广西省2017届高三上学期教育质量诊断性联合考试数学（文）试卷（含解析）.doc

www.ks5u.com ‎2016年广西秋季学期高三年级教育质量诊断性联合考试 数学试卷（文科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 下列集合中，是集合的真子集的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由已知可得 其真子集可为 ，故选D,‎ ‎2. 复数的实部与虚部分别为（ ）‎ A. ， B. ， C. , D. ,‎ ‎【答案】A ‎【解析】 实部和虚部分别为 ，故选A.‎ ‎3. 设为钝角，且，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知可得 ，故选B.‎ ‎4. 设，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ，故选A.‎ ‎5. 设向量若，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知可得 ，故选C.‎ ‎6. 设，满足约束条件则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. 0‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 如图 ，故选A.‎ ‎【点睛】本题考查线性规划问题，灵活性较强，属于较难题型.考生应注总结解决线性规划问题的一般步骤:（1）在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域；（2）由目标函数变形为;（3）作平行线：将直线 平移，使直线与可行域有交点，且观察在可行域中使最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标;（4）求出最优解：将（3）中求出的坐标代入目标函数，从而求出的最大（小）值.‎ ‎7. 将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象，则（ ）‎ A. B. 的图象关于对称 C. D. 的图象关于对称 ‎【答案】B ‎【解析】由已知可得 ，故选B.‎ ‎8. 执行如图所示的程序框图，若输入的，，则输出的等于（ ）‎ A. 94 B. 99 C. 45 D. 203‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ,故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查程序框和数列的前项和，属于较易题型.高考中对于程序框图的考查主要有：输出结果型、完善框图型、确定循环变量取值型、实际应用型等，最常见的题型是以循环结构为主，求解程序框图问题的关键是能够应用算法思想列出并计算每一次循环结果，注意输出值和循环变量以及判断框中的限制条件的关系.‎ ‎9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图的右边为一个半圆，则此几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知可得该几何体是由一个四棱锥和半个圆锥组成的，故其体积为 ‎ ，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查三视图，属于较易题型.应注意把握三个视图的位置和尺寸：主视图在图纸的左上方,左视图在主视图的右方,俯视图在主视图的下方；主视图与俯视图长应对正（简称长对正） ,主视图与左视图高度保持平齐 （简称高平齐）,左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等）,若不按上述顺序放置，则应注明三个视图名称.‎ ‎10. 函数的单调递增区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由已知可得原函数的定义域为 ，由于 是减函数，故原函数的增区间就是函数 的减区间 ，故选D.‎ ‎11. 直线与双曲线的左支、右支分别交于、两点，为右顶点，为坐标原点，若，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由双曲线的对称性可得 ‎ ，故选D.‎ ‎12. 已知定义在上的奇函数在上递减，若对恒成立，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知可得 在 上是减函数，故原命题等价于，即 ‎ ‎【点睛】本题关键步骤有：1.利用奇函数的性质可得 在 上是减函数；2.将原命题等价转化为 在 上恒成立；3.利用导数工具求得，从而求得正解.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 若从上任取一个实数作正方形的边长，则该正方形的面积大于4的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知可得所求的 概率为 .‎ ‎14. 长、宽、高分别为2,1,2的长方体的每个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】该球的半径 表面积 .‎ ‎15. 已知曲线由抛物线及其准线组成，则曲线与圆的交点的个数为__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ 由上图可得交点个数为4.‎ ‎ ‎ ‎【答案】21‎ ‎【解析】设 的对应边边长分别 里， 里， 里 ‎ 故正确答案为 .‎ ‎【点睛】本题主要考查正余弦定理和三角形的面积公式，涉及函数与方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.解决本题的关键问题是要在充分理解题意的基础上建立解三角问题模型，再利用余弦定理和三角面积公式进行运算求解，还得注意面积单位的换算.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 某体育场一角的看台共有20排，且此看台的座位是这样排列的：第一排有2个座位，从第二排起每一排比前一排多1个座位，记表示第排的座位数．‎ ‎（1）确定此看台共有多少个座位；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）230（2）详见解析 ‎【解析】试题分析：（1）由题可知数列是符合等差数列的定义，再由等差数列的通项公式求得 ‎（），再求得其前项和； （2）化简，利用错位相减法求得．‎ 试题解析：（1）由题可知数列是首项为2，公差为1的等差数列，‎ ‎∴（）．