辽宁省辽阳市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题Word版含答案.doc

辽阳市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 　　 A. B. C. D. ‎【答案】A ‎【解析】解：． 故选：A． 直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题． ‎ 2. 设集合，，则的元素个数为　　 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：集合， ， 6，7，8，， 中的元素个数为5． 故选：C． 先分别求出集合A和B，再求出，由此能求出结果． 本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． ‎ 3. 双曲线的焦距为　　 A. B. 4 C. D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：根据题意，双曲线的标准方程为， 其中， ‎ 则， 其焦距； 故选：C． 根据题意，将双曲线的方程变形为标准方程，分析可得a、b的值，计算可得c的值，由焦距公式计算可得答案． 本题考查双曲线的标准方程，注意将双曲线的方程变形为标准方程． ‎ 1. 设x，y满足约束条件，目标函数，则　　 A. z的最大值为3 B. z的最大值为2 C. z的最小值为3 D. z的最小值为2‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：由作出可行域如图， 联立，解得， 化目标函数为，由图可知，当直线过A时， 直线在y轴上的截距最小，z有最小值为． 故选：D． 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． ‎ 1. 已知函数与的部分图象如图所示，则　　 A. ， B. ， C. ， D. ， ‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：由图象可知，，， ，， 又， ， 故选：B． 结合图象可知，，，然后再由周期公式即可求解 本题主要考查了利用函数的图象求解函数解析式中的参数，属于基础试题． ‎ 2. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则　　 A. B. C. D. ‎【答案】D ‎【解析】解：，，， ， ． 故选：D． 由已知利用正弦定理可求，根据余弦定理可求的值． 本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题． ‎ 1. 已知为定义在上的奇函数，当时，，则的值域为　　 A. B. C. D. ‎【答案】A ‎【解析】解：根据题意，当时，，则， 又由函数为定义在上的奇函数，则当时，有， 则函数的值域为； 故选：A． 根据题意，由函数在时的解析式，结合基本不等式的性质分析可得，结合函数的奇偶性分析可得答案． 本题考查函数的奇偶性的性质以及应用、函数的值域计算，涉及基本不等式的应用，属于基础题． ‎ 2. 正三棱锥的侧棱两两垂直，D，E分别为棱PA，BC的中点，则异面直线PC与DE所成角的余弦值为　　 A. B. C. D. ‎【答案】D ‎【解析】解：如图， 设，以A为坐标原点，分别以AB，AC，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则0，，0，，2，，1，， ，， 则． 异面直线PC与DE所成角的余弦值为． 故选：D． 设，以A为坐标原点，分别以AB，AC，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，由数量积求夹角公式可得异面直线PC与DE所成角的余弦值． 本题考查异面直线及其所成角，训练了利用空间向量求解空间角，是基础题． ‎ 1. 展开式中的系数为　　 A. 1 B. C. 31 D. ‎【答案】B ‎【解析】解：展开中第项为，其的系数，常数项，的系数分别为，，，‎ ‎ 故展开式中的系数为， 故选：B． 利用通项公式可得：展开中第项为，其的系数，常数项，的系数分别为，，，进而得出答案． 本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． ‎ 1. 设，，则　　 A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 ‎【答案】B ‎【解析】解：； ； 又； 即，； ，． 故选：B． 容易得出，，即得出，，从而得出，． 考查对数函数的单调性，以及增函数的定义． ‎ 2. 