山西省名校2018届高三模拟考试第一次五校联考数学（理）试题（含答案）.doc

‎2017-2018年度高三名校联合摸底考试第一次五校联考 数学试卷（理科）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若复数（）的虚部为2，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.设等比数列的前项和为，且，则（ ）‎ A．4 B．‎5 C．8 D．9‎ ‎4. 的展开式中常数项为（ ）‎ A．-30 B．‎30 C.-25 D．25‎ ‎5.榫卯（sǔnmǎo）是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，如图所示是一种榫卯构件中榫的三视图，其表面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.已知函数（，，）的最大值为3，的图象的相邻两条轴间的距离为2，与轴的交点的纵坐标为1，则（ ）‎ A．1 B．‎-1 C. D．0‎ ‎7.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的（ ）‎ A．80 B．‎84 C.88 D．92‎ ‎8.设满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A．1 B．‎3 C. 5 D．6‎ ‎9.在长方体中，，，，点在平面内运动，则线段的最小值为（ ）‎ A． B． C. D．3‎ ‎10.某次夏令营中途休息期间，3位同学根据胡老师的口音对她是哪个地方的人进行了判断：‎ 甲说胡老师不是上海人，是福州人；‎ 乙说胡老师不是福州人，是南昌人；‎ 丙说胡老师既不是福州人，也不是广州人.‎ 听完以上3人的判断后，胡老师笑着说，你们3人中有1人说的全对，有1人说对了一半，另1人说的全不对，由此可推测胡老师（ ）‎ A．一定是南昌人 B．一定是广州人 C. 一定是福州人 D．可能是上海人 ‎11.设双曲线的左、右焦点分别为，，过作轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为，已知，，点是双曲线右支上的动点，且恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为（ ）‎ A． B．‎3 C. D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知向量，，且，则 ．‎ ‎14.在三个盒子中各有编号分别为1，2，3的3‎ 个乒乓球，现分别从每个盒子中随机地各取出1个乒乓球，那么至少有一个编号是奇数的概率为 ．‎ ‎15.在等差数列中，，且，，成等比数列，则公差 ．‎ ‎16.已知为曲线上任意一点，，，则的最大值是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 的内角所对的边分别为，已知.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若的面积为，，，求.‎ ‎18. 某市的教育主管部门对所管辖的学校进行年终督导评估，为了解某学校师生对学校教学管理的满意度，分别从教师和不同年级的同学中随机抽取若干师生，进行评分（满分100分），绘制如下频率分布直方图（分组区间为，，，，，，并将分数从低到高分为四个等级：‎ 满意度评分 满意度等级 不满意 基本满意 满意 非常满意 已知满意度等级为基本满意的有340人.‎ ‎（1）求表中的值及不满意的人数；‎ ‎（2）在等级为不满意的师生中，老师占，现从该等级师生中按分层抽样抽取12人了解不满意的原因，并从中抽取3人担任整改督导员，记为老师整改督导员的人数，求的分布列及数学期望.‎ ‎19.如图，在多面体中，四边形是正方形，在等腰梯形中，，，，平面平面.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎20. 已知圆，某抛物线的顶点为原点，焦点为圆心，经过点的直线交圆于两点，交此抛物线于两点，其中在第一象限，在第二象限.‎ ‎（1）求该抛物线的方程；‎ ‎（2）是否存在直线，使是与的等差中项？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎21. 已知函数的图象在点处的切线方程为.‎ ‎（1）求曲线在处的切线方程；‎ ‎（2）若存在，满足，求的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程（化为标准方程）；‎ ‎（2）设直线与曲线交于两点，求.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数（）.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，求的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: ADBCB 6-10: DACCD 11、12：BA 二、填空题 ‎13. 14. 15. 3 16. 8‎ 三、解答题 ‎17.解：‎ ‎（1）由已知 结合正弦定理得 所以 即，亦即 因为，所以.‎ ‎（2）由，，得，即，‎ 又，得 所以，又，∴‎ ‎18.解：‎ ‎（1）由频率分布直方图可知：‎ 设不满意的人数为，‎ 则 解得.‎ ‎（2）按分层抽样，12人中老师有4人，学生有8人，‎ 则的可能取值为0，1，2，3‎ ‎，‎ ‎，‎ 则的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 故.‎ ‎19.（1）证明：如图，取的中点，连接，因为，，‎ 所以四边形为平行四边形，‎ 又，所以四边形为菱形，从而，‎ 同理可证，因此.‎ 由于四边形为正方形，且平面平面，平面平面，‎ 故平面，从而，‎ 又，故平面，即.‎ ‎（2）解：由（1）知可建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，，，，‎ 故，，设为平面的一个法向量，‎ 故，即，故可取 又，，故可取.‎ 又，，设为平面的一个法向量，‎ 故，即，故可取 故.‎ 易知二面角为锐角，则二面角的余弦值为.‎ ‎20.解：‎ ‎（1）可化为，‎ 根据已知抛物线的方程为（）.‎ ‎∵圆心的坐标为，∴，解得.‎ ‎∴抛物线的方程为.‎ ‎（2）∵是与的等差中项，圆的半径为2，∴.‎ ‎∴.‎ 由题知，直线的斜率存在，故可设直线的方程为，‎ 设，，‎ 由，得，，‎ 故，.‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 由，解得.‎ ‎∴存在满足要求的直线，其方程为或 ‎21.解：‎ ‎（1）由，得.‎ 所以，，则，故所求切线方程为 即.‎ ‎（2），即，‎ 所以问题转化为在上有解.‎ 令，，‎ 则 因为，‎ 所以，，‎ 从而，，‎ 所以，即函数在上递减，‎ 因此，.‎ 要使在上有解，必须有，即 所以的取值范围为 ‎22.解：‎ ‎（1）直线的普通方程是即，‎ 曲线的直角坐标方程是 即.‎ ‎（2）直线的极坐标方程是（），代入曲线的极坐标方程得：，所以，，‎ 不妨设，则 所以 ‎23.（1）证明：因为，‎ 又，所以 所以.‎ ‎（2）解：可化为，‎ 因为，所以 （*）‎ ‎①当时，不等式（*）无解.‎ ‎②当时，不等式（*）可化为，‎ 即，解得，‎ 综上所述，‎