‎ ‎∴此看台的座位数为．‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴．‎ ‎18. 已知某企业近3年的前7个月的月利润（单位：百万元）如下面的折线图所示：‎ ‎（1）试问这3年的前7个月中哪个月的月平均利润最高？‎ ‎（2）通过计算判断这3年的前7个月的总利润的发展趋势；‎ ‎（3）试以第3年的前4个月的数据（如下表），用线性回归的拟合模式估测第3年8月份的利润．‎ 月份x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 利润y（单位：百万元）‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎6‎ 相关公式：，．‎ ‎【答案】（1）5月和6月的平均利润最高（2）详见解析（3）940万元．‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由折线图，通过计算每个月的平均利润可得；‎ ‎(2)分别计算出第1、2、3年前七个月的总利润，由计算结果即可分析趋势；‎ ‎(3)由题意将数据代入公式，列出回归方程求解即可。‎ 试题解析：‎ ‎（1）由折线图可知5月和6月的平均利润最高．‎ ‎（2）第1年前7个月的总利润为（百万元），‎ 第2年前7个月的总利润为（百万元），‎ 第3年前7个月的总利润为（百万元），‎ 所以这3年的前7个月的总利润呈上升趋势．‎ ‎（3）∵，，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 当时，（百万元），∴估计8月份的利润为940万元．‎ ‎19. 如图，在直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）中，点是的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，，求证：．‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）详见解析 ‎【解析】试题分析：（1）利用三角形中位线定理可得 平面；（2）先证．，再证平面，再证平面．‎ 试题解析：‎ 证明：（1）连接交于，连接．‎ 在中，因为，分别为，的中点，所以，‎ 又因为平面，平面，所以平面．‎ ‎（2）直三棱柱，故底面，平面，所以．‎ 又因为为棱的中点，，所以，‎ 因为，所以平面，所以，‎ 因为为棱中点，不妨设，所以，‎ 又因为，所以在和中，，‎ 所以，即，所以，‎ 因为，所以平面，‎ 因为平面，故．‎ ‎20. 已知椭圆：的焦距为2，过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为，过椭圆的右焦点作斜率为（）的直线与椭圆相交于、两点，线段的中点为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点垂直于的直线与轴交于点，求的值．‎ ‎【答案】（1）椭圆的方程为．（2）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）建立方程组，， 椭圆的方程为；（2）联立直线的方程和椭圆方程得，为线段的中点，再求得的方程为．‎ 试题解析：‎ ‎（1）过短轴的一个端点与两个焦点的圆的半径为，设右焦点的坐标为，依题意知，‎ 又，解得，，，‎ 所以椭圆的方程为．‎ ‎（2）设过椭圆的右焦点的直线的方程为，‎ 将其代入，得，‎ 设，，‎ 则，，‎ ‎∴，‎ 因为为线段的中点，‎ 故点的坐标为，‎ 又直线的斜率为，‎ 直线的方程为，‎ 令，得，由点的坐标为，‎ 则，解得．‎ ‎21. 已知函数．‎ ‎（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的单调区间；‎ ‎（2）求证：恒成立的充要条件是．‎ ‎【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为．（2）详见解析 ‎【解析】试题分析：（1）求导得单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明：①充分性．当时 ；②必要性．，其中．由分类讨论思想结合导数工具可得当不满足题意，当时， 满足题意，综上所述，恒成立的充要条件是．‎ 试题解析：‎ 因为，所以，‎ 所以，解得．‎ 令，得，所以得单调递增区间为，‎ 令，得，所以的单调递减区间为．‎ ‎（2）证明：①充分性．‎ 当时，，，‎ 所以当时，，所以函数在上是增函数；‎ 当时，，所以函数在上是减函数．‎ 所以．‎ ‎②必要性．‎ ‎，其中．‎ ‎（i）当时，恒成立，所以函数在上是增函数．‎ 而，所以当时，，与恒成立矛盾，‎ 所以不满足题意．‎ ‎（ii）当时，‎ 因为当时，，所以函数在上是增函数；‎ 当时，，所以函数在上是减函数．‎ 所以，‎ 因为，所以当时，，此时与恒成立矛盾，‎ 所以．‎ 综上所述，恒成立的充要条件是．‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义、函数的单调性、函数与不等式，涉及分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. 选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，圆的方程为，以为极点，轴的非负半轴 为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求圆的极坐标方程；‎ ‎（2）直线：（）与圆交于点、，求线段的长．‎ ‎【答案】（1）坐标方程为．（2）．‎ ‎【解析】解：（1）可化为，‎ 故其极坐标方程为．‎ ‎（2）将代入，得，‎ ‎∴，，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题考查极坐标方程，涉及函数与方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，具有一定的综合性，属于中等题型.在极坐标方程与直角坐标方程互化中应紧扣公式进行转化，在求弦长时应注意借助极径的几何意义，可以大大降低计算量和求解效率.弦长公式主要有：1. 2.；3.；4. （圆的弦长公式）；5. （开口向右的抛物线的 焦点弦弦长公式）.‎ ‎23. 选修4-5：不等式选讲 已知，为不等式的解集．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求证：当，时，．‎ ‎【答案】（1）．（2）详见解析 ‎【解析】解：（1）‎ 当时，由，得，舍去；‎ 当时，由，得，即；‎ 当时，由，得，即．‎ 综上，．‎ ‎（2）因为，，∴，，‎ 所以 ．‎