一批排球中正品有m个，次品有n个，，从这批排球中每次随机取一个，有放回地抽取10次，X表示抽到的次品个数若，从这批排球中随机取两个，则至少有一个正品的概率　　 A. B. C. D. ‎【答案】B ‎【解析】解：由题意知，随机变量， 则方差， 又，则， 解得， 所求的概率为． 故选：B． 由题意知随机变量，根据方差DX求得n的值，再计算所求的概率值． 本题考查了离散型随机变量的方差计算问题，是基础题． ‎ 1. 已知函数，在上的值域为，若的最小值与最大值分别为，，则　　 A. B. C. D. ‎【答案】D ‎【解析】解：函数，当时，， ，令，可得， 当时，取得极小值为：又，可得的图象如图：‎ ‎ 由，可得； 由，可得故； ． 则． 故选：D． 利用分段函数，求出函数的导数，得到函数的极值，利用数形结合转化求解即可． 本题考查函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力，数形结合的应用，考查计算能力． ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 1. 已知向量，的夹角为，且，，则______．‎ ‎【答案】 ‎【解析】解：由向量的数量积公式得： ， 故答案为： 由向量的数量积公式：运算即可． 本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属简单题． ‎ 2. 若，则______．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】解：， ， ．‎ ‎ 故答案为：7． 由已知利用倍角公式求出，再由两角和的正切求解． 本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及两角和的正切，是基础题． ‎ 1. 若椭圆C：上存在一点P，使得，其中，分别是C的左、右焦点，则C的离心率的取值范围为______．‎ ‎【答案】 ‎【解析】解：椭圆C：上存在一点P，使得，其中，分别是C的左、右焦点， ， 可得：， 解得． 所以椭圆的离心率为：． 故答案为：． 利用已知条件，通过椭圆的定义，列出不等式求解椭圆的离心率即可． 本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查． ‎ 2. 设为一个圆柱上底面的中心，A为该圆柱下底面圆周上一点，这两个底面圆周上的每个点都在球O的表面上若两个底面的面积之和为，与底面所成角为，则球O的表面积为________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】解：如图， ‎ ‎ 设该圆柱底面半径为r，高为h，则， ，解得，， 则球O的半径， 故球O的表面积为． 故答案为：． 由题意画出图形，设该圆柱底面半径为r，高为h，由圆柱的底面积求得圆柱底面半径，再由与底面所成角为求得圆柱的高，进一步求出球的半径得答案． 本题考查球内接旋转体及其表面积，考查数形结合的解题思想方法，是基础题． ‎ 三、解答题（本大题共7小题）‎ 1. 设为等差数列的前n项和，，．‎ 求的通项公式；‎ 若，，成等比数列，求．‎ ‎【答案】解：为等差数列的前n项和，，． ， 解得，， ． ‎ 由知，． ，，成等比数列，， 即，解得， ．‎ ‎【解析】由等差数列的前n项和公式和通项公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出的通项公式． 推导出由，，成等比数列，得，从而求出，由此能求出． 本题考查等差数列的通项公式、前n项和的求法及应用，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题． ‎ 1. 如图，在三棱锥中，平面ABC，，且． 证明：平面平面PAC； 设棱AB，BC的中点分别为E，D，求平面PAC与平面PDE所成锐二面角的余弦值． ‎ ‎【答案】证明：平面ABC，平面ABC， ， ，，平面PAC， 平面PBC，平面平面PAC． 解：以C为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，‎ ‎ 令，则2，，0，，1，， 则1，，， 设平面PDE的法向量为y，， 则，取，得0，， 平面PAC的一个法向量0，， 则． 平面PAC与平面PDE所成锐二面角的余弦值为．‎ ‎【解析】推导出，，从而平面PAC，由此能证明平面平面PAC． 以C为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面PAC与平面PDE所成锐二面角的余弦值． 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． ‎ 1. 在直角坐标系xOy中直线与抛物线C：交于A，B两点，且． 求C的方程； 若D为直线外一点，且的外心M在C上，求M的坐标．