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2017-2018学年河南师大附中月考卷
数学（文科）
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.若复数，则的虚部为（ ）
A．-4 B． C．4 D．
3.已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．10 B．12 C．14 D． 16
4.下列命题中正确的是（ ）
A．若，则；
B．命题：“，”的否命题是“，”
C.直线与垂直的充要条件为；
D．“若，则或”的逆否命题为“若或，则”
5.已知双曲线的一个焦点与圆的圆心重合，且其渐近线的方程为，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C. D．
6.执行如下图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）
A．8 B．9 C.10 D．11
7.某校为了解本校高三学生学习的心理状态，采用系统抽样方法从800人中抽取40人参加某种测试，为此将他们随机编号为1,2,…，800，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为18，抽到的40人中，编号落在区间的人做试卷，编号落在的人做试卷，其余的人做试卷，则做试卷的人数为（ ）
A．10 B．12 C.18 D．28
8.设实数，满足约束条件，则的最小值为（ ）
A．-5 B．-8 C.5 D．8
9.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（ ）
A．升 B．升 C.升 D．1升
10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C. D．
11.已知函数（）的图象的相邻两对称轴间的距离为，则当时，的最大值和单调区间分别为（ ）
A．1， B．1， C.， D．，
12.已知函数是上的可导函数，当时，有，则函数的零点个数是（ ）
A．0 B．1 C.2 D．3
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知平面向量，满足，则 ．
14.已知数列满足，，则 ．
15.为抛物线上一点，过点作垂直该抛物线的准线于点，为抛物线的焦点，为坐标原点，若四边形的四个顶点在同一个圆上，则该圆的面积为 ．
16.三棱锥中，，，平面，，则该三棱锥的外接球表面积为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 在中，角，，的对边分别是，，，且.
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围.
18. 某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．
（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，则应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？
（2）（1）条件下，该市决定在第3，4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．
19. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，
（1）试在棱上确定一点，使得平面，并求出此时的值；
（2）求证：平面.
20. 已知过椭圆：（，）的两个顶点分别为，，点为椭圆上异于，的点，设直线的斜率为，直线的斜率为，.
（1）求椭圆的离心率；
（2）若，设直线与轴交于，与椭圆交于、两点，求的面积的最大值.
21. 设函数（）
（1）若，求过原点与相切的直线方程；
（2）判断在上的单调性并证明.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为（为参数），当时，曲线上对应的点为，以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求证：曲线的极坐标方程为；
（2）设曲线与曲线的公共点为，，求的值.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）解关于的不等式；
（2）设，，试比较与的大小.
试卷答案
一、选择题
1-5:DDCCB 6-10:CBAAA 11、12：DB
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.【解析】
（1）由正弦定理可得，，
从而可得，，
又为三角形的内角，所以，于是，又为三角形内角，因此，.
（2），
由可知，，所以，从而，
因此，，
故的取值范围为.
18.【解析】
（1）第3组的人数为，第4组的人数为，第5组的人数为，因为第3,4,5组共有60名志愿者，所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为第3组：；第4组：；第5组：.
（2）记第3组的3名志愿者为，，，第4组的2名志愿者为，
，则从5名志愿者中抽取2名志愿者有，，，，，，，，，，共10种.
其中第4组的2名志愿者，至少有一名志愿者被抽中的有，，，，，，，共7种.
所以第4组至少有一名志愿者都被抽中的概率为.
19.【解析】
（1）连接，交于点，在平面中作交于，
因为平面，平面，所以平面，
因为，所以，
因为，所以，此时，.
（2）取的中点，连结，则为正方形.
连接，交于点，连接，
因为，，
所以和都是等边三角形，
所以，
又因为，所以，得，
同理，，所以平面，
所以，
因为，，，
所以，，得，
所以，平面.
20.【解析】
（1）设，代入椭圆的方程有，
整理得：.
又，，所以，
联立两个方程有，解得：.
（2）由（1）知，又，
所以椭圆的方程为.
设直线的方程为：，代入椭圆的方程有：，
设，.
由韦达定理：，，
所以，
令（），则有，
代入上式有，
当且仅当，即时等号成立，
所以的面积的最大值为.
21.【解析】
（1）设切点坐标为，
则有解得：，
所以过原点与相切的直线方程为：.
（2），
当时，，所以在上单调递增；
当时，由得：，
所以在上单减，在上单增.
当，即时，解得，
即当时，在上单调递增；
当，即时，解得，
即当时，在上单减，在上单增.
综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单减，在上单增.
22.【解析】
（1）证明：因为曲线的参数方程为（为参数），
所以曲线的直角坐标方程为.
所以曲线的极坐标方程为.
（2）解：当时，，，，
由（1）知，曲线是经过的直线，设它的倾斜角为，则，
所以，，曲线的参数方程为（为参数），因为，所以，所以曲线的直角坐标方程为，
将，代入，得，
所以.
考点：坐标系与参数方程.
23.【解析】
（1）
所以或，或.
所以不等式的解集为.
（2）由（1）易知，所以，，
由于，
因为，，所以，，即，
所以.
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