1
第 57 讲 图形的相似与相似图形的性质
新知新讲
题一：下列说法正确的是( )
A．所有的平行四边形都相似
B．所有的矩形都相似
C．所有的菱形都相似
D．所有的正方形都相似
题二：如图，四边形 和 相似，求角 ， 的大小和 EH 的长度 ．
金题精讲
题一：如图，△ABC 中，AB=20，BC=14，AC=12．△ADE 与△ACB 相似，∠AED=∠B，DE=5．
求 AD，AE 的长．
第 58 讲相似三角形的判定（一）
金题精讲
题一：如图，在 中，DE//BC， ， ， ， ，
求 DE 的长．
第 59 讲相似三角形的判定（二）
新知新讲
ABCD EFGH α β x
ABC∆ AD EC= 1cmDB = 4cmAE = 5cmBC =2
题一：根据下列条件，判断△ABC 与△ 是否相似，并说明理由：
(1)∠A= 40°，AB=8cm，AC=15cm，∠ = 40°， =16cm， =30cm；
(2)AB=10cm，BC=8cm，AC=16cm， =16cm， =12.8cm， =25.6cm．
金题精讲
题一：要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为 4，5，6，
另一个三角形框架的一边长为 2，它的另外两边长应当是多少？你有几种答案？
第 60 讲相似三角形的判定（三）
新知新讲
题一：判定下列三角形中哪些是相似的？相似的用线段把它们连起来．
题二：求证：如果一个直角三角形的斜边和一直角边与另一个直角三角形的斜边和一直角边
的对应比相等，那么这两个三角形相似．
金题精讲
题一：如图，Rt△ABC 中，CD 是斜边上的高，△ACD 和△CBD 都和△ABC 相似吗？证明你的
结论．
题二：底角相等的两个等腰三角形是否相似？顶角相等的两个等腰三角形呢？证明你的结论．
第 61 讲相似三角形的判定（四）
金题精讲
题一：已知 D 是△ABC 的边 AB 上的一 点，AB=12，AC=15，AD= ．在 AC 上求一点 E，使
△ADE 与△ABC 相似，并求 AE 的长．
' ' 'A B C
'A ' 'A B ' 'A C
' 'A B ' 'B C ' 'A C
2
3 AB3
题二：如图，△ABC 和△ADE 的边 BC、AD 相交于点 O，且∠BAO=∠CAE=∠BCD，点 C 在 DE
上．求证：△ABC ∽ △ADE．
题三：如图，△ABC、△DEF 均为正三角形，D、E 分别在 AB、BC 上，请找出一个与△DBE 相
似的三角形，并给予证明．
题四：如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，过点C作对角线BD的垂线交BD、AD 于点E、
F．求证： ．2 ·CD DF AD=4
第 6 2 讲相似三角形的判定习题课
金题精讲
题一：如图，某地四个乡镇 A、B、C、D 之间建有公路，已知 AB=10 千米，AD=15 千米，
BD=20 千米，BC=30 千米，DC= 40 千米．
（1）判断△ABD 与△BDC 是否相似？为什么？
（2）图中有哪些相等的角？
（3）根据图中角的关系，想一想，这些公路有怎样的位置关系，是否有互相平行的？
题二：如图，在正方形 ABCD 中，P 是 BC 上的点，且 BP=3PC，Q 是 CD 的中点．
求证：△ADQ∽△QCP．
题三：如图，P 为△ABC 中线 AD 上的一点，且 BD2=PD·AD，求证：△ADC∽△CDP．
题四：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AH⊥BC 于 H，以 AB 和 AC 为边在 Rt△ABC 外作等
边△ABD 和△ACE，判断△BDH 与△AEH 是否相似，说明理由．5
第 63 讲相似的应用
新知新讲
相似的应用
通过构造相似三角形解决一些不能直接测量的物体的长度和高度的问题
题一：据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字塔
影子的顶部立 一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度．如图，
如果木杆 EF 长 2m，它的影长 FD 为 3 m，测得 OA 为 201m，求金字塔的高度 BO．
金题精讲
题一：如图，我们想要测量河两岸相对应两点 A、B 之间的距离(即河宽)，你有什么方法？
题二：甲蹲在地上，乙站在甲和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼顶 E，乙的头顶 C
及甲的眼睛 A 恰好在一条直线上时，两人分别标定自己的位置 B、D，然后测出两人之间的
距离 BD=1.25m，乙与楼之间的距离 DF=30m，(B、D、F 在 一条直线上)，乙的身高 CD=1.6m，
甲蹲地观测时，眼睛到地面的距离 AB=0.8m，你能画出示意图，算出大楼的高度吗？6
第 64 讲相似三角形的面积与周长
新知新讲
题一：如图，在△ABC 和△DEF 中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，△ABC 的周长是 24，面积是
48，求△DEF 的周长和面积．
题二：如图，矩形 DEFG 内接于△ABC，点 D 在 AB 上， 点 G 在 AC 上，点 E，F 在 BC 上，AH⊥BC
于 H，交 DG 于 M，且 DE：EF=2：3，BC=18，AH=12，求矩形 DEFG 的周长．
第 65 讲相似三角形的性质习题课
金题精讲
题一：填空：
(1)如果两个相似三角形对应边的比为 3∶5，那么它们的相似比为_____，周长的比为
_____，面积的比为_____．
(2)如果两个相似三角形面积的比为 3∶5，那么它们的相似比为____，周长的比为____．
题二：如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 DC 边的中点，AE 交 BD 于点 Q，若△DQE 的面
积为 9，则△AQB 的面积为_______，四边形 BCEQ 的面积为________.