‎ ‎【答案】解：设，，联立，可得， 则，， 从而， ， ，解得，‎ ‎ 故C的方程为， 设线段AB的中点， 由可知，， 则线段AB的中垂线方程为，即， 联立，解得或， M的坐标为或．‎ ‎【解析】联立方程组，根据韦达定理和向量的数量积即可求出， 先求出线段AB的中垂线方程为，再联立方程组，解得即可． 本题考查了直线和抛物线的位置关系，考查了转化能力和运算能力，属于中档题 ‎ 1. 某工厂共有男女员工500人，现从中抽取100位员工对他们每月完成合格产品的件数统计如下：‎ 每月完成合格产品的件数单位：百件 频数 ‎10‎ ‎45‎ ‎35‎ ‎6‎ ‎4‎ 男员工人数 ‎7‎ ‎23‎ ‎18‎ ‎1‎ ‎1‎ 其中每月完成合格产品的件数不少于3200件的员工被评为“生产能手”由以上统计数据填写下面列联表，并判断是否有的把握认为“生产能手”与性别有关？‎ 非“生产能手”‎ ‎“生产能手”‎ 合计 男员工 女员工 合计 ‎　‎ 为提高员工劳动的积极性，工厂实行累进计件工资制：规定每月完成合格产品的件数在定额2600件以内的，计件单价为1元；超出件的部分，累进计件单价为元；超出件的部分，累进计件单价为元；超出400件以上的部分，累进计件单价为元，将这4段中各段的频率视为相应的概率，在该厂男员工中随机选取1‎ 人，女员工中随机选取2人进行工资调查，没实得计件工资实得计件工资定额计件工资超定额计件工资不少于3100元的人数为Z，求Z的分布列和数学期望． 附：，‎ k ‎【答案】解：列联表：‎ 非“生产能手”‎ ‎“生产能手”‎ 合计 男员工 ‎48‎ ‎2‎ ‎50‎ 女员工 ‎42‎ ‎8‎ ‎50‎ 合计 ‎90‎ ‎10‎ ‎　100‎ ． 有的把握认为“生产能手”与性别有关． 当员工每月完成合格产品的件数为3000时，实得计件工资为元． 从已知可得男员工实得计件工资不少于3100元的概率，女员工实得计件工资不少于3100元的概率． 在该厂男员工中随机选取1人，女员工中随机选取2人进行工资调查，实得计件工资不少于3100元的人数为，1，2，3， ，． ‎ ， ． 的分布列：‎ Z ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ P ‎  ‎  ‎  ‎【解析】求得即可判定有的把握认为“生产能手”与性别有关． 可计算得当员工每月完成合格产品的件数为3000时，实得计件工资为3100元从已知可得男员工实得计件工资不少于3100元的概率，女员工实得计件工资不少于3100元的概率可得，1，2，3，计算相应的概率即可． 本题考查了概率计算，随机变量的分布列、期望值，独立性检验，属于中档题． ‎ 1. 已知函数． 当时，求的单调递增区间； 证明：当时，有两个零点； 若，函数在处取得最小值，证明：．‎ ‎【答案】解：， 当时，由，解得：或， 故在，递增； 证明：当时，在递增，在递减， 则， ，，且 或，，， 故有2个零点； 证明：， ， 设， ， 故在递增， 又，， 故，， 当时，，当时，， 故且， ， ‎ ，， 故．‎ ‎【解析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可； 根据函数的单调性求出的最小值，求出函数的零点即可； 求出的解析式，求出函数的导数，结合函数的单调性证明即可． 本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题． ‎ 1. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，曲线C的参数方程为为参数． 求l和C的直角坐标方程； 讨论l和C的位置关系．‎ ‎【答案】解：直线l的参数方程为为参数， 直线l的直角坐标方程为． 曲线C的参数方程为为参数， 曲线C的直角坐标方程为． 曲线C是以为圆心，1为半径的圆， 圆心到直线l的距离， 当时，，l和C相切； 当时，，l和C相交；‎ ‎ 当或时，，l和C相离．‎ ‎【解析】由直线l的参数方程能求出直线l的直角坐标方程；由曲线C的参数方程能求出曲线C的直角坐标方程． 曲线C是以为圆心，1为半径的圆，圆心到直线l的距离，由此利用分类讨论思想能判断l和C的位置关系． 本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查直线与圆的位置关系的判断，考查直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． ‎ 1. 设函数． 当时，求不等式的解集； 若，，求a的取值范围．‎ ‎【答案】解：当时，， 故不等式的解集为． ， ， 则，解得， 故a的取值范围为．‎ ‎【解析】求出a的值，求出的分段函数的形式，求出不等式的解集即可； 求出的最小值，得到关于a的不等式，解出即可． 本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题． ‎