(ｘ－４)ꎬ 令 ｘ ＝ ２ 得 ｙ ＝ －２ｋ ２ ꎬ故 Ｎ(２ꎬ－２ｋ ２ )ư ６ 分ƺƺƺƺƺ 记以 ＭＮ 为直径的圆为圆 Ｄꎬ则 Ｄ(２ꎬ３ｋ １ －ｋ ２ )ư 过 Ｆ １ 作圆 Ｄ 的一条切线ꎬ切点为 Ｔꎬ连接 Ｆ １ ＤꎬＤＴꎬ 则 Ｆ １ Ｔ ２ ＝ Ｆ １ Ｄ ２ － ＤＴ ２ ꎬ ７ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 所以 Ｆ １ Ｔ ２ ＝ １６＋(３ｋ １ －ｋ ２ ) ２ －(３ｋ １ ＋ｋ ２ ) ２ ＝ １６－１２ｋ １ ｋ ２ ꎬ ８ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 理科数学试卷答案 　 第 ３ 页(共 ６ 页)又因为 ｋ １ ＝ ｙ ０ ｘ ０ ＋４ꎬｋ ２ ＝ ｙ ０ ｘ ０ －４ꎬ 所以 ｋ １ Űｋ ２ ＝ ｙ ０ ｘ ０ ＋４Ű ｙ ０ ｘ ０ －４ ＝ ｙ２ ０ ｘ ０ ２ －１６ ꎬ ９ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 由 ｘ２ ０ １６＋ ｙ２ ０ １２ ＝ １ꎬ得 ｙ２ ０ ＝ － ３ ４ (ｘ２ ０ －１６)ꎬ 所以 ｋ １ Űｋ ２ ＝ － ３ ４ ꎬ １０ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 则 Ｆ １ Ｔ ２ ＝ １６－１２ｋ １ ｋ ２ ＝ １６－１２×(－ ３ ４ )＝ ２５ꎬ １１ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 所以 Ｆ １ Ｔ ＝ ５ư 故切线长为定值 ５ư １２ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ ２０ư 本小题主要考查随机抽样、样本数字特征、茎叶图、独立性检验、分布列等基础知识ꎬ考查 数据处理能力、运算求解能力、应用意识ꎬ考查分类与整合思想、统计与概率思想等 ư 满分 １２ 分 ư 解:(１)由茎叶图知 ｍ＝ ８０＋８２ ２ ＝ ８１. ２ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ (２)因为 ｍ＝ ８１ꎬａ ＝ ８０ꎬ所以 Ｍ＝ ８１. ３ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ ①由茎叶图知ꎬ女性试用者评分不小于 ８１ 的有 １５ 个ꎬ男性试用者评分不小于 ８１ 的有 ５ 个ꎬ根据题意得 ２×２ 列联表: 认定类型 性 别 满意型 需改进型 合计 女性 １５ ５ ２０ 男性 ５ １５ ２０ 合计 ２０ ２０ ４０ ５ 分ƺƺƺƺ 由于 Ｋ２ ＝ ４０×(１５×１５－５×５) ２ ２０×２０×２０×２０ ＝ １０>６ư ６３５ꎬ ６ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 查表得 Ｐ Ｋ２ ≥６ư ６３５ ( ) ≈０ư ０１０ꎬ 所以有 ９９％的把握认为“认定类型”与性别有关. ７ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ ②由①知ꎬ从样本“需改进型” 的试用者中按性别用分层抽样的方法抽出女性 ２ 名ꎬ男性 ６ 名 ư Ｘ 的所有可能取值为 １ꎬ２ꎬ３ꎬ ８ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 则Ｐ(Ｘ ＝ １)＝ Ｃ２ ２ Ｃ１ ６ Ｃ３ ８ ＝ ６ ５６ ＝ ３ ２８ꎬ Ｐ(Ｘ ＝ ２)＝ Ｃ１ ２ Ｃ２ ６ Ｃ３ ８ ＝ ３０ ５６ ＝ １５ ２８ꎬ Ｐ(Ｘ ＝ ３)＝ Ｃ０ ２ Ｃ３ ６ Ｃ３ ８ ＝ ２０ ５６ ＝ ５ １４ꎬ 理科数学试卷答案 　 第 ４ 页(共 ６ 页)所以 Ｘ 的分布列: Ｘ １ ２ ３ Ｐ ３ ２８ １５ ２８ ５ １４ １０ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 所以 Ｘ 的数学期望为:Ｅ(Ｘ)＝ １× ３ ２８＋２×１５ ２８＋３× ５ １４ ＝ ９ ４ ư １２ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺ ２１ư 本小题主要考查导数及其应用等基础知识ꎬ考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识ꎬ 考查函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想、数形结合思想等 ư 满分 １２ 分 ư 解:(１)当 ａ ＝ ０ 时ꎬ ｆ ｘ( ) ＝ｘｅ ｘ－１ ＋１ꎬ ｆ ′ ｘ( ) ＝ ｘ＋１ ( ) ｅ ｘ－１ ꎬ １ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 所以当 ｘ∈ －¥ ꎬ－１ ( ) 时ꎬ ｆ ′ ｘ( ) ０ꎬ从而 ｆ ｘ( ) 单调递增 ư ３ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 故 ｆ ｘ( ) ≥ｆ －１ ( ) ＝ １－ １ ｅ ２ >０ꎬ ４ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 所以当 ａ ＝ ０ 时ꎬ ｆ ｘ( ) >０ư ５ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ (２)由(１)可知ꎬｘｅ ｘ－１ ＋１>０ꎬ 所以当 ａ>０ 时ꎬ对于任意的 ｘ∈ －¥ ꎬ０ ( ] ꎬ ｆ ｘ( ) ＝ｘｅ ｘ－１ －ａｘ＋１>０ꎬ 所以 ｆ ｘ( ) 在 －¥ ꎬ０ ( ] 上无零点 ư ６ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 故只需研究 ｆ ｘ( ) 在 ０ꎬ＋¥( ) 上的零点情况 ư ｆ ｘ( ) 的零点就是方程 ｘｅ ｘ－１ －ａｘ＋１ ＝ ０ ｘ>０ ( ) 的根ꎬ 也就是方程 ｅ ｘ－１ ＋ １ｘ ＝ａ 的根ꎬ 即直线 ｙ ＝ａ 与函数 ｇ ｘ( ) ＝ｅ ｘ－１ ＋ １ｘ ｘ>０ ( ) 图象的公共点的横坐标 ư ７ 分ƺƺƺƺ 当 ｘ∈ ０ꎬ＋¥( ) 时ꎬ因为 ｇ′ ｘ( ) ＝ｅ ｘ－１ － １ｘ２ 单调递增ꎬ且 ｇ′ １ ( ) ＝ ０ꎬ ８ 分ƺƺƺƺƺƺ 所以当 ｘ∈ ０ꎬ１ ( ) 时ꎬｇ′ ｘ( ) ０ꎬ从而 ｇ ｘ( ) 单调递增ꎬ 所以 ｇ ｘ( ) ≥ｇ １ ( ) ＝ ２ꎬ ９ 分ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ (ｉ)当 ０