题三：已知：如图，E、M 是 AB 边的三等分点，EF∥MN∥BC．△AEF 的面积∶四 边形 EMNF
的面积∶四边形 MBCN 的面积=________________.7
题四：已知：如图，Rt△ABC 中，AC=4，BC=3，DE//AB．
(1)当△CDE 的面积与四边形 DABE 的面积相等时，求 CD 的长；
(2)当△CDE 的周长与四边形 DABE 的周长相等时，求 CD 的长．
题五：如图，四边形 ABCD 中，AB//DC，∠B=90°，AB=3，BC=11，DC=6．在 BC 上若存在点
P，使得△ABP 与△PCD 相似，求 BP 的长及它们的面积比．
第 66 讲位似
新知新讲
题一：用两种方法，以 O 为位似中心，将△ABC 放大为原来的两倍．
题二：如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 的坐标分别为 A(－6，6)，B(－8，2)，
C(－4，0)，D(－2，4)，画出一个以原点 O 为位似中心，相似比为 1：2 的位似图形．8
金题精讲
题一：如图，△ABC 中，A，B 两个顶点在 x 轴的上方，点 C 的坐标是(－1，0)．以点 C 为位
似中心，在 x 轴的下方作△ABC 的位似图形，并把△ABC 的边长放大到原来的 2 倍，记所得
的像是△A′B′C．设点 B 的对应点 B′的横坐标是 a，则点 B 的横坐标是( )
A． B．
C． D．
1
2 a− 1 ( 1)2 a− +
1 ( 1)2 a− − 1 ( 3)2 a− +9
第 57 讲 图形的相似与相似图形的性质
新知新讲
题一：D．题二：83°，81°，28．
金题精讲
题一： ， ．
第 58 讲 相似三角形的判定（一）
金题精讲
题一： cm．
第 59 讲相似三角形的判定（二）
新知新讲
题一：(1)△ABC 与△ 相似．理由如下：
(2)△ABC 与△ 相似．理由如下：
金题精讲
题一：3．
第 60 讲 相似三角形的判定（三）
新知新讲
题一：A 与 B 相似；D 与 E 相似．
题二：已知：如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′中，∠B=∠B′=90°，
．
求证：△ABC∽△A′B′C′．
证明：
30
7
50
7
10
3
' ' 'A B C
中和△在△ ``` CBAABC
CBAABC
AA
CA
AC
BA
AB
′′′
°=′∠=∠
=′′=′′
∽△△
40
2
1
' ' 'A B C
中和△在△ CBAABC ′′′
CBAABC
CABACBACABBC
′′′
′′′′′′=
∽△△
::::
AC AB KA C A B
= =′ ′ ′ ′
CBAABC
CBKBAKCAKBC
BAKAB
CAKAC
KBA
AB
CA
AC
BB
CBAABC
′′′
′′=′′+′′=
′′=
′′=
=′′=′′
°=∠=∠
∽△△
中和△在△
2222
90`
```10
金题精讲
题一：△ACD 和△CBD 都和△ABC 相似．理由如下：
题二：相似；相似．
（1）已知： 如图，△ABC 和△DEF 都是等腰三角形，且它们的底角相等．
求证：△ABC∽△DEF．
证明：
（2）已知：如图，△ABC 和△DEF 都是等腰三角形，且它们的顶角相等．
求证：△ABC∽△DEF．
证明：
第 61 讲 相似三角形的判定（四）
金题精讲
题一：10 或 ．
题二：∵∠BAO=∠CAE=∠BCD
∴∠BAC=∠DAE 且∠B=∠D
在△BAC 和△DAE 中
∠BAC=∠DAE 且∠B=∠D
∴△BAC∽△DAE
题三 ：△DBE∽△ECH．理由如下：
∵△ABC 和△DEF 为等边三角形
∴∠B=∠C=∠DEF=60°
