17.2 勾股定理的逆定理
1.设三角形的三边长分别等于下列各组数,能构成直角三角形的是( D )
(A),, (B)4,5,6
(C)5,6,10 (D)6,8,10
2.下列三角形一定不是直角三角形的是( C )
(A)三角形的三边长分别为5,12,13
(B)三角形的三个内角比为1∶2∶3
(C)三边长的平方比为3∶4∶5
(D)其中有两个角互余
3.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且(a+b)(a-b)=c2,则( A )
(A)∠A为直角 (B)∠C为直角
(C)∠B为直角 (D)不是直角三角形
4.(2018长沙)我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目:“问有沙田一块,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知为田几何?”这道题讲的是有一块三角形沙田,三条边长分别为5里,12里,13里,问这块沙田面积有多大?题中的“里”是我国市制长度单位,1里=500米,则该沙田的面积为( A )
(A)7.5平方千米 (B)15平方千米
(C)75平方千米 (D)750平方千米
5.已知命题:“如果两个三角形全等,那么这两个三角形的面积相等”写出它的逆命题 如果两个三角形的面积相等,那么这两个三角形全等 .该逆命题是 假 命题(填“真”或“假”).
6.△ABC的两边分别为5,12,另一边c为奇数,且a+b+c是3的倍数,则c应为 13 ,此三角形为 直角 三角形.
7.如图所示的一块地,AD=8 m,CD=6 m,∠ADC=90°,AB=26 m,BC=24 m.求这块地的面积.
解:连接AC,则△ADC为直角三角形,
因为AD=8,CD=6,
所以AC=10.
在△ABC中,AC=10,BC=24,AB=26.
因为102+242=262,
所以△ABC也是直角三角形.
所以这块地的面积为S=S△ABC-S△ADC=AC·BC-AD·CD=×10×24-×
8×6=120-24=96 m2.所以这块地的面积为96 m2 .
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8.如图,△ABC中,已知AB=AC,D是AC上的一点,CD=9,BC=15,BD=12.
(1)证明:△BCD是直角三角形.
(2)求△ABC的面积.
(1)证明:∵CD=9,BD=12,
∴CD2+BD2=92+122=81+144=225.
∵BC=15,
∴BC2=152=225.
∴CD2+BD2=BC2.
∴△BCD是直角三角形,且∠BDC=90°(勾股定理逆定理).
(2)解:设AD=x,则AC=x+9.
∵AB=AC,
∴AB=x+9.
∵∠BDC=90°,
∴∠ADB=90°.
在Rt△ADB中,由勾股定理得
AB2=AD2+BD2,
∴(x+9)2=x2+122,
解得x=.
∴AC=AD+CD=+9=.
∴S△ABC=AC·BD=××12=75.
9.如图,A,B两地之间有一座山,汽车原来从A地到B地需经过C地沿折线A→C→B行驶,现开通隧道后,汽车直接沿直线AB行驶.已知AC=10千米,∠A=30°,∠B=45°,.则隧道开通后,汽车从A地到B地比原来少走多少千米?(结果保留根号)
解:过点C作CD⊥AB,垂足为D(图略).
在Rt△ACD中,
∵∠A=30°,
∴CD=AC=5(千米),
∴AD===5(千米).
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又∵∠B=45°,
∴BD=CD=5千米,BC=5千米,
∴AC+BC-AB=10+5-(5+5)
=(5+5-5)千米.
答:汽车从A地到B地比原来少走(5+5-5)千米.
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