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山东师大附中第五次模拟考试
文科数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．选择题的作答，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．非选择题的作答，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
5．测试范围：高中全部内容。
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合， 则集合等于
A． B．
C． D．
2.若复数满足，则复数为
A． B． C． D．
3．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，己知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是
A． 2 B． 3 C． 10 D． 15
4．直线经过椭圆的一个短轴顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的，则该
椭圆的离心率为
A． B． C． D．
5．若变量，满足约束条件，则的最大值是
A．0 B．2 C．5 D．6
6.若，则的值为
A. B． C. D．
7. 若直线是曲线的一条切线，则实数
A． B． C． D．
8.已知函数的图象大致为A
9．若将函数的图象向左平移 个单位，所得图象关于原点对称，则最小时，
A． B． C． D．
10.如图，为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p为该题的最终得分，当时，等于
A.11 B.10 C.8 D.7
11.已知三棱锥中，平面，且，， .则该三棱锥的外接球的体积为
A． B．
C． D．
12.定义在上的函数满足的导函数，则不等式的解集是
A． B． C. D.
二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分.
13.设，向量，且，则= .
14.某四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是 ．
16.已知在中，角，，所对的边分别为，，，，点在线段上，且.若，则__________．3/4
三、解答题：共70分
17.(满分12分）
等比数列的各项均为正数，且
(1)求数列的通项公式.
(2)设 求数列的前项和.
18.(满分12分）
某二手车直卖网站对其所经营的一款品牌汽车的使用年数与销售价格(单位：万元，辆)进行了记录整理，得到如下数据：
使用年数
2
3
4
5
6
7
售价
20
12
8
6.4
4.4
3
3.00
2.48
2.08
1.86
1.48
1.10
(1)通过散点图可以看出，与有很强的线性相关关系，请求出与的线性回归方程(回归系数精确到0.01)；
(2)求关于的回归方程，并预测某辆该款汽车当使用年数为10年时售价约为多少．
参考公式：
参考数据：
19. (满分12分）
如图1所示，在矩形中，,为的中点，沿将折起，如图2所示，在图2中, 、、分别为、、的中点，且.
(1)求证：面；
(2) 求三棱锥的体积.
20. (满分12分）
已知椭圆经过点，长轴长是短轴长的2倍.
(1) 求椭圆的方程；
(2) 设直线经过点且与椭圆相交于两点（异于点，记直线的斜率为，
21.(满分12分）
已知函数
（1） 讨论的导函数的零点个数；
（2） 证明：当时，.
考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22.（10分）[选修4－4：极坐标与参数方程]
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是 (为参数)，以原点O为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
(Ⅰ)求曲线C的普通方程与直线的直角坐标方程；
(Ⅱ)已知直线与曲线C交于A，B两点，与x轴交于点P，求|PA|·|PB|.
23． （10分）[选修4－5：不等式选讲]
已知函数
（Ⅰ）
（Ⅱ）
答案
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答 案
A
D
C
A
C
A
B
A
D
C
D
C
13.;14. 15.16.
17.(1);(2)
18.(1)由题意，(2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4.5，……………1分
(3＋2.48＋2.08＋1.86＋1.48＋1.10)＝2，……………2分
又＝47.64，＝139
所以≈－0.363，………………………6分
所以＝2＋0.363×4.5＝3.63，……………………7分
所以z与x的线性回归方程是z＝－0.36x＋3.63；………………….8分
（2）因为z＝ln y，
所以y关于x的回归方程是y＝e－0.36x＋3.63……………………….10分
令x＝10，
得＝e－0.36×10＋3.63＝e0.03，因为ln 1.03≈0.03，所以＝1.03，
即预测该款汽车当使用年数为10年时售价约为1.03万元．………………….12分
19.(1) 证明：连结,，则
而，所以,在中,
所以,
又中,,面,面
所以, 面
而，所以, 面面
(2)解：因为为中点
所以, 到底面的距离等于
而
所以,
20.(1);(2)1
22解：(Ⅰ)由曲线C的参数方程 (α为参数)，得 (α为参数)，
两式平方相加，得曲线C的普通方程为(x－1)2＋y2＝4；(3分)
由直线l的极坐标方程可得ρcosθcosπ4－ρsinθsinπ4＝ (4分)
即直线l的直角坐标方程为x－y－2＝0.(5分)
(Ⅱ)由题意可知P(2，0)，则直线l的参数方程为 (t为参数)．(6分)
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则|PA|•|PB|＝|t1|•|t2|，
将 (t为参数)代入(x－1)2＋y2＝4，得t2＋2t－3＝0，(8分)
则Δ>0，由韦达定理可得t1•t2＝－3，(9分)
所以|PA|•|PB|＝|－3|＝3.(10分)
23．解：（1）当m=3时，f（x）≥5即|x+6|﹣|x﹣3|≥5， ------1分
①当x＜﹣6时，得﹣9≥5，所以x∈ϕ； ------2分
②当﹣6≤x≤3时，得x+6+x﹣3≥5，即x≥1，所以1≤x≤3； ------3分
③当x＞3时，得9≥5，成立，所以x＞3； ------4分
故不等式f（x）≥5的解集为{x|x≥1}． ------5分
（Ⅱ）因为|x+6|﹣|m﹣x|≤|x+6+m﹣x|=|m+6|， ------7分
由题意得|m+6|≤7， ------8分
则﹣7≤m+6≤7， ------9分
解得﹣13≤m≤1． ------10分
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