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吉林省名校2019届高三下学期第一次联合模拟考试
高三数学考试（理科）
第Ⅰ卷
一、选择题：
1．已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x∈N｜lnx＜x＜1），则A∩B＝
A．{0，1} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{0，1，2，3}
2．设复数z满足，则|z|＝
A．1 B． C．3 D．
3．已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为
A．2 B． C．3 D．
4．某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如下表所示：
不喜欢
喜欢
男性青年观众
30
10
女性青年观众
30
50
现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了6人，则n＝
A．12 B．16 C．24 D．32
5．在△ABC中，若点D满足，点E为AC的中点，则
A． B． C． D．
6．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B＝
A．4 B．13 C．40 D．41
7．将函数f（x）＝sinx的图象向右平移个单位长度后得到函数y＝g（x）的图象，则函数y＝f（x）g（x）的最大值为
A． B． C．1 D．
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A． B． C． D．
9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝1，，点D是边BC的中点，且，则△ABC的面积为
A． B． C．或 D．或
10．函数f（x）＝xsin2x＋cosx的大致图象有可能是
A．
B．
C．
D．
11．已知四棱锥S—ABCD，SA⊥平面ABCD，AB⊥BC，∠BCD＋∠DAB＝π，SA＝2，，二面角S—BC—A的大小为．若四面体SACD的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
A． B．4π C．8π D．16π
12．已知函数f（x）＝ex－e－x，若对任意的x∈（0，＋∞），f（x）＞mx恒成立，则m的取值范围为
A．（－∞，1） B．（－∞，1] C．（－∞，2） D．（－∞，2]
第Ⅱ卷
二、填空题：
13．二项式的展开式中x－2的系数是________．
14．设x，y满足约束条件，则的最大值是________．
15．已知sin10°－mcos10°＝2cos140°，则m＝________．
16．已知A，B是抛物线y2＝2px（p＞0）上任意不同的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0），则x0的取值范围是________．（用p表示）
三、解答题：
（一）必考题：
17．已知数列{an}为等差数列，a7－a2＝10，a1，a6，a21依次成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，数列{bn}的前n项和为Sn，若，求n的值．
18．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点O是底面ABCD的中心，E是线段D1O的上一点．
（1）若E为D1O的中点，求直线OD1与平面CDE所成角的正弦值；
（2）能否存在点E使得平面CDE上平面CD1O，若能，请指出点E的位置关系，并加以证明；若不能，请说明理由．
19．随着科技的发展，网购已经逐渐融入了人们的生活．在家里面不用出门就可以买到自己想要的东西，在网上付款即可，两三天就会送到自己的家门口，如果近的话当天买当天就能送到，或者第二天就能送到，所以网购是非常方便的购物方式．某公司组织统计了近五年来该公司网购的人数yi（单位：人）与时间ti（单位：年）的数据，列表如下：
ti
1
2
3
4
5
yi
24
27
41
64
79
（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y与t的关系，请计算相关系数r并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
附：相关系数公式
，参考数据．
（2）某网购专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案．
方案一：每满600元可减100元；
方案二：金额超过600元可抽奖三次，每次中奖的概率都为，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．
①两位顾客都购买了1050元的产品，求至少有一名顾客选择方案二比选择方案一更优惠的概率；
②如果你打算购买1000元的产品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案．
