湖南省长郡中学2018届高三9月联考数学（理）试题（含答案）.doc

湖南省长郡中学2018届高三9月联考 数学试题（理）‎ 命题学校： 长郡中学 命题人： 崔冬林 审题人： 汪洋涛 本试卷共 23 题。满分150分，考试用时120分钟。‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将正确的答案填涂在答题卡上。）‎ ‎1.集合，，全集，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．“”是“函数不存在零点”的（ ）‎ ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎4．设等差数列的前项和为，若，则的值为 ‎ A．27　　 　 　B．36 C．45　 　 D．54‎ ‎5．=‎ A． B． C． D．‎ ‎6.下列说法正确的是( ) ‎ A. 若则“”是“”的必要不充分条件 B. “为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件 C. 若命题“”，则是真命题 D. 命题“使得”的否定是“”‎ ‎7. 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度（的单位：，的单位：）行驶至停止。在此期间汽车继续行驶的距离（单位;）是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”。现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①；②；③；④。‎ 则其中是“保等比数列函数”的的序号为 ( )‎ A.①② B.③④ C.①③ D.②④‎ ‎9．的外接圆半径为1，圆心为O，且，则的面积为( )‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎10．定义在R上的偶函数满足，当x∈[3，4]时,，则 ( )‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎11.已知点是抛物线与圆在第一象限的公共点，且点到抛物线焦点的距离等于，若抛物线上一动点到其准线与到点的距离之和的最小值为，为坐标原点，则直线被圆所截得的弦长为（ ）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎12．已知，函数，若关于的方程有6个解，则的取值范围为 ‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球体积 ‎ ‎14．已知非零向量满足，则与的夹角 ．‎ ‎15.已知分别是的中线，若，且，则与的夹角为 .‎ ‎16．定义表示实数中的较大的数．已知数列满足 ‎ ，若，记数列的前项和为，则 ‎ ‎ 的值为 ． ‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 中，已知点在边上，且，‎ ‎．‎ ‎ （Ⅰ）求的长；‎ ‎ （Ⅱ）求．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 设正项数列的前n项和为成等比数列．‎ ‎ （1)求数列的通项公式； ‎ ‎ (2)设，数列中是否存在正整数对(m,n)，当m＜n时使得中的三项成等差数列．若存在，求出m，n；若不存在，说明理由．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 在如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，平面⊥平面，，，，是的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：//平面；‎ ‎（Ⅱ）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.‎ ‎20．(本小题满分12分)‎ 为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：‎ 经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.‎ ‎（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零点中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的频率）；①；②；③.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级.‎ ‎（2）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品 ‎（ⅰ）从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望；‎ ‎（ⅱ）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望.‎ ‎21．(本小题满分12分)‎ 已知函数，其中是自然对数的底数．‎ ‎（Ⅰ）若方程无实数根，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若函数是内的减函数，求实数的取值范围．‎ 请考生在第22、23三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲 已知直线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=．‎ ‎（1）写出直线的极坐标方程与曲线C的普通方程；‎ ‎（2）若点 P是曲线C上的动点，求 P到直线的距离的最小值，并求出 P点的坐标．‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 ‎ 已知函数．‎ ‎ （Ⅰ）解不等式；‎ ‎ （Ⅱ）若，且，求证：．‎ 理科数学参考答案及评分标准 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C B A D C A B D C A C D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13． 14． 15． 16． 7254 ‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．解：（Ⅰ）因为，所以,‎ 所以． 2分 在中，由余弦定理可知，‎ 即, 4分 解之得或, 由于,所以． 6分 ‎（Ⅱ）在中，由正弦定理可知，,‎ ‎ 又由可知 8分 ‎ 所以 10分 ‎ 因为，即 12分 ‎18．解：（Ⅰ）设的公差为，的公比为，由，得，‎ 从而，因此， 3分 又，‎ ‎， ，故， 6分 ‎（Ⅱ）‎ 令 则 9分 两式相减得 ‎，故 12分 ‎19．解：（1）证：连结，设与相交于点，连接，则为中点，∵平面，平面平面，∴，∴为的中点，又∵是等边三角形，∴，‎ ‎（2）因为，所以，‎ 又，，所以，又，所以平面，‎ 设的中点为，的中点为，以为原点，所在的直线为轴，‎ 所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系.‎ 则，即，‎ 设平面的法向量为，由，得，令，得，设平面的法向量为，‎ 由，得，令，得，‎ ‎∴，故所求二面角的余弦值是.‎ ‎20．解：（1）‎ 因为设备的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙；‎ ‎（2）易知样本中次品共6件，可估计设备生产零件的次品率为0.06.‎ ‎（ⅰ）由题意可知～，于是，‎ ‎（ⅱ）由题意可知的分布列为 故.‎ ‎21．解：（Ⅰ）由得，即，无负实根．‎ 故有．令，， 2分 ‎　　由得，由得，‎ ‎　　在上单调递增，在上单调递减．　‎ ‎ ，的值域为． 4分 ‎ 要使得方程无实数根，则，即． 5分 ‎ （Ⅱ），由题设，‎ ‎　知对恒成立．不妨取，有，‎ ‎　 而当时，，故．　 7分　‎ ①　当，且时，．‎ ‎　　而当时，有，故．所以，‎ ‎　　所以在内单调递减，　故当时满足题意．　 9分 ②　当时，，且，即．‎ ‎ 令，则．．‎ ‎ 当时，，此时，，‎ ‎ 则当时，，故在单增，‎ 与题设矛盾，不符合题意，舍去．‎ ‎ 所以，当时，函数是内的减函数． 12分 ‎23．解：解答： 解：（1）∵， ∴x﹣y=1．‎ ‎∴直线的极坐标方程为：ρcosθ﹣ρsinθ=1．‎ 即， 即．‎ ‎∵，∴，∴ρcos2θ=sinθ，∴（ρcosθ）2=ρsinθ 即曲线C的普通方程为y=x2．‎ ‎（2）设P（x0，y0），，∴P到直线的距离：‎ ‎．‎ ‎∴当时，，∴此时，‎ ‎∴当P点为时，P到直线的距离最小，最小值为．‎ ‎23．解：（Ⅰ）由题意，原不等式等价为，‎ 令 3分 ‎ 不等式的解集是 5分 ‎（Ⅱ）要证，只需证，‎ ‎ 只需证 而，‎ 从而原不等式成立． 10分