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上饶市重点中学2019届高三六校第一次联考
（上饶市一中、上饶市二中、上饶县中、玉山一中、余干中学、天佑中学）
理科数学
命题学校：上饶市一中 主命题人：朱四样 副命题人：陈颖
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合 ， ，则 ( )
A． B． C． D．
2．设，则( )
A． B．3 C． D．2
3．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
4．“”是“”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知非零向量满足且，则向量的夹角为( )
A． B． C． D．
6．函数为奇函数，则 ( )
A． B． C． D．
7.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面3节的容积之积3升，下面3节的容积之积为9升，则第5节的容积为( )
A．2升 B． 升 C．3升 D． 升
8．函数的大致图像为（ ）
9. 设、满足不等式组，则的最大值为（ ）
A． 3 B．-1 C．4 D． 5
10．设数列满足，且对任意整数，总有成立，则数列 的前2018项的和为( )
A． B． C． D．
11．已知函数,若函数在区间[－2，4]内有3个零点，则实数的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
12．已知点O为双曲线C的对称中心，直线交于点O且相互垂直，与C交于点，与C交于点，若使得成立的直线有且只有一对，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中一名男生和一名女生的概率为________．
14．一个四棱锥的俯视图如图所示，它的外接球的球心到底面的距离是该球半径的一半，则这个四棱锥的侧视图的面积为______.
(第14题图)
15．若不等式在区间上恒成立，则实数取值范围是___.
16．已知中，，点M是线段AB上一动点，点N是以点M为圆心、1为半径的圆上一动点，若，则的最大值为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21
题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．(12分）
已知在中，分别为角A,B,C的对应边，点D为BC边的中点，的面积为.
(1)求的值；
(2)若，求。
18．(12分）
在四棱锥中，，底面为菱形，点为菱形对角线的交点，且.
（1） 证明：；
（2） 若，问：在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的余弦值为？
19．(12分）
某校为“中学数学联赛”选拔人才，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：分数不小于本次考试成绩中位数的具有复赛资格，某校有900名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间内，其频率分布直方图如图．
（1）求获得复赛资格应划定的最低分数线；
（2）从初赛得分在区间的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流，那么从得分在区间与各抽取多少人？
（3）从（2）抽取的7人中，选出4人参加全市座谈交流，设表示得分在中参加全市座谈交流的人数，学校打算给这4人一定的物质奖励，若该生分数在给予500元奖励，若该生分数在给予800元奖励，用Y表示学校发的奖金数额，求Y的分布列和数学期望。
20．(12分）
已知椭圆C：＋＝1 (a>b>0)的两焦点在x轴上，且短轴的两个顶点与其中一个焦点的连线构成斜边为2的等腰直角三角形.
(1)求椭圆的方程；
(2)动直线l:交椭圆C于A，B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q，使得以线段AB为直径的圆恒过点Q？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
21．(12分）
已知函数，曲线与在原点处的切线相同。
(1)求的值；
(2)求的单调区间和极值；
(3)若时，，求的取值范围。
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23二题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为．
（1）求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；
（2）设为曲线上的动点，求点到上点的距离的最小值，并求此时点的坐标。
23． [选修4—5：不等式选讲] （10分）
设函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若存在使不等式成立，求实数的取值范围。
上饶市重点中学2019届高三六校第一次联考
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
A
B
B
C
D
D
A
C
B
D
D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13. 14. 或 15. 16.
三、解答题：
17.解:(1)由的面积为且D为BC的中点可知:的面积为……………1分
由三角形的面积公式可知: ………………………3分
由正弦定理可得: ………………………5分
所以 ………………………6分
(2) ,又因为D为中点，所以BC=2BD=6AB,即BD=3AB…………7分
在中由正弦定理可得,所以
由（1）可知所以,
……………9分
在直角中,所以.……………10分
BC=2BD,BC=6
在中用余弦定理，可得.……………12分
18.答案：
（1） 证明： 为等腰三角形
又为中点 ……………2分
底面为菱形
…………4分
…………6分
解:以为原点，为轴，与中点的连线为轴，为轴，建立空间直角坐标系.则，，，，………………………7分
（2）
令， 则，
设平面的一个法向量为
由 得………………………9分
令 得
解得 ………………………10分
又 不存在.即这样的点M不存在 ………………………12分
19.解（1）由题意知的频率为：，
的频率为：所以分数在的频率为：………………………1分
从而分数在的，………………………2分
假设该最低分数线为由题意得解得．故本次考试复赛资格最低分数线应划为100分。………………………4分
（2）在区间与，，………………………5分
在区间的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人，
分在区间与各抽取5人，2人．结果是5人，2人．……………8分
（3）的可能取值为2，3，4，则：
………………9分
从而Y的分布列为
Y
2600
2300
2000
………………………11分
(元)．………………………12分
20.解 (1)∵椭圆的一个焦点与短轴的两个顶点的连线构成等腰直角三角形，
∴b＝c. ……………1分
又斜边长为2，即2b＝2，故c＝b＝1，a＝，………………………3分
椭圆方程为＋y2＝1. ………………………4分
(2)由题意可知该动直线过定点,当l与x轴平行时，以线段AB为直径的圆的方程为；当l与y轴平行时，以线段AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝1.
由得
故若存在定点Q，则Q的坐标只可能为Q(0,1). ………………………6分
下面证明Q(0,1)为所求：
若直线l的斜率不存在，上述已经证明.
若直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx－，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(9＋18k2)x2－12kx－16＝0，………………………7分
Δ＝144k2＋64(9＋18k2)>0，x1＋x2＝，x1x2＝，…………………8分
＝(x1，y1－1)，＝(x2，y2－1)，
·＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)
＝(1＋k2)x1x2－(x1＋x2)＋
＝(1＋k2)·－·＋＝0，………………………10分
∴⊥，即以线段AB为直径的圆恒过点Q(0,1). ………………………12分
21.解：（1）因为，
依题意，，得 ……………………3分
（2）所以
当时；当时
故的单调递减区间为，单调递增区间为
的极小值为；无极大值；……………………6分
（3）由（1）知，当时，,,此时无论K取何值均满足……………………7分
当时，令
所以……………………-8分
又令,所以因为时，令得 ……………………9分
①当时，，所以在递增，从而 即满足时，。……………………10分
②当时，，所以在递增，又因为，x趋近时趋近，根据零点存在性定理所以存在使得，所以在上递减，在上递增，因为,所以，此时不满足时，。……………11分
综上所述，k的取值范围是 ……………………12分
22.解:（1）对曲线：，，
∴曲线的普通方程为．………………………………2分
对曲线消去参数可得且
∴曲线的直角坐标方程为．…………………………3分
又，
从而曲线的极坐标方程为……………………5分
（2）设曲线上的任意一点为， …………………6分
则点到曲线：的距离
，………………………8分
当，即时，，此时点的坐标为．
…………………………………………………………………10分
23.解：（1）由得：， …………………………………1分
∴或， 解得：或．………4分
∴不等式的解集是． ……………………………………5分
（2），当时显然不成立，所以成立即
令 ………………6分
即 …………9分
所以实数的取值范围是 …………10分
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