东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2019届高三第一次模拟数学（理）试题扫描版含答案.doc

‎2019年三省三校高三第一次联合模拟考试 理科数学答案 一．选择题 ‎1-6 DBCABB 7-12 DACDCC 二．填空题 ‎13. 3 14. 乙 15. 16. ‎ 三．解答题 ‎17. 解：（Ⅰ） ‎ ‎∵，∴ ‎ ‎∴‎ ‎∴函数的值域为． ‎ ‎（Ⅱ）∵∴‎ ‎∵，∴，∴，即 ‎ 由正弦定理，，∴‎ ‎ ‎ ‎∴，，∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎18. 解：（Ⅰ）设“随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视”为事件，则 故随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视的概率为. ‎ ‎（Ⅱ）根据以上数据得到列联表：‎ 近视 不近视 足够的户外暴露时间 ‎40‎ ‎60‎ 不足够的户外暴露时间 ‎60‎ ‎40‎ 所以的观测值， ‎ 故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系. ‎ ‎19.解：（Ⅰ）在中，延长交于点，‎ ‎,是等边三角形 为的重心 ‎ ‎ 平面, 平面，‎ ‎,即点为线段上靠近点的三等分点. ‎ ‎（Ⅱ）等边中，，，，交线为， ‎ 如图以为原点建立空间直角坐标系 ‎ 点在平面上，所以二面角与二面角为相同二面角.‎ 设,则，‎ 设平面的法向量，则 即，取，则 ‎ 又平面，, ‎ ‎ ‎ 则, ‎ 又二面角为钝二面角，所以余弦值为 . ‎ ‎20.解：（Ⅰ）设，则，‎ 因为，则 ‎ ‎ 所以， ‎ 整理得 . ‎ 所以，当时，曲线的方程为 . . 4分 ‎（Ⅱ）设. 由题意知，‎ 直线的方程为：，直线的方程为：.‎ 由（Ⅰ）知，曲线的方程为， .7分 联立 ，消去，得，得 ‎ 联立，消去，得，得 ‎ ‎ ‎ 设 则在上递增 又，‎ ‎ 的取值范围为 ‎ ‎21.解：（Ⅰ）当时，令解得 ‎ 递减 极小值 递增 ‎ ‎ ‎（Ⅱ）设，‎ 令，，‎ ‎，设，，‎ 由得，‎ ‎，在单调递增，‎ 即在单调递增，，‎ ① 当，即时，时，，在单调递增,‎ 又，故当时，关于的方程有且只有一个实数解. ‎ ‎②当，即时，‎ ‎，又 故，当时，，单调递减，又，‎ 故当时，，‎ 在内，关于的方程有一个实数解. ‎ 又时，，单调递增，‎ 且，令，‎ ‎,,故在单调递增，又 故在单调递增，故，故，又，由零点存在定理可知，， ‎ 故在内，关于的方程有一个实数解.此时方程有两个解.‎ 综上，. ‎ ‎22.解：（Ⅰ） ‎ 所以曲线的极坐标方程为. ‎ ‎（Ⅱ）设直线的极坐标方程为，其中为直线的倾斜角，‎ 代入曲线得设所对应的极径分别为.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 满足或 的倾斜角为或，‎ 则或. ‎ ‎23.解：（Ⅰ）因为，所以 ，解得 .‎ 故实数的取值范围为. ‎ ‎（Ⅱ）由（1）知，，即. 根据柯西不等式 ‎ ‎ 等号在即时取得.‎ 所以的最小值为. ‎