∵∠BEF=∠DEF+∠BED=∠C+∠EHC
CBDACDABC
DBCDCACBA
CDBADCACB
BCDCADBAC
CBDACDABC
∽△∽△得到△
中和△和△在△
∠=∠=∠
∠=∠=∠
∠=∠=∠
DEFABC
FCEB
DEFABC
FECB
DEFABC
DEFABC
∆∆∴
∠=∠∠=∠∴
∠=∠∠=∠∴
∆∆
∽
的底角相等和三角形
为等腰三角形和
的底角相等和如图，等腰三角形
,
,,
DEFABC
FCEB
DA
DEFABC
DFEACB
DEFABC
DEFABC
∆∆∴
∠=∠∠=∠∴
∠=∠∴
∠−°=∠=∠∠−°=∠=∠∴
∆∆
∽
的顶角相等和三角形
为等腰三角形和
的顶角相等和如图，等腰三角形
,
180,180
32
511
∴∠BED=∠EHC
在△ABC 和△ECH 中
∠BED=∠CH E∠B=∠C
∴△DBE∽△ECH（AA）
题四：
第 62 讲 相似三角形的判定习题课
金题精讲
题一：相似，
∵
∴ ，
∴ ；
∠ABD=∠BDC，∠A=∠CBD，∠ADB=∠C；AB//CD．
题二：
题三：
为 边上的中线
题四：相似．理由如下：
相似．理由如下：
2
2
, 90
90
CE BD BCD
CD DE BD
ABD EDF
A FED
FDE BAD
ABD EDF
DF DB
DE DA
CD DE BD DF DA
⊥ ∠ = °
∴ = ⋅
∆ ∆
∠ = ∠ = °
∠ = ∠
∴∆ ∆
∴ =
∴ = ⋅ = ⋅
在 与 中
∽
20 1 15 1 10 1, , ,40 2 30 2 20 2
BD AD AB
CD BC BD
= = = = = =
1
2
BD AD AB
CD BC BD
= = =
ABD BDC ∽
QCPADQ
CD
PC
DQ
CQ
AD
PCBPCDQ
CDCDBCABAD
ABCD
∆∆∴
°=∠=∠
==∴
=
°=∠=∠===∴
∽
中点，且为∵
且
是正方形∵
90
1
2
3
90
2BD PD AD
BD AD
PD BD
= ⋅
∴ =
AD DC
BD CD
CD AD
PD CD
ADC CDP
ADC CDP
∴ =
∴ =
∠ = ∠
∴∆ ∆
∽12
第 63 讲 相似的应用
新知新讲
题一：134．
金题精讲
题一：构造全等三角形或相似三 角形．题二：20.8．
第 64 讲 相似三角形的面积与周长
新知新讲
题一：12；12．题二：30．
第 65 讲 相似三角形的性质习题课
金题精讲
题一：3∶5，3∶5，9∶25； ∶5， ∶5．
题二：36，45．题三：1∶3∶5．题四： ； ．
题五：BP=2， 或 9．
当 BP=2 时，S△ABP∶S△PCD=1∶9；
当 BP= 时，S△ABP∶S△DCP=1∶4；
当 BP=9 时，S△ABP：S△PCD=9∶4．
第 66 讲位似
新知新讲
题一：如图所示：
则△A′B′C′和△A′′B′′C′′为所求．
题二：如图所示：
90 ,
60
BAC AH BC
BAC AHC BHA
ACB HCA HAB
ABC HAC HBA
BAC BHA AHC
AB BD AC AE
BH BH AH AH
ABD ACE
ABD CAE
DBH EAH
BD AE
BH AH
BDH AEH
∠ = ° ⊥
∴∠ = ∠ = ∠
∠ = ∠ = ∠
∠ = ∠ = ∠
∴∆ ∆ ∆
∴ = = =
∆ ∆
∴∠ = ∠ = °
∴∠ = ∠
=
∴∆ ∆
且
且
和 是等 三角形
∽ ∽
∽
边
15 15
2 2 24
7
11
3
11
313
则四边形 A′B′C′D′和四边形 A′′B′′C′′D′′为所求．
金题精讲
题一：D
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