第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形
18.1.1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形边角的性质
1.在ABCD中,∠A=5∠B,则∠C的度数是( D )
(A)30° (B)60°
(C)120° (D)150°
2.(2018昭阳区模拟)如图,在ABCD中,DE平分∠ADC,AD=8,BE=3,则
ABCD的周长是( C )
(A)16 (B)14
(C)26 (D)24
3.ABCD的周长为20,AB∶BC=3∶2,则CD的长是( C )
(A)4 (B)5 (C)6 (D)10
4.在ABCD中,∠B+∠D=200°,则∠A= 80° .
5.在ABCD中,∠A=60°,AB=6,AD=10,则此平行四边形的面积是 30 .
6.在▱ABCD中,AE⊥CB,AF⊥DC且∠DAF+∠BAE=50°,则∠FAE的度数是 65° .
7.(2018临安区)已知:如图,E,F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点,AE=CF.
求证:(1)△ADF≌△CBE;
(2)EB∥DF.
证明:(1)∵AE=CF,
∴AE+EF=CF+FE,
即AF=CE.
又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=CB,AD∥BC.
∴∠DAF=∠BCE.
在△ADF与△CBE中,
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∴△ADF≌△CBE(SAS).
(2)∵△ADF≌△CBE,
∴∠DFA=∠BEC.
∴EB∥DF.
8.如图,ABCD中,已知AD=8,AB=15,DE平分∠ADC交AB边于点E,求EB的长.
解:在ABCD中,
AB∥DC,
∴∠AED=∠CDE,
∵DE平分∠ADC,
∴∠ADE=∠CDE,
∴∠ADE=∠AED,
∴AD=AE,
∴BE=AB-AE=AB-AD=15-8=7.
9.如图,在ABCD中,∠BAD的角平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E.
(1)求证:BE=CD;
(2)连接BF,若BF⊥AE,∠AEB=60°,AB=4,求▱ABCD的面积.
(1)证明:在▱ABCD中,
AB=CD,AD∥BC,
∴∠DAE=∠AEB,
∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE,
∴∠BEA=∠BAE,
∴AB=BE,
∴BE=CD.
(2)解:∵∠BAE=∠BEA=60°,BF⊥AE,AB=4,
∴在Rt△AFB中,∠ABF=30°,
∴AF=2,BF=2,
∴S△ABF=AF·BF=×2×2=2,
∴S平行四边形ABCD=2S△ABF=4.
10.(2018重庆)如图,在平行四边形ABCD中,点O是对角线AC的中点,点E是BC上一点,且AB=AE,连接EO并延长交AD于点F.过点B作AE的垂线,垂足为H,交AC于点G.
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(1)若AH=3,HE=1,求△ABE的面积;
(2)若∠ACB=45°,求证:DF=CG.
(1)解:∵AH=3,HE=1,
∴AB=AE=4,
又∵Rt△ABH中,BH==,
∴S△ABE=AE·BH=×4×=2.
(2)证明:如图,过A作AM⊥BC于M,交BG于K,过G作GN⊥BC于N,
则∠AMB=∠AME=∠BNG=90°,
∵∠ACB=45°,
∴∠MAC=∠NGC=45°,
∵AB=AE,
∴BM=EM=BE,∠BAM=∠EAM,
又∵AE⊥BG,
∴∠AHK=90°=∠BMK,
而∠AKH=∠BKM,
∴∠MAE=∠NBG,
设∠BAM=∠MAE=∠NBG=α,
则∠BAG=45°+α,∠BGA=∠GCN+∠GBC=45°+α,
∴AB=BG,
∴AE=BG,
在△AME和△BNG中,
∴△AME≌△BNG(AAS),
∴ME=NG,
在等腰Rt△CNG中,NG=NC,
∴GC=NG=ME=BE,
∴BE=GC,
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∵O是AC的中点,
∴OA=OC,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∴∠OAF=∠OCE,∠AFO=∠CEO,
∴△AFO≌△CEO(AAS),
∴AF=CE,
∴AD-AF=BC-EC,即DF=BE,
∴DF=BE=CG.
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