20．顺次连接椭圆（a＞b＞0）的四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）A，B是椭圆C上的两个不同点，若直线OA，OB的斜率之积为（O为坐标原点），线段OA上有一点M满足，连接BM并延长椭圆C于点N，求的值．
21．已知函数f（x）＝x2－2x＋2alnx，若函数f（x）在定义域上有两个极值点x1，x2，且x1
＜x2．
（1）求实数a的取值范围；
（2）证明：．
（二）选考题：
22．在直角坐标系xOy中，曲线（a＞0，t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线（ρ∈R）．
（1）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
（2）若直线C3的方程为，设C2与C1的交点为O，M，C3与C1的交点为O，N，若△OMN的面积为，求a的值．
23．已知函数f（x）＝|4x－1|－|x＋2|．
（1）解不等式f（x）＜8；
（2）若关于x的不等式f（x）＋5|x＋2|＜a2－8a的解集不是空集，求a的取值范围．
高三数学考试参考答案（理科）
1．B 2．D 3．A 4．C 5．B 6．C 7．A 8．B 9．D
10．A 11．C 12．D 13．－10 14．5 15． 16．（p，＋∞）
17．解：（1）设数列{an}的公差为d，因为a7－a2＝10，
所以5d＝10，解得d＝2．
因为a1，a6，a21依次成等比数列，所以，
即（a1＋5×2）2＝a1（a1＋20×2），解得a1＝5．
所以an＝2n＋3．
（2）由（1）知，
所以，
所以，
由，得n＝10．
18．解：不妨设正方体的棱长为2，以DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，
则D（0，0，0），D1（0，0，2），C（0，2，0），O（1，1，0）．
（1）因为点E是D1O的中点，
所以点E的坐标为．
所以，，．
设是平面CDE的法向量，则
即，
取x＝2，则z＝－1，所以平面CDE的一个法向量为．
所以．
所以直线OD1与平面CDE所成角的正弦值为．
（2）假设存在点E使得平面CDE⊥平面CD1O，设．
显然，．
设是平面CD1O的方向量，则，即．
取x＝1，则y＝1，z＝1，所以平面CD1O的一个法向量为．
因为，所以点E的坐标为．
所以，．
设是平面CDE的法向量，则即．
取x＝1，则，所以平面CDE的一个法向量为．
因为平面CDE⊥平面CD1O，所以，即，，解得λ＝2．
所以λ的值为2．即当时，平面CDE⊥平面CD1O．
19．解：（1）由题知，，，，，
则
．
故y与t的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合．
（2）①选择方案二比方案一更优惠则需要至少中奖一次，设顾客没有中奖为事件A，则，
故所求概率为．
②若选择方案一，则需付款1000－100＝900（元），
若选择方案二，设付款X元，则X可能取值为700，800，900，1000．
；
；
；
．
所以（元），
因为850＜900，所以选择方案二更划算．
20．解：（1）由题可知，a2＋b2＝3，
解得，b＝1．
所以椭圆C的方程为．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），．N（x3，y3），
∵，∴，
∴，．
又∵，∴，
即，．
∵点N（x3，y3）在椭圆C上，∴，
即．（*）
∵A（x1，y1），B（x2，y2）在椭圆C上，∴，①，②
又直线OA，OB斜率之积为，∴，即，③
将①②③代入（*）得，解得．
21．（1）解：因为函数f（x）在定义域（0，＋∞）上有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，
所以在（0，＋∞）上有两个根x1，x2，且x1＜x2，
即x2－x＋a＝0在（0，＋∞）上有两个不相等的根x1，x2．
所以
解得．
（2）证明：由题可知x1，x2（0＜x1＜x2）是方程x2－x＋a＝0的两个不等的实根，
所以其中．
故
＝（x1＋x2）2－2x1x2－2（x1＋x2）＋2aln（x1x2）
＝2alna－2a－1，
令g（a）＝2alna－2a－1，其中．故g'（a）＝21na＜0，
所以g（a）在上单调递减，则，即
．
22．解：（1）消去参数t得到C1的普通方程：（x－a）2＋y2＝a2．
C1是以（a，0）为圆心，a为半径的圆．
将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ带入C1的普通方程，得到C1的极坐标方程ρ＝2acosθ．
（2）C3的极坐标方程（ρ∈R），
将，代入ρ＝2cosθ，解得，ρ2＝a，
则△OMN的面积为，解得a＝2．
23．解：（1）由题意可得，
当x≤－2时，－3x＋3＜8，得，无解；
当时，－5x－1＜8，得，即；
当时，3x－3＜8，得，即．
所以不等式的解集为．
（2）f（x）＋5|x＋2|＝|4x－1|＋|4x＋8|≥9，
则由题可得a2－8a＞9，
解得a＜－1或a＞9．
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