东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2019届高三第一次模拟数学（文）试题扫描版含答案.doc

‎2019年东北三省三校高三第一次联合模拟考试 文科数学答案 一． 选择题 ‎1-6 DBCCBA 7-12 BBCADD 二．填空题 ‎13. 3 14. 乙 15. 30 16. ‎ 三．解答题 ‎17．解：（Ⅰ） …………………2分 ‎∵，∴， …………………4分 ‎∴‎ ‎∴函数的值域为； …………………6分 ‎（Ⅱ）∵∴‎ ‎∵，∴，∴，即 …………………8分 由余弦定理，，∴，即 又，∴ …………………10分 ‎∴ …………………12分 18. 解：（Ⅰ）设“随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视”为事件 设每周累计户外暴露时间不少于28小时的4为学生分别为A,B,C,D,其中A表示近视的 学生,‎ 随机抽取2名,所有的可能有AB,AC,AD,BC,BD,CD共6种情况, ‎ 其中事件共有3种情况, 即AB,AC,AD, ‎ 所以 故随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视的概率为． …………………4分 ‎（Ⅱ）根据以上数据得到列联表：‎ 近视 不近视 足够的户外暴露时间 ‎40‎ ‎60‎ 不足够的户外暴露时间 ‎60‎ ‎40‎ ‎ …………………8分 所以的观测值，‎ 所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系. ‎ ‎ …………………12分 ‎ 19. 解:（Ⅰ）（方法一）：由已知 ‎∴ …………………2分 ‎∵⊥平面，平面，∴ ‎ ‎∴‎ ‎∵ ∴ …………………4分 设点到平面的距离为,‎ ‎∵ , ‎ ‎ …………………6分 ‎（方法二）：由已知 ‎∴ ………………2分 ‎∵⊥平面，平面 ‎∴平面⊥平面 ∵平面平面 ‎ 在平面ABCD内，过作⊥，交延长线于，‎ 则⊥平面 ‎∴的长就是点到平面的距离 …………………4分 在中，== ‎ ‎∴点到平面的距离为 …………………6分 ‎（Ⅱ）在平面内，过作⊥于，连结，又因为⊥, ‎ ‎ ∴⊥平面，平面 ∴⊥‎ ‎⊥平面，平面 ∴⊥‎ ‎ ∴∥ ‎ 由⊥ 得： …………………10分 ‎ …………………12分 ‎20. 解：（Ⅰ）焦点为，则，‎ ‎ ‎ ‎ 解得，所以椭圆的标准方程为 …………............4分 ‎（Ⅱ）由已知，可设直线方程为，‎ ‎ 联立 得 易知则 .........6分 ‎ ‎ ‎ =．‎ ‎ 因为，所以，解得． ……..................8分 联立，得， ‎ ‎ 设，则 ….....…….........10分 ‎ ….....…….........12分 ‎ ‎ ‎21. 解：（Ⅰ）当时，，， .....….................1分 令 则 列表如下：‎ ‎1‎ 单调递减 极小值 单调递增 ‎ ....…..................3分 所以. ......….......…....5分 ‎（Ⅱ）设，‎ ‎，‎ 设，， ...........…........7分 由得，，，在单调递增，‎ 即在单调递增，，‎ ① 当，即时，时，，在单调递增,‎ 又，故当时，关于的方程有且只有一个实数解. ..........9分 ‎②当，即时，由（Ⅰ）可知，‎ 所以，又 故，当时，，单调递减，又，‎ 故当时，，‎ 在内，关于的方程有一个实数解1.‎ 又时，，单调递增，‎ 且，令，‎ ‎,,故在单调递增，又 ‎ 在单调递增，故，故，‎ 又，由零点存在定理可知，，‎ 故在内，关于的方程有一个实数解.‎ 又在内，关于的方程有一个实数解1.‎ 综上，. ........................12分 ‎22.解：（Ⅰ） ……..................2分 ‎ 所以曲线的极坐标方程为. …….................4分 ‎（Ⅱ）设直线的极坐标方程为，其中为直线的倾斜角，‎ 代入曲线得设所对应的极径分别为.‎ ‎ …….................7分 ‎ …….................8分 ‎ 满足或 的倾斜角为或，‎ 则或. …….................10分 ‎23．解：（Ⅰ）因为，‎ 所以 ，解得 .‎ ‎ 故实数的取值范围为. .…….................4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，即. 根据柯西不等式 ‎ …….................8分 等号在即时取得。 …….................9分 ‎ 所以的最小值为. …….................10分