18.2.3 正方形
知识要点基础练
知识点1 正方形的性质
1.矩形、菱形、正方形都一定具有的性质是(D)
A.邻边相等 B.四个角都是直角
C.对角线相等 D.对角线互相平分
2.正方形ABCD的对角线AC的长是12,则边AB的长是(A)
A.62 B.212 C.6 D.8
3.如图,E是正方形ABCD的边BC的延长线上一点,若CE=CA,AE交CD于点F,则∠FAC的度数是(A)
A.22.5° B.30° C.45° D.67.5°
知识点2 正方形的判定
4.下列命题中,正确的是(C)
A.四边相等的四边形是正方形
B.四角相等的四边形是正方形
C.对角线相等的菱形是正方形
D.对角线垂直的平行四边形是正方形
5.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,添加下列一个条件,能使菱形ABCD成为正方形的是(C)
A.BD=AB B.AC=AD
C.∠ABC=90° D.OD=AC
综合能力提升练
6.如图,正方形ABCD的边长为8,在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5,则四边形EFGH的面积是(B)
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A.30 B.34 C.36 D.40
7.如图,已知P是正方形ABCD对角线BD上一点,且BP=BC,则∠ACP度数是(B)
A.45° B.22.5° C.67.5° D.75°
8.将五个边长都为2 cm的正方形按如图所示摆放,点A,B,C,D分别是四个正方形的中心,则图中四块阴影面积的和为(B)
A.2 cm2 B.4 cm2 C.6 cm2 D.8 cm2
9.在一次数学课上,吴老师出示了一个题目:“如图,▱ABCD的对角线相交于点O,过点O作EF垂直于BD交AB,CD分别于点F,E,连接DF,BE.请根据上述条件,写出一个正确结论.”其中四位同学写出的结论如下:
小青:OE=OF;小何:四边形DFBE是正方形;
小夏:S四边形AFED=S四边形FBCE;小雨:∠ACE=∠CAF.
这四位同学写出的结论中不正确的是(B)
A.小青 B.小何 C.小夏 D.小雨
10.如图,在四边形ABCD中,∠ADC=∠ABC=90°,AD=CD,DP⊥AB于点P.若四边形ABCD的面积是18,则DP的长是 32 .
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11.如图,直线l过正方形ABCD的顶点B,点A,C到直线l的距离AE,CF分别是1 cm,2 cm,则线段EF的长为 3 cm.
【变式拓展】在直线l上依次放着三个正方形,已知斜放的正方形的面积为2,正放的两个正方形的面积分别为S1,S2,则S1+S2的值为 2 .
12.如图,一张矩形的纸片,要折出一个正方形,只要把一个角沿折痕AE翻折上去,使AB和AD边上的AF重合,则四边形ABEF就是一个正方形,判断的依据是 有一组邻边相等的矩形是正方形 .
13.如图,正方形纸片ABCD的边长为3,点E,F分别在边BC,CD上,将AB,AD分别沿AE,AF折叠,点B,D恰好都落在点G处,已知BE=1,则EF的长为 52 .
14.如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC,CE∥DB.
求证:四边形OBEC是正方形.
证明:∵BE∥AC,CE∥DB,
∴四边形OBEC是平行四边形.
∵四边形ABCD是正方形,
∴OC=OB,AC⊥BD,
∴∠BOC=90°,
∴平行四边形OBEC是矩形.
5
∵OC=OB,
∴矩形OBEC是正方形.
15.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC,∠ABC的平分线相交于点D,且DE⊥BC于点E,DF⊥AC于点F.
证明:四边形CEDF是正方形.
证明:如图,过点D作DG⊥AB于点G.
∵∠C=∠DEC=∠DFC=90°,
∴四边形CEDF为矩形.
∵AD平分∠CAB,DF⊥AC,DG⊥AB,
∴DF=DG.
同理,DE=DG,∴DE=DF,
∴矩形CEDF为正方形.
拓展探究突破练
16.如图,已知正方形ABCD,P是对角线AC上任意一点,PM⊥AD,PN⊥AB,垂足分别为M,N,PE⊥PB交AD于点E.
(1)求证:四边形MANP是正方形;
(2)求证:EM=BN.
证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴∠DAB=90°,AC平分∠DAB,
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∵PM⊥AD,PN⊥AB,
∴∠PMA=∠PNA=90°,
∴四边形MANP是矩形.
∵AC平分∠DAB,PM⊥AD,PN⊥AB,
∴PM=PN,
∴矩形MANP是正方形.
(2)∵四边形MANP是正方形,
∴PM=PN,∠MPN=90°,
∵∠EPB=90°,
∴∠MPE+∠EPN=∠NPB+∠EPN=90°,
∴∠MPE=∠NPB.
在△EPM和△BPN中,
∠PMA=∠PNB=90°,PM=PN,∠MPE=∠NPB,
∴△EPM≌△BPN(ASA),
∴EM=BN.
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